【物理】2019届一轮复习人教版 磁场对运动电荷的作用 学案

【物理】2019届一轮复习人教版 磁场对运动电荷的作用 学案

第2讲　磁场对运动电荷的作用 一、洛伦兹力的大小和方向 ‎1.定义：磁场对运动电荷的作用力.‎ ‎2.大小 ‎(1)v∥B时，F＝0；‎ ‎(2)v⊥B时，F＝qvB；‎ ‎(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.‎ ‎3.方向 ‎(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向；‎ ‎(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B、v决定的平面.(注意B和v可以有任意夹角)‎ ‎4.做功：洛伦兹力不做功.‎ 自测1　带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是(　　)‎ A.只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同 B.如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变 C.洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直 D.粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变 答案　B 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 ‎1.若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动.‎ ‎2.若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动.‎ ‎3.基本公式 ‎(1)向心力公式：qvB＝m；‎ ‎(2)轨道半径公式：r＝；‎ ‎(3)周期公式：T＝.‎ 注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关.‎ 自测2　(多选)如图1所示，在匀强磁场中，磁感应强度B1＝2B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的(　　)‎ 图1‎ A.速率将加倍 B.轨迹半径加倍 C.周期将加倍 D.做圆周运动的角速度将加倍 答案　BC 命题点一　对洛伦兹力的理解 ‎1.洛伦兹力的特点 ‎(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷.‎ ‎(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.‎ ‎(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.‎ ‎(4)洛伦兹力一定不做功.‎ ‎2.洛伦兹力与安培力的联系及区别 ‎(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力.‎ ‎(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.‎ ‎3.洛伦兹力与电场力的比较 洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B)‎ F＝qE 力方向与场方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 例1　(多选)如图2所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为(　　)‎ 图2‎ A.0 B.mv02‎ C. D.m(v02－)‎ 答案　ABD 解析　若圆环所受洛伦兹力等于重力，圆环对粗糙细杆压力为零，摩擦力为零，圆环克服摩擦力做的功为零，选项A正确；若圆环所受洛伦兹力不等于重力，圆环对粗糙细杆压力不为零，摩擦力不为零，圆环以初速度v0向右做减速运动.若开始圆环所受洛伦兹力小于重力，则一直减速到零，圆环克服摩擦力做的功为mv02，选项B正确；若开始圆环所受洛伦兹力大于重力，则减速到洛伦兹力等于重力达到稳定，稳定速度v＝，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为W＝mv02－mv2＝m(v02－)，选项C错误，D正确.‎ 变式1　(2018·河南郑州模拟)在赤道处，将一小球向东水平抛出，落地点为a；给小球带上电荷后，仍从同一位置以原来的速度水平抛出，考虑地磁场的影响，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)‎ A.无论小球带何种电荷，小球仍会落在a点 B.无论小球带何种电荷，小球下落时间都会延长 C.若小球带负电荷，小球会落在更远的b点 D.若小球带正电荷，小球会落在更远的b点 答案　D 变式2　带电粒子以初速度v0从a点垂直y轴进入匀强磁场，如图3所示，运动中粒子经过b点，Oa＝Ob.若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场，仍以v0从a点垂直y轴进入电场，粒子仍能过b点，那么电场强度E与磁感应强度B之比为(　　)‎ 图3‎ A.v0 B.1 C.2v0 D. 答案　C 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O为圆心，故Oa＝Ob＝，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故Ob＝v0t，Oa＝t2，联立以上各式解得＝2v0，故选项C正确.‎ 命题点二　带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ‎①与速度方向垂直的直线过圆心 ‎②弦的垂直平分线过圆心 ‎③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ‎①t＝T ‎②t＝ ‎(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ ‎(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α 模型1　直线边界磁场 直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图4所示)‎ 图4‎ 图a中t＝＝ 图b中t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中t＝T＝ 例2　(2016·全国卷Ⅲ·18)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图5所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场.不计重力.粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　　)‎ 图5‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝.轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，知△AO′D为等边三角形，∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OCD＝90°，故CO′D为一直线，＝＝2＝4r＝，故D正确.‎ ‎ ‎ 变式3　如图6所示，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC与MN垂直，一束质量为m、电荷量为－q的粒子(不计重力)以相同的速率v从P处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且分散在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为(　　)‎ 图6‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，S、T之间的距离为在屏MN上被粒子打中区域的长度.