2020年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷
2020年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷
一、选择题（本题有12小题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 2019的相反数是( )
A.−2019 B.−12019 C.12019 D.2019
2. 在“流浪地球”的影片中地球要摆脱太阳引力，必须靠外力推动达到逃逸速度，已知地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，这个数用科学记数法表示为（单位：km/h）（ ）
A.0.11×104 B.0.11×106 C.1.1×105 D.1.1×104
3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 关于x的一元一次方程2xa−2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（ ）
A.9 B.8 C.5 D.4
5. 运动员小何在某次射击训练中，共射靶10次，分别是7环1次，8环1次，9环6次，10环2次，则小何本次射击的中位数和平均成绩分别是（ ）环．
A.9，8.9 B.8，8.9 C.8.5，8.25 D.9，8.25
6. 已知△ABC(AC
a 恰好只有4个整数解，则a的取值范围为（ ）
A.−2≤a<−1 B.−20，即a、b同号，
当a<0时，抛物线y＝ax2−2x的对称轴x=1a<0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a<0时，b<0，直线y＝bx+a经过第二、三、四象限，故B错误，C正确．
11.
【答案】
A
【考点】
一元一次不等式组的整数解
【解析】
表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．
【解答】
不等式组整理得：x<72x>a+1 ，
解得：a+10，k>0，
∴ △DEF的面积是：12⋅kx⋅x=12k，
设C(m, km)，则E(0, km)，
由图象可知：m<0，km<0，
△CEF的面积是：12⋅|m|⋅|km|=12k，
∴ △CEF的面积＝△DEF的面积，
故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
∴ EF // CD，
∴ FE // AB，
∴ △AOB∽△FOE，
故②正确；
③∵ BD // EF，DF // BE，
∴ 四边形BDFE是平行四边形，
∴ BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴ AC＝BD，
故③正确；
④由一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
易得A(−ba, 0)，B(0, b)，
则OA=ba，OB＝b，
∴ tan∠BAO=OBOA=a，
故④正确．
正确的结论：①②③④．
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三、解答题（本大题有7个小题，共52分.其中：第17题5分，第18题6分，第19题7分、第20题8分，第21题8分、第22、23题各9分）
【答案】
原式=2×22−(2−3)−333−1
＝1−2+3−3−1
＝−2．
【考点】
实数的运算
特殊角的三角函数值
【解析】
直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质分别化简进而得出答案．
【解答】
原式=2×22−(2−3)−333−1
＝1−2+3−3−1
＝−2．
【答案】
原式＝(3x+1−x2−1x+1)÷(x−2)2x+1
=3−x2+1x+1×x+1(x−2)2
=x+22−x，
当x＝1时，原式=1+22−1=3．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】
原式＝(3x+1−x2−1x+1)÷(x−2)2x+1
=3−x2+1x+1×x+1(x−2)2
=x+22−x，
当x＝1时，原式=1+22−1=3．
【答案】
本次调查的总人数为15÷25%＝60（人），
∴ A类别人数为：60−(24+15+9)＝12（人），
则m%=1260×100%＝20%，
∴ m＝20，
补全图形如下：
110
估计“文学社团”共有1200×25%＝300（人）．
【考点】
扇形统计图
用样本估计总体
全面调查与抽样调查
条形统计图
列表法与树状图法
【解析】
（1）用C类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出A类别的人数，由A的人数可得其所占百分比，得出m＝20，补全条形统计图即可；
（2）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得；
（3）由该校总人数乘以“文学社团”所占百分比即可．
【解答】
本次调查的总人数为15÷25%＝60（人），
∴ A类别人数为：60−(24+15+9)＝12（人），
则m%=1260×100%＝20%，
∴ m＝20，
补全图形如下：
列表得：
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甲
乙
丙
丁
戊
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
（甲，戊）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
（乙，戊）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
（丙，戊）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
（丁，戊）
戊
（戊，甲）
（戊，乙）
（戊，丙）
（戊，丁）
∵ 共有20种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴ 恰好选中甲、乙两位同学的概率为220=110；
故答案为：110；
估计“文学社团”共有1200×25%＝300（人）．
【答案】
(1)证明：由题意可得，
△BCE≅△BFE，
∴ ∠BEC=∠BEF，FE=CE.
