高考文科数学复习备课课件：第二节　导数与函数的单调性

高考文科数学复习备课课件：第二节　导数与函数的单调性

文数 课标版 第二节　导数与函数的单调性   函数的导数与单调性的关系 函数 y = f ( x )在某个区间内可导, (1)若 f '( x )>0,则 f ( x )在这个区间内① 　单调递增     ; (2)若 f '( x )<0,则 f ( x )在这个区间内② 　单调递减     ; (3)若 f '( x )=0,则 f ( x )在这个区间内是③ 　常数函数     . 教材研读   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)若函数 f ( x )在( a , b )内单调递增,那么一定有 f '( x )>0.   ( × ) (2)如果函数 f ( x )在某个区间内恒有 f ' ( x )=0,则 f ( x )在此区间内没有单调 性.   (√) (3)在( a , b )内 f '( x ) ≤ 0且 f ' ( x )=0的根有有限个,则 f ( x )在( a , b )内是减函数.   (√)       1. 已知函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x )= ax 2 + bx + c 的图象如图所示 , 则 f ( x ) 的图象可能是   ( 　　 ) 答案      D 　由题图可知 , 当 x <0 和 x > x 1 时 , 由导函数 f '( x )= ax 2 + bx + c <0, 知相 应的函数 f ( x ) 在该区间上单调递减 ; 当 0< x < x 1 时 , 由导函数 f '( x )= ax 2 + bx + c >0 知相应的函数 f ( x ) 在该区间上单 调递增. 2.下列函数中,在(0,+ ∞ )上为增函数的是   (　　) A. f ( x )=sin 2 x 　    B. f ( x )= x e x C. f ( x )= x 3 - x 　     D. f ( x )=- x +ln x 答案     B　对于A,易得 f ( x )=sin 2 x 的单调递增区间为   ( k ∈ Z);对于B, f '( x )=e x ( x +1),当 x ∈(0,+ ∞ )时, f '( x )>0,∴函数 f ( x )= x e x 在(0,+ ∞ ) 上为增函数; 对于C, f '( x )=3 x 2 -1,令 f '( x )>0,得 x >   或 x <-   ,∴函数 f ( x )在   和   上单调递增; 对于D, f '( x )=-1+   =-   ,令 f '( x )>0,得0< x <1,∴函数 f ( x )在区间(0,1)上单 调递增.综上所述,应选B. 3.函数 f ( x )=( x -3)e x 的单调递增区间是   (　　) A.(- ∞ ,2)　    B.(0,3)　    C.(1,4)　    D.(2,+ ∞ ) 答案     D　由 f ( x )=( x -3)e x ,得 f '( x )=( x -2)e x , 令 f '( x )>0,得 x >2,故 f ( x )的单调递增区间是(2,+ ∞ ). 4.已知函数 f ( x )=   -(4 m -1) x 2 +(15 m 2 -2 m -7) x +2在R上为单调递增函数,则 实数 m 的取值范围是 　　　     . 答案 　[2,4] 解析      f '( x )= x 2 -2(4 m -1) x +15 m 2 -2 m -7,由题意可得 f '( x ) ≥ 0在 x ∈R 上恒成 立,所以 Δ =4(4 m -1) 2 -4(15 m 2 -2 m -7)=4( m 2 -6 m +8) ≤ 0,解得2 ≤ m ≤ 4. 考点一　利用导数判断(证明)函数的单调性 典例1 　已知函数 f ( x )=( a -1)ln x + ax 2 +1. 讨论函数 f ( x )的单调性. 解析 　 f ( x )的定义域为(0,+ ∞ ), f '( x )=   +2 ax =   . 当 a ≥ 1时, f '( x )>0,故 f ( x )在(0,+ ∞ )上单调递增; 当 a ≤ 0 时, f '( x )<0,故 f ( x )在(0,+ ∞ )上单调递减; 当0< a <1时,令 f '( x )=0,解得 x =   ,则当 x ∈   时, f '( x )<0;当 x ∈   时, f '( x )>0,故 f ( x )在   上单调递减,在   上单 调递增. 考点突破 方法技巧 用导数法判断函数 f ( x )在( a , b )内的单调性的步骤: ①求 f '( x ). ②确定 f '( x )在( a , b )内的符号. ③作出结论: f '( x )>0时为增函数; f '( x )<0时为减函数. [提醒]　研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解 集的影响进行分类讨论. 1-1     (2015重庆,19,12分)已知函数 f ( x )= ax 3 + x 2 ( a ∈R)在 x =-   处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g ( x )= f ( x )e x ,讨论 g ( x )的单调性. 