山东省泰安市肥城市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

山东省泰安市肥城市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年度上学期高二期中考试 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题：，的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的否定为 ‎【详解】根据特称命题的否定是全称命题可知，的否定为：，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，要注意两个方面的变化：一是量词符号，二是命题的结论，本题是一道容易题.‎ ‎2.已知,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，不等式，等价与，即，解得或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过作差得到，根据判别式和开口方向可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.‎ ‎4.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质确定选项.‎ ‎【详解】当时，不成立；‎ 因为，所以；‎ 当时，不成立；‎ 当时，不成立；‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公年龄最小的儿子的年齡为（ ）‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，九个儿子的年龄构成一个以公差为3的等差数列，再由求解.‎ ‎【详解】从小到大，设公公的第 个儿子的年龄为，‎ 根据题意得，是等差数列，首项为，公差为，‎ 又因数公公九个儿，共年二百又零七，‎ 所以，‎ ‎ 即，‎ 所以，‎ 故公公最小的儿子的年齡为11.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查数列的实际应用及等差数列前项和，还考查了抽象概括推理运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎6.设数列为等比数列，且公比，若和是方程的两根，则（ ）‎ A. 18 B. C. 或18 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，，从而，再利用计算即可.‎ ‎【详解】由已知，的两根为，因，所以，，从而，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，考查学生的计算能力，是一道基础题.‎ ‎7.如果a，且，则关于x的不等式的解集为（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可.‎ ‎【详解】不等式的解可转化为不等式组的解，又，所以，故不等式组的解为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查解分式不等式，通常，考查学生等价转化的能力，是一道基础题.‎ ‎8.设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：若a1+a3＞0，d＜0，则a1+a2＜0不一定成立，故A错误；‎ 若0＜a1＜a2，则a2，故B正确；‎ 若a1+a3＞0，d＞0，则a1+a2＞0不一定成立，故C错误；‎ 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎9.不等式的解集是空集，则实数的范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，不等式的解集是空集，当，解得或，（1）当时，不等式可化为，所以解集不是空集，不符合题意（舍去）；（2）当时，不等式可化为不成立，所以解集为空集；当，要使的不等式的解集为空集，则，解得，综上所述，实数的范围为，故选B.‎ 考点：一元二次不等式问题.‎ ‎10.已知数列的通项公式是，则(　　)‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意,当为奇数时,当为偶数时,,所以可以得到,再根据平方差公式得出,最后求等差数列的前项和.‎ ‎【详解】解：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式,分类讨论方法、三角形的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎11.正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式求出的最小值16，将所求问题转化为对任意实数x 恒成立的问题即可.‎ ‎【详解】因为，当且仅当时，等 号成立，故不等式对任意实数x恒成立，转化为 对任意实数x恒成立，又的最大值为6，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值以及不等式恒成立求参数范围的问题，考查学生等价转化及运算能力，是一道中档题.‎ ‎12.已知数列是首项为1，公差为的等差数列，前n项和为，设（），若数列是递减数列，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数列通项求出，再利用对任意正整数n恒成立，转化为最值处理.‎ ‎【详解】由已知，，所以，若数列是递减数列，‎ 则对任意正整数n恒成立，即对任意正整数n恒成立，‎ 也就是对任意正整数n恒成立，令，‎ 当时，显然不成立，当即时，满足题意，当时，只 需，解得，综上，实数k的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及了等差数列求和公式，减数列的定义，是一道中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则取最大值时的x的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，利用计算即可.‎ ‎【详解】，当且仅当，即时，等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，要注意等价变形，当然也可以用二次函数的性质，本题是一道基础题.‎ ‎14.二次不等式的解集为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为的两根，利用韦达定理即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，为的两根，且，所以，解得，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式解法的应用，注意结合韦达定理，是一道基础题.‎ ‎15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可计算数列的通项公式.‎ ‎【详解】，而，‎ 当时，，‎ 故.‎ 填.‎ ‎【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎16.已知数列为等差数列，其前n项和为，且，给出以下结论：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤其中正确的有______.（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①②③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，，即可判断①⑤；可判断②；可判断③；由可判断④.‎ ‎【详解】由可得，，，故公差，且，①⑤正确；‎ ‎，故②正确；，故③正确；‎ 因，所以数列中的最大项为，故④错误.‎ 故答案为：①②③⑤.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及到等差数列的和等知识，考查学生推理及运算能力，是一道中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（1）是否存在实数m，使是的充分条件？‎ ‎（2）是否存在实数m，使是的必要条件？‎ ‎【答案】（1）存在，；（2）不存在 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用集合间的包含关系来处理，即若，则A是B的充分条件；‎ ‎（2）若，则B是A的必要条件.‎ ‎【详解】（1）由解得 由解得或 欲使是的充分条件，‎ 则只要或，‎ 即只需，‎ 所以.‎ 故存在实数，使是的充分条件.‎ ‎（2）欲使是的必要条件，‎ 则只要或，这是不可能的.‎ 故不存在实数m，使是的必要条件.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件，涉及到解一元二次不等式，是一道容易题.‎ ‎18.已知等差数列的前n项和为，且，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前20项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）250‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用基本量求数列的通项；‎ ‎（2）需判断哪些项为非负，哪些为负，然后去绝对值转化为等差数列的和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为d，‎ 则由条件得 解得，‎ 通项公式，即 ‎（2）令，解，‎ ‎∴ 当时，；当时，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查利用基本量求等差数列的通项公式以及计算绝对值数列的前20项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.‎ ‎19.已知函数，‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对实数x，当时，均有成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）分离参数，将所求问题转化为对，均有不等式成立.即可 ‎【详解】（1）由，‎ 可得，‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（2）∵‎ 当时，恒成立 ‎∴‎ 即 即对，均有不等式成立.‎ 而 当且仅当时等号成立 ‎∴实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式以及不等式恒成立问题，处理恒成立问题，通常转化为最值来处理.‎ ‎20.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ ‎（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？‎ ‎（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎【答案】（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知得平均处理成本为，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利，根据二次函数图象可求得，可知不获利，同时求得国家至少补贴元.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：‎ 当且仅当，即时取等号 月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元/吨 ‎（2）不获利 设该单位每月获利为元 ‎ ‎ 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴元才能不亏损 ‎【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.‎ ‎21.数列中， ，当时，其前项和满足． ‎ ‎（1）求的表达式； ‎ ‎(2)设＝ ,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用数列的递推公式，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式，即可求解；‎ ‎（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可求解．‎ ‎【详解】（1） ‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的裂项法求和，其中解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．‎ ‎22.已知数列的前n项和为，，（，且）.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求使不等式对一切均成立的最大实数p.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将变形为即可；‎ ‎（2）利用等差数列的通项公式结合由（1）可得；‎ ‎（3）分离参数，将不等式变形为，令，只需求出的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）（，且）‎ ‎，即（，且）‎ 所以数列是首项公差,的等差数列，‎ ‎（2）由（1）得 ‎（3）①‎ ‎②‎ ‎①②得：‎ ‎.‎ 由题意得对恒成立，‎ 记 则 ‎，，即是随n的增大而增大 的最小值为，，即.‎ ‎【点睛】本题考查构造法求数列通项以及数列不等式恒成立问题，要求学生有较强的计算能力，是一道较难的题.‎