由qvB＝m得R＝，‎ 则＝2Rcos θ＝ ＝2R＝，所以＝.‎ 模型2　平行边界磁场 平行边界存在临界条件(如图7所示)‎ 图7‎ 图a中t1＝，t2＝＝ 图b中t＝ 图c中t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中t＝T＝ 例3　如图8所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v＝3.2×106 m/s的α粒子.已知屏蔽装置宽AB＝9 cm，缝长AD＝18 cm，α粒子的质量m＝6.64×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C.若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B＝0.332 T，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空环境中.(结果可带根号)‎ 图8‎ ‎(1)若所有的α粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d至少是多少？‎ ‎(2)若条形磁场的宽度d＝20 cm，则射出屏蔽装置的α粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？‎ 答案　(1)(20＋10)×10－2 m　(2)×10－6 s　×10－6 s 解析　(1)由题意：AB＝9 cm，AD＝18 cm，可得 ‎∠BAO＝∠ODC＝45°‎ 所有α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，根据牛顿第二定律有 Bqv＝ 解得R＝0.2 m＝20 cm.‎ 由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD方向进入磁场的α粒子的圆周轨迹相切，则所有α粒子均不能从条形磁场隔离区右侧穿出，此时磁场的宽度最小，如图甲所示.‎ 设此时磁场宽度d＝d0，由几何关系得 d0＝R＋Rcos 45°＝(20＋10)cm.‎ 则磁场的宽度至少为(20＋10)×10－2 m.‎ ‎(2)设α粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T，则 T＝＝×10－6 s.‎ 设速度方向垂直于AD进入磁场区域的α粒子的入射点为E，如图乙所示.‎ 因磁场宽度d＝20 cm0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足(　　)‎ 图12‎ A.B> B.B< C.B> D.B< 答案　B 解析　若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，‎ 则粒子运动的半径为r0＝＝a.由qvB＝得r＝，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<，选项B正确.‎ 命题点三　带电粒子在磁场运动的多解问题 类型 分析 图例 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解 运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 例6　(2017·湖北华中师大一附中模拟)如图13甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：‎ 图13‎ ‎(1)磁感应强度B0的大小.‎ ‎(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.‎ 答案　(1)　(2)(n＝1,2,3，…)‎ 解析　设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.‎ ‎(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝ 做匀速圆周运动的周期T0＝ 由以上两式得磁感应强度B0＝ ‎(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，有R＝(n＝1,2,3，…).‎ 联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝＝(n＝1,2,3，…)‎ 变式5　(多选)如图14所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　)‎ 图14‎ A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场 答案　AC 解析　如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.‎ 由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于 t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0，综上可知，A、C正确，B、D错误.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列说法正确的是(　　)‎ A.运动电荷在磁感应强度不为0的地方，一定受到洛伦兹力的作用 B.运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为0‎ C.洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度 D.洛伦兹力对带电粒子总不做功 答案　D ‎2.如图1为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹.云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直.由此可知粒子(　　)‎ 图1‎ A.一定带正电 B.一定带负电 C.不带电 D.可能带正电，也可能带负电 答案　A ‎3.如图2所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，两个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图.若带电粒子只受洛伦兹力的作用，则下列说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A.a粒子速率较大 B.b粒子速率较大 C.b粒子在磁场中运动时间较长 D.a、b粒子在磁场中运动时间一样长 答案　B ‎4.如图3所示，长直导线ab附近有一带正电荷的小球用绝缘丝线悬挂在M点.当ab中通以由b→a的恒定电流时，下列说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A.小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向里 B.小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向外 C.小球受磁场力作用，方向与导线垂直并指向左方 D.小球不受磁场力作用 答案　D ‎5.如图4所示，一正电荷水平向右射入蹄形磁铁的两磁极间.此时，该电荷所受洛伦兹力的方向是(　　)‎ 图4‎ A.向左 B.向右 C.垂直纸面向里 D.垂直纸面向外 答案　D ‎6.