解析 　(1)对 f ( x )求导得 f '( x )=3 ax 2 +2 x , 因为 f ( x )在 x =-   处取得极值,所以 f '   =0, 即3 a ·   +2 ×   =   -   =0,解得 a =   . (2)由(1)得 g ( x )=   e x , 故 g '( x )=   e x +   e x =   e x =   x ( x +1)( x +4)e x . 令 g '( x )=0,解得 x =0, x =-1或 x =-4. 当 x <-4时, g '( x )<0,故 g ( x )为减函数; 当-4< x <-1时, g '( x )>0,故 g ( x )为增函数; 当-1< x <0时, g '( x )<0,故 g ( x )为减函数; 当 x >0时, g '( x )>0,故 g ( x )为增函数. 综上,知 g ( x )在(- ∞ ,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+ ∞ )内为增函数. 考点二　利用导数求函数的单调区间 典例2 　已知函数 f ( x )=   +   -ln x -   ,其中 a ∈R,且曲线 y = f ( x )在点(1, f (1)) 处的切线垂直于直线 y =   x . (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x )的单调区间. 解析 　(1)对 f ( x )求导得 f '( x )=   -   -   ,由曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线 垂直于直线 y =   x ,得 f '(1)=-   - a =-2,解得 a =   . (2)由(1)知 f ( x )=   +   -ln x -   ,则 f '( x )=   , 令 f '( x )=0,解得 x =-1或 x =5. 因 x =-1不在 f ( x )的定义域(0,+ ∞ )内,故舍去. 当 x ∈(0,5)时, f '( x )<0,故 f ( x )在(0,5)内为减函数;当 x ∈(5,+ ∞ )时, f '( x )>0, 故 f ( x )在(5,+ ∞ )内为增函数. 故函数 f ( x )的单调增区间为(5,+ ∞ ),单调减区间为(0,5). 方法技巧 利用导数求函数单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数 y = f ( x )的定义域; (2)求导数 y '= f '( x ); (3)解不等式 f '( x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式 f '( x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二: (1)确定函数 y = f ( x )的定义域; (2)求导数 y '= f '( x ),令 f '( x )=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数 f ( x )的间断点(即 f ( x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根 按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f ( x )的定义区间分成 若干个小区间; (4)确定 f '( x )在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内 的单调性. 2-1　 已知函数 f ( x )= ax 2 +1( a >0), g ( x )= x 3 + bx . (1)若曲线 y = f ( x )与曲线 y = g ( x )在它们的交点(1, c )处有公共切线,求 a , b 的 值; (2)当 a 2 =4 b 时,求函数 f ( x )+ g ( x )的单调区间. 解析 　(1) f '( x )=2 ax , g '( x )=3 x 2 + b . 因为曲线 y = f ( x )与曲线 y = g ( x )在它们的交点(1, c )处有公共切线,所以 f (1)= g (1),且 f '(1)= g '(1). 即 a +1=1+ b ,且2 a =3+ b . 解得 a =3, b =3. (2)记 h ( x )= f ( x )+ g ( x ). 当 a 2 =4 b ,即 b =   a 2 时, h ( x )= x 3 + ax 2 +   a 2 x +1, 则 h '( x )=3 x 2 +2 ax +   a 2 . 令 h '( x )=0,得 x 1 =-   , x 2 =-   . ∵ a >0, ∴ h ( x )与 h '( x )的情况如下: x   -- ∞ ,-     -     - -   ,-     -     - -   ,+ ∞   h '( x ) + 0 - 0 + h ( x ) ↗ ↘ ↗ ∴函数 h ( x )的单调递增区间为   和   ;单调递减区间 为   . 