上海市金山中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

上海市金山中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

金山中学2019学年度第一学期高二年级数学学科段考试卷 一、填空题（第1-6每题4分；第7-12每题5分）‎ ‎1.与同向的单位向量为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意设，，根据模为，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为与同向，所以设，，‎ 又为单位向量，所以，解得，‎ 因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.‎ ‎2.已知向量，，若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于，所以，解得．‎ 考点：向量共线坐标表示的应用．‎ ‎3.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别化简集合与集合，再求交集，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.‎ ‎4.若向量、的夹角为，，，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为向量、的夹角为，，，‎ 所以，‎ 因此，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型.‎ ‎5.已知点和向量，若，则点的坐标为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设点，，因此，得，得点．‎ 考点：平面向量的坐标表示．‎ ‎6.向量．若向量，则实数的值是________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴‎ 考点：本题考查了向量的坐标运算 点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 ‎7.在中，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，再由，结合题中数据，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为在中，，，所以，‎ 因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎8.平面上不共线的四点、、、满足，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件，得到，推出，从而可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 即，‎ 因此 ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎9.平行四边形中，为一条对角线，若，，则______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，，求出两向量的坐标，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为平行四边形中，为一条对角线，所以，‎ 又，，因此，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积坐标运算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎10.若正方形边长为，点在线段上运动，则取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围.‎ ‎【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设，而，所以，函数对称轴，开口向下，故时有最小值；时，有最大值.故取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，且与互为反函数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由与互为反函数，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为与互为反函数，‎ 所以；‎ 又，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知函数在定义域内恒正，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线；‎ 若分子分母对应的方程是同解方程，‎ 则有，即；‎ 若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于；‎ 即，解得，即；‎ 当，由得，函数定义域为，‎ 则可化为，即，显然在定义域内恒成立；所以满足题意；‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型.‎ 二、选择题（每题5分）‎ ‎13.平面向量，共线的充要条件是（ ）‎ A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 C. ， D. 存在不全为零的实数私，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数，使得 成立，即可得到答案.‎ ‎【详解】若均为零向量，则显然符合题意，‎ 且存在不全为零的实数，使得；‎ 若，则由两向量共线知，存在，使得，‎ 即，符合题意，故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件，在解题的过程中，需要明确向量共线包括方向相同与方向相反，不一定非得有零向量，再者要注意零向量与任何向量是共线的，要理解向量共线的充要条件，即可得到结果.‎ ‎14.设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则实数，满足的关系式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，，，根据向量数量积，分别求出与在方向上的投影，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，为坐标平面上三点，为坐标原点，‎ 所以，，，‎ 因此在方向上的投影为 ‎；‎ 在方向上的投影为，‎ 又与在方向上的投影相同，‎ 所以，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得 ‎，根据向量夹角所处的范围可求得结果.‎ ‎【详解】关于的方程有实根 ‎ 设与的夹角为，则 又 ‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.‎ ‎16.已知数列，对于任意正整数，，设表示数列的前项和.下列关于的结论，正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 以上结论都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当时，，再由极限的运算法则，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为数列，对于任意的正整数，，表示数列的前项和，‎ 所以，，，… ，‎ 所以当时，‎ ‎，‎ 因此.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.‎ 三、解答题：‎ ‎17.如果由矩阵表示的关于，的二元一次方程组无解，求实数的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，，，对满足的进行讨论，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可得：方程组为，，‎ ‎，，‎ 当时，，方程组有无数个解；‎ 当时，，，，方程组无解.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.‎ ‎18.在中，边、、分别为角、、所对应的边.‎ ‎（1）若，求角的大小；‎ ‎（2）若，，，求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据行列式定义得，再根据正弦定理化角为边得，最后根据余弦定理求角的大小；（2）先根据正弦定理求a，再根据两角和正弦公式求，最后根据三角形面积公式求面积.‎ 试题解析：（1）由题意，； ‎ 由正弦定理得，∴， ‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）由，，且，∴； ‎ 由，∴,‎ ‎∴； ‎ ‎ ∴.‎ ‎19.已知，.‎ ‎（1）当时，求方程的解集；‎ ‎（2）若方程有且只有一个实数解，求实数的值并解该方程.‎ ‎【答案】（1）（2）当，或时，解都为-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意计算行列式，得到，‎ ‎（1）由，将方程化为，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）根据题意，得方程有且只有一个实数解，分别讨论与两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为 ‎，‎ ‎（1）当时，方程可化为，解得，‎ 所以方程的解集为；‎ ‎（2）由题意可得，方程有且只有一个实数解，‎ 当，即时，方程可化为，解得；‎ 当，即时，只需，即，解得，此时方程为：，即，解得；‎ 综上，当或时，方程的解都是.‎ ‎【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.‎ ‎20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.‎ ‎（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？‎ ‎（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.‎ ‎（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？‎ ‎【答案】（1）4020元；（2）表达式为元；（3）元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即元，又按月利率，即可求出结果；‎ ‎（2）设第个月底还款后的欠款数为，根据题意，，，进而得出，整理，即可得出结果；‎ ‎（3）由题意得到，由（2）的结果，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即，‎ 又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元，‎ 即到第一个月底，欠款余额为元；‎ ‎（2）设第个月底还款后的欠款数为，则有，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 整理得：；‎ ‎（3）由题意可得：，所以，‎ 因此 ‎【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型.‎ ‎21.在直角坐标平面中，已知点，，，…，，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…，为关于点的对称点.‎ ‎（1）求向量的坐标；‎ ‎（2）当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线为图像的函数在上的解析式；‎ ‎（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设点，由题意求出，进而得到，从而可求出向量；‎ ‎（2）先由题意，得到是由曲线按向量平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；‎ ‎（3）先由为关于点的对称点，为关于点的对称点，得到，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设点，因为为关于点的对称点，所以，‎ 又为关于点的对称点，‎ 所以，即，‎ 因此；‎ ‎（2）由（1），‎ 因为点在曲线上移动时，点轨迹是函数的图像，‎ 所以的图像由曲线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，‎ 因此，设曲线是函数的图像，因为是以3为周期的周期函数，‎ 所以也是以为周期周期函数，‎ 当时，，‎ 所以当时，；‎ 于是，当时，；‎ ‎（3）由题意，为关于点的对称点，为关于点的对称点.‎ 所以在中，为的中点，为的中点，‎ 所以，‎ 因此，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