【物理】2018届一轮复习人教版第1章第3节运动图象追及、相遇问题学案
第三节 运动图象 追及、相遇问题
一、匀变速直线运动的图象
1．直线运动的x－t图象
(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．
(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．
2．直线运动的v－t图象
(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律．
(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．
(3)“面积”的意义
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．
②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向．
1.判断正误
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．( )
(2)x－t图象上两图线的交点表示两物体相遇．( )
(3)x－t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．( )
(4)两条v－t图象的交点表示两个物体相遇．( )
提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、追及、相遇问题
1．两类追及问题
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．
(2)若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．
2．两类相遇问题
(1)同向运动的两物体追及追上时即相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
2.一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距公共汽车25 m 处时，绿灯亮了，公共汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
提示：B
运动图象问题的应用
【知识提炼】
图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素
一般意义
x－t图象
v－t图象
a－t图象
轴
图象描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移
横轴—时间
纵轴—速度
横轴—时间
纵轴—加速度
横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
运动物体的加速度与时间的关系
斜率
k＝，定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
某点的斜率表示该点加速度的变化率
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
两线交点表示两物体该时刻加速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
在纵轴上的截距表示t＝0时的位移
在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
在纵轴上的截距表示t＝0时的加速度
【典题例析】
(多选)(2016·高考全国卷乙)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
[审题指导] 由图象中的斜率、面积分别可得甲、乙两车运动时的加速度、位移等运动信息，再根据3 s时并排寻找两车间的相对运动情况，从而解决问题．
[解析] 根据题述，两车在t＝3 s时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t＝1 s时，甲车和乙车并排行驶，选项A、C错误．由图象可知，在t＝1 s时甲车速度为10 m/s，乙车速度为15 m/s，0～1 s时间内，甲车行驶位移为x1＝5 m，乙车行驶位移为x2＝12.5 m，所以在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m，选项B正确．从t＝1 s到t＝3 s，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x＝×(10＋30)×2 m＝40 m，选项D正确．
[答案] BD
【跟进题组】
考向1 图象信息的读取
1．(多选)如图甲所示，小滑块P(可视为质点)以不同的初速度v0从长度为4 m的固定斜面Q的顶端沿斜面下滑时，得到小滑块下滑的最大距离x与初速度的平方v的关系图象(即x－v图象)如图乙所示，下列判断正确的是( )
A．小滑块下滑的加速度大小为4 m/s2
B．小滑块下滑的加速度大小为2 m/s2
C．若v0＝5.0 m/s，则滑块滑到斜面底端的时间长为1 s
D．若v0＝5.0 m/s，则滑块滑到斜面底端的时间长为4 s
解析：选BC.根据匀变速直线运动的速度位移公式得v2－v＝2ax，其中v＝0，整理得x＝－，因为x－v图象的斜率k＝ m－1·s2，可得a＝－2 m/s2，所以滑块下滑的加速度大小为2 m/s2，选项A错误、B正确；由位移公式得x＝v0t＋at2，代入数据解得t＝1 s或t＝4 s(舍去)，选项C正确、D错误．
考向2 运动图象的转换
2．(多选)下列给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是( )
解析：选BC.由A、B选项中的v－t图象可知，0～3 s内质点做匀速直线运动，加速度为零，在3～5 s内做匀加速直线运动，a＝2 m/s2，故A错误，B正确；由C、D选项中的x－t图象可知，0～3 s内，质点静止不动，速度和加速度均为零，3～5 s内，质点做匀速运动，速度v＝2 m/s，加速度a＝0，故C正确，D错误．
运用图象解决问题时构图选择的原则
(1)物理量涵盖原则：所选择的坐标系要使图象尽可能全面地涵盖所研究问题的物理量，以全面反映物理过程的本质特点．一般来说，v－t图象提供的信息最多，涵盖速度、速度的变化量、时间、位移、加速度等．
(2)线性函数优先的原则：线性函数能直观地反映物理现象的性质，有利于动态分析和判断．
(3)化曲为直的原则：曲线的可读性相对较差，当所作图线为曲线时，应尝试将两个坐标中的一个进行适当变形，化曲线为直线，提高图线的可读性．
追及、相遇问题
【知识提炼】
1．分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0
xB，则不能追上．
(2)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，
说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．
3．注意三类追及、相遇情况
(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．
(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．
(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体速度相等时的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．
【典题例析】
在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
[审题指导] 两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等．
[解析] 法一：临界条件法
设两车运动速度相等时，所用时间为t，
由v0－(2a)t＝at得，t＝①
A车位移：xA＝v0t－(2a)t2
B车位移：xB＝at2
两车不相撞的条件：xB＋x≥xA
即：at2＋x≥v0t－at2②
联立①②得：v0≤.
法二：二次函数极值法
设两车运动了时间t，则
xA＝v0t－at2
xB＝at2
两车不相撞需要满足
Δx＝xB＋x－xA＝at2－v0t＋x≥0
则Δxmin＝≥0
解得v0≤.