考点三　利用导数解决函数单调性的应用问题 命题角度一　已知函数的单调性求参数的取值范围 典例3 　已知函数 f ( x )= x 3 - ax -1. (1)若 f ( x )在区间(1,+ ∞ )上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x )在区间(-1,1)上为减函数,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x )的单调递减区间为(-1,1),求 a 的值. 解析 　(1)因为 f '( x )=3 x 2 - a ,且 f ( x )在区间(1,+ ∞ )上为增函数,所以 f '( x ) ≥ 0 在(1,+ ∞ )上恒成立,即3 x 2 - a ≥ 0在(1,+ ∞ )上恒成立,所以 a ≤ 3 x 2 在(1,+ ∞ ) 上恒成立,所以 a ≤ 3,即 a 的取值范围为(- ∞ ,3]. (2)由题意得 f '( x )=3 x 2 - a ≤ 0在(-1,1)上恒成立,所以 a ≥ 3 x 2 在(-1,1)上恒成 立.因为-1< x <1,所以3 x 2 <3,所以 a ≥ 3.即当 a 的取值范围为[3,+ ∞ )时, f ( x ) 在(-1,1)上为减函数. (3)由题意知 a >0.∵ f ( x )= x 3 - ax -1,∴ f '( x )=3 x 2 - a .由 f '( x )=0,得 x = ±   ,∵ f ( x ) 在区间(-1,1)上为单调递减函数, ∴   =1,即 a =3. 3-1　 已知函数 y = f ( x ),且其导函数 y = f '( x )的图象如图所示,则该函数的图 象是   (　　)     答案    B　在(-1,0)上 f '( x )大于0且单调递增,所以 f ( x )图象的切线斜率呈 递增趋势;在(0,1)上 f '( x )大于0且单调递减,所以 f ( x )图象的切线斜率呈递 减趋势.故选B. 典例4 　(1)若0< x 1 < x 2 <1,则   (　　) A.   -   >ln x 2 -ln x 1 　    B.   -   x 1   　     D. x 2   < x 1   (2)已知函数 f ( x )( x ∈R)满足 f (1)=1,且 f ( x )的导数 f '( x )<   ,则不等式 f ( x 2 )<   +   的解集为 　　　　　　     . 答案 　(1)C　(2)(- ∞ ,-1) ∪ (1,+ ∞ ) 解析 　(1)令 f ( x )=   ,则 f '( x )=   =   . 当0< x <1时, f '( x )<0, 即 f ( x )在(0,1)上单调递减, ∵0< x 1 < x 2 <1, 命题角度二　比较大小或解不等式 ∴ f ( x 2 )< f ( x 1 ),即   <   , ∴ x 2   > x 1   ,故选C. (2)由题意构造函数 F ( x )= f ( x )-   x , 则 F '( x )= f '( x )-   , ∵ f '( x )<   ,∴ F '( x )= f '( x )-   <0, 即函数 F ( x )在R上单调递减. ∵ f ( x 2 )<   +   ,∴ f ( x 2 )-   < f (1)-   , ∴ F ( x 2 )< F (1),而函数 F ( x )在R上单调递减, ∴ x 2 >1, 即 x ∈(- ∞ ,-1) ∪ (1,+ ∞ ). 方法技巧 1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间( a , b )上单调,实际上就是在该区间上 f '( x ) ≥ 0(或 f '( x ) ≤ 0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求 出参数的取值范围. (2)可导函数在区间( a , b )上存在单调区间,实际上就是 f '( x )>0(或 f '( x )<0) 在该区间上存在解集,即 f '( x ) max >0(或 f '( x ) min <0)在该区间上有解,从而转 化为不等式问题,求出参数的取值范围. (3)若已知 f ( x )在区间 I 上的单调性,区间 I 上含有参数时,可先求出 f ( x )的 单调区间,令 I 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围. 2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为 先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式. 3-2     (2017山东临沂期中)已知 f ( x )是定义在(0,+ ∞ )上的函数, f '( x )是 f ( x ) 的导函数,且总有 f ( x )> xf '( x ),则不等式 f ( x )> xf (1)的解集为   (　　) A.(- ∞ ,0)　    B.(0,1)　     C.(0,+ ∞ )　    D.(1,+ ∞ ) 答案     B　由题意, x >0时, f ( x )> xf '( x ) ⇒ xf '( x )- f ( x )<0 ⇒   <0 ⇒   '<0, ∴ y =   在(0,+ ∞ )上单调递减; ∵ x >0,∴ f ( x )> xf (1) ⇒   >   , ∴0< x <1.故选B.