【数学】2018届一轮复习人教A版利用函数性质判定方程解的存在问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版利用函数性质判定方程解的存在问题学案

‎4.1.1　‎利用函数性质判定方程解的存在 问题导学 一、求函数的零点 活动与探究1‎ 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：‎ ‎(1)f(x)＝1＋log3x；‎ ‎(2)f(x)＝4x－16；‎ ‎(3)f(x)＝.‎ 迁移与应用 ‎1．求下列函数的零点：‎ ‎(1)f(x)＝－x2＋2x＋3；(2)f(x)＝2x－2.[ ]‎ ‎2．若函数f(x)＝＋a的零点是－2，则a的值为________．‎ ‎1．求函数f(x)的零点，基本方法是解方程f(x)＝0，方程的根就是零点．‎ ‎2．解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解．‎ 二、函数零点个数的判断 活动与探究2‎ 判断函数f(x)＝x2－的零点的个数．‎ 迁移与应用 ‎1．函数f(x)＝x－的零点的个数是(　　)．‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．3‎ ‎2．求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数． ‎ 判断函数零点的个数常有以下方法：[ ]‎ ‎(1)解方程f(x)＝0，方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数；‎ ‎(2)画出函数f(x)的图像，该图像与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数；‎ ‎(3)将方程f(x)＝0变形为g(x)＝h(x)，在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图像，两个图像交点的个数就是原函数f(x)零点的个数．‎ 三、判断方程(函数)在指定区间上是否存在实数解(零点)‎ 活动与探究3‎ ‎(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)．‎ A．(－2，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1,2)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？‎ 迁移与应用 ‎1．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)．‎ A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎2．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．‎ 判断一个方程f(x)＝0(函数f(x))在区间[a，b]上是否存在实数解(零点)，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，其次再检验是否满足f(a)·f(b ‎)＜0.若满足，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点，且相应的方程f(x)＝0必有实数解．‎ 四、函数零点的综合应用 ‎ 活动与探究4‎ 当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？‎ 迁移与应用 若函数f (x)＝x2＋2x－a的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是________．‎ 解决这类问题应注意以下几点：‎ ‎(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．‎ ‎(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．‎ ‎(3)写出由题意得到的不等式．‎ ‎(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意．‎ 当堂检测 ‎1．函数f(x)＝的零点是(　　)．‎ A．1 B．－‎1 C．±1 D．0‎ ‎2．函数f(x)＝lnx－1的零点所在的大致区间为(　　)．‎ A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)‎ ‎3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上零点的个数是(　　)．‎ A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 ‎4．函数f(x)＝x2－的零点的个数是________．‎ ‎5．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求a的取值范围．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ ‎1．(1)交点的横坐标　(2)f(x)＝0‎ 预习交流1　提示：不正确．函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，即函数零点的实质是一个实数，而不是几何上的点．‎ 预习交流2　提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y＝和y＝x2＋3等都没有零点．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，计算Δ＝b2－‎4ac，则当Δ＞0时，f(x)有2个零点，当Δ＝0时，f(x)有1个零点，当Δ＜0时，f(x)无零点．‎ ‎2．至少有一个零点　至少有一个实数解 预习交流3　(1)提示：函数在(a，b)内有零点，可能只有1个，也可能有多个．图①和②分别是函数f(x)和g(x)的图像．由图知，f(x)与g(x)的图像在(a，b)上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0，图①中函数f(x)在(a，b)内有2个零点，图②中函数g(x)在(a，b)内有3个零点．由此可见，满足题设条件的函数的零点不一定只有1个．‎ ‎(2)提示：不一定．例如：函数f(x)＝x2－1在区间(－2,2)内有2个零点，但却有f(－2)·f(2)＞0.‎ ‎(3)提示：不对．例如：函数f(x)＝在闭区间[－2,2]上的图像不连续，虽有f(－2)·f(2)＜0，但f(x)在(－2,2)内没有零点．‎ 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　解：(1)令1＋log3x＝0，‎ 则log3x＝－1，解得x＝，‎ 所以函数的零点为x＝.‎ ‎(2)令4x－16＝0，则4x＝42，‎ 解得x＝2，‎ 所以函数的零点为x＝2.‎ ‎(3)因为f(x)＝＝，令＝0，‎ 解得x＝－6，所以函数的零点为x＝－6.‎ 迁移与应用　1．解：(1)令－x2＋2x＋3＝0，‎ 解得x＝－1或x＝3，‎ 即函数的零点是x1＝－1，x2＝3.‎ ‎(2)令2x－2＝0，解得x＝1，[ ]‎ 即函数的零点是x＝1.‎ ‎2．　解析：依题意知f(－2)＝0，即＋a＝0，所以a＝.‎ 活动与探究2　解：(方法一)令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．‎ ‎(方法二)令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图像，‎ 由图像可知，两个图像只有一个交点，‎ 故函数只有一个零点．‎ 迁移与应用　1．C　解析：令f(x)＝0，即x－＝0.‎ 解得x＝±2.所以f(x)有2个零点．‎ ‎2．解法一：在同一平面直角坐标系中作出y＝ln x与y＝6－2x的图像，由图知，两个函数图像只有一个交点，故函数f(x)的零点个数为1. ‎ 解法二：∵f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2＜0，‎ f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0，‎ ‎∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2,3)上有零点．‎ 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，‎ ‎∴函数f(x)有且只有一个零点．[ ]‎ 活动与探究3　思路分析：(1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可；(2)要判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]上有没有实数解，只需看f(－1)，f(0)是否异号即可．‎ ‎(1)C　解析：由于f(－2)＝e－2－2－2＜0，f(－1)＝e－1－1－2＜0，f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0，所以f(0)·f(1)＜0，因此零点所在的一个区间是(0,1)．选C.‎ ‎(2)解：∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，又∵函数f(x)＝2x－3x2的图像是连续曲线，∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．‎ 迁移与应用　1．C　解析：构造函数，转化为求函数的零点所在的区间．‎ 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是连续且单调的函数，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．‎ ‎2．解：设函数f(x)＝x3－2x，‎ ‎∵f(1)＝1－2＝－1＜0，‎ f(2)＝8－4＝4＞0，‎ ‎∴f(1)·f(2)＜0. ‎ 又∵函数f(x)＝x3－2x的图像是连续曲线，‎ ‎∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数解．‎ 活动与探究4　思路分析：令函数f(x)＝ax2－2x＋1，本题的实质是该函数的一个零点在(0,1)上，另一个在(1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对a＞0，a＝0，a＜0作出讨论．‎ 解：当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．‎ 当a＞0时，设f(x)＝ax2－2x＋1， ‎ 因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，‎ 所以即解得＜a＜1.‎ 当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，‎ 则x1·x2＝＜0，‎ x1，x2一正一负，不符合题意．‎ 综上，a的取值范围为＜a＜1.‎ 迁移与应用　a＞3　解析：依题意，由图像可知f(1)＜0，即12＋2×1－a＜0，解得a＞3.‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1．B　解析：令f(x)＝0，得＝0，即x＋1＝0，所以x＝－1.‎ ‎2．B　解析：因为在给出的区间中，只有f(2)·f(3)＜0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号．‎ ‎3．C ‎4．2　解析：令f(x)＝0，得x2＝.设g(x)＝x2，h(x)＝.画出g(x)和h(x)的图像，由图像可知，两个函数图像有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．‎ ‎ ‎ ‎5．解：ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，‎ 即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内有零点，‎ 故f (0)·f(1)＜0，‎ 即－1×(a－2)＜0，解得a＞2.‎