(多选)(2018·安徽芜湖调研)如图5所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B；一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场.其中某一速率为v0的电子从Q点射出.已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　)‎ 图5‎ A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B.所有电子在磁场中的轨迹相同 C.速率大于v0的电子在磁场中运动时间长 D.所有电子的速度方向都改变了2θ 答案　AD 解析　由左手定则可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A选项正确；由qvB＝得R＝，可知所有电子在磁场中的轨迹不相同，B选项错误；由T＝得T＝，所以所有电子在磁场中的运动时间都相同，C选项错误；所有电子偏转角度相同，所有电子的速度方向都改变了2θ，D选项正确.综上本题选A、D.‎ ‎7.如图6所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则(　　)‎ 图6‎ A.带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1‎ B.带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为∶1‎ C.带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为2∶1‎ D.带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为1∶2‎ 答案　A 解析　设匀强磁场圆形区域的半径为R，由qBv＝，‎ 得R′＝，可知带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，半径分别为R1′＝Rtan 30°，R2′＝Rtan 60°，所以R1′∶R2′＝1∶3，则带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1；由T＝知，带电粒子1和2的周期之比为1∶3，所以带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为＝.综上本题选A.‎ ‎8.(多选)(2018·广东广州模拟)如图7所示，真空中xOy平面内有一束宽度为d的带正电粒子束沿x轴正方向运动，所有粒子为同种粒子，速度大小相等，在第一象限内有一方向垂直xOy平面的有界匀强磁场区(图中未画出)，所有带电粒子通过磁场偏转后都会聚于x轴上的a点.下列说法中正确的是(　　)‎ 图7‎ A.磁场方向一定是垂直xOy平面向里 B.所有粒子通过磁场区的时间相同 C.所有粒子在磁场区运动的半径相等 D.磁场区边界可能是圆，也可能是其他曲线 答案　CD 解析　由题意可知，正粒子经磁场偏转后，都集中于一点a，根据左手定则可知，磁场的方向垂直平面向外，故A错误；由洛伦兹力提供向心力，可得T＝，而运动的时间还与圆心角有关，因此粒子的运动时间不等，故B错误；由洛伦兹力提供向心力，可得R＝，由于为同种粒子，且速度大小相等，所以它们的运动半径相等，故C正确；所有带电粒子通过磁场偏转后都会聚于x轴上的a点，因此磁场区边界可能是圆，也可能是圆弧，故D正确；故选C、D.‎ ‎9.(多选)(2018·甘肃平凉质检)如图8所示，ABCA为一半圆形的有界匀强磁场.O为圆心，F、G分别为半径OA和OC的中点，D、E点位于边界圆弧上，且DF∥EG∥BO.现有三个相同的带电粒子(不计重力)以相同的速度分别从B、D、E三点沿平行BO方向射入磁场，其中由B点射入磁场的粒子1恰好从C点射出.由D、E两点射入的粒子2和粒子3从磁场某处射出，则下列说法正确的是(　　)‎ 图8‎ A.粒子2从O点射出磁场 B.粒子3从C点射出磁场 C.粒子1、2、3在磁场的运动时间之比为3∶2∶3‎ D.粒子2、3经磁场偏转角相同 答案　ABD 解析　从B点射入磁场的粒子1恰好从C点射出，可知带电粒子运动的轨迹半径等于磁场的半径，由D点射入的粒子2的圆心为E点，由几何关系可知该粒子从O点射出，同理可知粒子3从C点射出，A、B正确；1、2、3三个粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为90°、60°、‎ ‎60°，运动时间之比为3∶2∶2，C错误，D正确.‎ ‎ ‎ ‎10.如图9所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一个粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场.已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)‎ 图9‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动.由粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为，可知△O′SD为等边三角形，粒子圆周运动半径R＝SD，过S点作OA的垂线交OC于E点，由几何关系可知SE＝2SD，SE为圆弧轨迹的直径，所以从E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t＝，故B项正确.‎ ‎11.如图10所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计，求：‎ 图10‎ ‎(1)磁场的磁感应强度B的大小；‎ ‎(2)正方形区域的边长；‎ ‎(3)粒子再次回到M点所用的时间.‎ 答案　(1)　(2)4R　(3) 解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，‎ qv0B＝m.‎ 由几何关系r1＝R.‎ 解得B＝.‎ ‎(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB边射出，‎ qv0B＝m，‎ r2＝＝R.‎ 正方形的边长L＝2r1＋2r2＝4R.‎ ‎(3)粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的周期 T1＝，‎ 在圆形磁场中运动时间t1＝T1＝.‎ 粒子在正方形区域做匀速圆周运动的周期T2＝，‎ t2＝T2＝.‎ 再次回到M点的时间为t＝t1＋t2＝.‎ ‎12.如图11所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和b，OP为分界线，‎ 在磁场a中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸面向里，在磁场b中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，P点坐标为(4l,3l).一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入磁场b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力.求：‎ 图11‎ ‎(1)粒子从P点运动到O点的最短时间是多少？‎ ‎(2)粒子运动的速度大小可能是多少？‎ 答案　(1)　(2)(n＝1,2,3，…)‎ 解析　(1)设粒子的入射速度为v，用Ra、Rb、Ta、Tb分别表示粒子在磁场a中和磁场b中运动的轨道半径和周期，则有 Ra＝，Rb＝，Ta＝＝，Tb＝ 当粒子先在磁场b中运动，后进入磁场a中运动，然后从O点射出时，粒子从P点运动到O点所用的时间最短，如图所示.根据几何知识得tan α＝＝，故α＝37°‎ 粒子在磁场b和磁场a中运动的时间分别为 tb＝Tb，ta＝Ta 故从P点运动到O点的时间为 t＝ta＋tb＝ ‎(2)由题意及上图可知 n(2Racos α＋2Rbcos α)＝ 解得v＝(n＝1,2,3，…).‎