【数学】2019届一轮复习人教A版 命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
考点2 四种命题及其关系
考点3 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[必会结论]
1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－8<0”是命题．( )
(2)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( )
(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．( )
(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．[课本改编]“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.
故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
3．[2018·安徽模拟]设p：1
1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵(1,2)(0，＋∞)，∴p是q的充分不必要条件．
4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．
5．“a<0，b<0”的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.>1 D.<－1
答案 A
解析 若a<0，b<0，则一定有a＋b<0.故选A.
6．[2018·烟台诊断]若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 A
解析 p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2](－∞，a]，即a≥2.
板块二 典例探究·考向突破
考向 四种命题及其相互关系
例 1 [2018·唐山检测]给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
④“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案 ①②
解析 ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题；④“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．
触类旁通
四种命题真假判断的方法
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；
(3)判断一个命题为假命题可举反例．
【变式训练1】 [2017·郑州模拟]给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案 ①③
解析 ①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
考向 充分必要条件的判定
命题角度1 定义法判断充分、必要条件
例 2 [2016·四川高考]设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋
y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．
命题角度2 等价转化法判断充分、必要条件
例 3 给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件．
触类旁通
充分条件、必要条件的判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
考向 充分必要条件的应用
例 4 [2018·辽宁模拟]已知命题p：|x－4|≤6，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
解 p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m>0.
∵綈p是綈q的必要而不充分条件，即p⇒q且qp.
∴[－2,10][1－m,1＋m]，
即解得m≥9，
∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．
触类旁通
根据充要条件求参数的取值范围
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．
【变式训练2】 已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
答案 A
解析 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
核心规律
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.
对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
满分策略
1.当一个命题有大前提时，要写出其他三种命题，必须保留大前提，也就是大前提不动．
2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．
3.判断条件之间的关系，要注意条件之间的推出方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列1——充分必要条件的探求技巧
[2018·广东六校联考] “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m> B．00 D．m>1
解题视点 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．
解析 不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.
答案 C
答题启示 注意区分以下两种不同的说法
(1)A是B的充分不必要条件，是指A⇒B但BA；
(2)A的充分不必要条件是B，是指B⇒A但AB.,以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断.
跟踪训练
下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
答案 A
解析 a>b＋1⇒a>b；反之，例如a＝2，b＝1满足a>b，但a＝b＋1，即a>b推不出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要的条件．故选A.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·江西模拟]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.
2．下列命题是真命题的为( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 |x－2|<1⇔－10⇔x<－2或x>1.由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
4．下列结论错误的是( )
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
答案 C
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0，所以不是真命题．
5．[2018·长春模拟]设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a0”是“xe”是“a>b>0”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由e>e，得>1，解得a>b>0或ae”是“a>b>0”的必要不充分条件．
3．[2018·湖北模拟]设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为B⊆∁UC，所以B∩C＝∅.又因为A⊆C，所以A∩B＝∅.
反之，若A∩B＝∅，则存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC.
4．[2017·天津大港模拟]已知集合A＝y＝x2－x＋1，x∈，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解 y＝x2－x＋1＝2＋，
因为x∈，所以≤y≤2，
所以A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，所以B＝{x|x≥1－m2}．
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，
所以1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
5．[2018·保定模拟]已知p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0.
(1)若p是真命题，求对应x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解 (1)因为x2≤5x－4，
所以x2－5x＋4≤0，
即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，
即对应x的取值范围为[1,4]．
(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}．
由x2－(a＋2)x＋2a≤0，
得(x－2)(x－a)≤0.
当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}；
当a>2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}；
当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}．
若p是q的必要不充分条件，则BA，
当a＝2时，满足条件；
当a>2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，
B＝{x|2≤x≤a}，
要使BA，则满足2
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