法三：图象法
利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vt＝v0－2at，
对B车有vt＝at
以上两式联立解得t＝
经时间t两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知x＝v0t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
法四：相对运动法
巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：v＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v2－v＝2ax得：
02－v＝2·(－3a)·x
所以v0＝.
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
[答案] v0≤
图象法在追及、相遇问题中的应用总结
(1)速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速追匀速
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大；
②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx；
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小；
④能追上且只能相遇一次.
注：x0为开始时两物体间的距离
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
(2)速度大者追速度小者
类型
图象
说明
匀减速追匀速
开始追时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；
②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇.
注：x0是开始时两物体间的距离
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
【跟进题组】
考向1 追及、相遇中的临界与极值问题
1．足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中．如图，某足球场长90 m、宽60 m，攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为12 m/s的匀减速直线运动，减速过程的加速度大小为2 m/s2.
(1)足球从开始减速到停下来的位移为多大？
(2)若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启动过程可视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，则该前锋队员经过多长时间才能追上足球？
解析：(1)设足球初速度大小为v0，加速度大小为a1，足球做匀减速直线运动的时间为t1，位移为x1，则有v0＝a1t1，x1＝t1，代入数据可得t1＝6 s，x1＝36 m.
(2)设前锋队员的加速度大小为a2，最大速度为vm，前锋队员加速到最大速度所用时间为t2、位移为x2，则有vm＝a2t2，x2＝t2，代入数据可解得t2＝4 s，x2＝16 m．前锋队员加速到最大速度时，足球的位移x′1＝v0t2－a1t＝32 m，
故此时队员没有追上足球．之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，设前锋队员匀速运动的位移为
x3，则有x3＝vm(t1－t2)，解得x3＝16 m．由于x1>x2＋x3，故当足球停止运动时，前锋队员仍没有追上足球，设前锋队员又运动了t3时间才追上足球，如图，则有x1－(x2＋x3)＝vmt3，代入数据解得t3＝0.5 s．故前锋队员追上足球所用的总时间t＝t1＋t3＝6.5 s.
答案：见解析
考向2 追及、相遇中的“抛体模型”
2．以v0＝20 m/s的速度竖直上抛一小球，2 s后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球．g取10 m/s2，则两球相碰处离出发点的高度是( )
A．10 m B．15 m
C．20 m D．不会相碰
解析：选B.法一：设第二个小球抛出后经t时间与第一个小球相遇，根据位移相等有
v0(t＋2 s)－g(t＋2 s)2＝v0t－gt2
解得t＝1 s
代入位移公式h＝v0t－gt2，解得h＝15 m.
法二：因为第二个小球抛出时，第一个小球恰开始自由下落(到达最高点)，根据速度对称，上升阶段与下降阶段经过同一位置的速度大小相等、方向相反，有－[v0－g(t＋2 s)]＝v0－gt，解得t＝1 s，代入位移公式，解得h＝15 m.
挖掘临界状态是解决追及、相遇问题的关键
两物体要相撞但还没相撞的状态是追及、相遇问题的临界状态．速度相等是两物体间距离最大或最小、相撞或不相撞的临界条件．相遇的物体必然存在两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系，二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系．要使物体相遇就必须同时满足相应的位移关系和运动时间关系．
1．甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v0经过某一路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个路标时的速度仍为v0，则( )
A．甲车先经过下一个路标
B．乙车先经过下一个路标
C．丙车先经过下一个路标
D．无法判断谁先经过下一个路标
解析：选B.由题意画出v－t图象如图所示，由于甲、乙、丙在此过程中位移相同，故由图可得乙车所用时间最短．
2.(高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一
平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：选A.根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；由于v－t图象的斜率大小反映了加速度的大小，所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
3．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是( )
解析：选D.由题图可知，在0～时间内a＝a0＞0，若v0≥0，物体做匀加速运动；若v0＜0，物体做匀减速运动，故B、C皆错误．由于在T～2T时间内a＝－a0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0～时间内相同，故A错误、D正确．
4．甲、乙两车相距x0＝40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16.0 m/s，加速度a1＝2.0 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4.0 m/s，
加速度a2＝1.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动．求：
(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车经历的时间．
解析：(1)甲、乙两车速度相等时距离最大．设时间为t1时，两车的速度相等，则：v1－a1t1＝v2＋a2t1
即16.0－2t1＝4.0＋t1，解得：t1＝4.0 s
对甲车：x1＝v1t1－a1t＝48.0 m
对乙车：x2＝v2t1＋a2t＝24.0 m
故甲、乙两车相遇前相距的最大距离为：
xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m.
(2)甲车运动的时间t2＝＝8.0 s
在甲车运动时间内，甲车位移：x′1＝t2＝64.0 m
乙车位移：x′2＝v2t2＋a2t＝64.0 m
故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x0＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v′2＝v2＋a2t2＝12.0 m/s，故x0＝v′2t3＋a2t即40.5＝12.0t3＋t，解得：t3＝3.0 s
乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11.0 s.
答案：(1)64.5 m (2)11.0 s