∵ FG // CE，
∴ ∠FGE=∠CEB，
∴ ∠FGE=∠FEG，
∴ FG=FE，
∴ FG=EC，
∴ 四边形CEFG是平行四边形.
又∵ CE=FE，
∴ 四边形CEFG是菱形.
(2)解：∵ 矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴ ∠BAF=90∘，AD=BC=BF=10，
在Rt△ABF中，AF=BF2−AB2=8，
∴ DF=AD−AF=2.
设EF=x，则CE=x，DE=6−x，
∵ ∠FDE=90∘，
∴ 在Rt△FDE中，
由勾股定理得22+(6−x)2=x2，
解得x=103，
∴ CE=103，
∴ 四边形CEFG的面积是：CE⋅DF=103×2=203．
【考点】
菱形的面积
菱形的判定
平行四边形的判定
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
全等三角形的性质
【解析】
（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≅△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解答】
(1)证明：由题意可得，
△BCE≅△BFE，
∴ ∠BEC=∠BEF，FE=CE.
∵ FG // CE，
∴ ∠FGE=∠CEB，
∴ ∠FGE=∠FEG，
∴ FG=FE，
∴ FG=EC，
∴ 四边形CEFG是平行四边形.
又∵ CE=FE，
∴ 四边形CEFG是菱形.
(2)解：∵ 矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴ ∠BAF=90∘，AD=BC=BF=10，
在Rt△ABF中，AF=BF2−AB2=8，
∴ DF=AD−AF=2.
设EF=x，则CE=x，DE=6−x，
∵ ∠FDE=90∘，
∴ 在Rt△FDE中，
由勾股定理得22+(6−x)2=x2，
解得x=103，
∴ CE=103，
∴ 四边形CEFG的面积是：CE⋅DF=103×2=203．
【答案】
解：(1)设函数的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
由图象可得，k+b=7000，5k+b=5000，
解得k=−500，b=7500，
∴ y与x之间的关系式为y=−500x+7500.
(2)设销售收入为w万元，
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
根据题意，得w=yp=(−500x+7500)(12x+12)，
即w=−250(x−7)2+16000，
∴ 当x=7时，w有最大值为16000，
此时y=−500×7+7500=4000（元）.
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【考点】
一次函数的应用
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的应用
二次函数的最值
【解析】
(1)根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可；
(2)设销售收入为w万元，根据销售收入=销售单价×销售数量和p=12x+12，列出w与x的函数关系式，再根据函数性质求得结果．
【解答】
解：(1)设函数的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
由图象可得，k+b=7000，5k+b=5000，
解得k=−500，b=7500，
∴ y与x之间的关系式为y=−500x+7500.
(2)设销售收入为w万元，
根据题意，得w=yp=(−500x+7500)(12x+12)，
即w=−250(x−7)2+16000，
∴ 当x=7时，w有最大值为16000，
此时y=−500×7+7500=4000（元）.
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【答案】
∵ AD是直径，
∴ ∠ACD＝90∘，即AC⊥ED，
BD是∠BAD的平分线，
故AE＝AD；
BEAB=32，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，
O交BD于点G，
BD是∠BAD的平分线，则BC=CD，
则OC⊥BD，
故OC // AB，则OC是△ADE的中位线，
则OG=12AB＝a，OC=12AD=5a2，
则CG＝OC−OG=3a2，
∵ CG // AB，则AHHC=ABCG=2a3a2=43；
设：OG＝m，则AB＝2m，
当AH＝HC时，由（2）知，△AHB≅△CHG(AAS)，
则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，
∵ AB // CO，则FAFO=ABOC，即66+3m=2m3m，
解得：m＝1，
故AB＝2，AD＝6，BE＝4，
则BD=AD2−AB2=42，
∵ EC＝DC，
则△BEC的面积=12S△EBD=12×12BE×BD=14×4×42=42．
【考点】
圆的综合题
【解析】
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
（1）AD是直径，则∠ACD＝90∘，即AC⊥ED，即可求解；
(2)BEAB=32，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，BD是∠BAD的平分线，则BC=CD，故OC // AB，则OC是△ADE的中位线，则OG=12AB＝a，OC=12AD=5a2，则CG＝OC−OG=3a2，CG // AB，则AHHC=ABCG=2a3a2=43；
(3)△AHB≅△CHG(AAS)，则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，AB // CO，则FAFO=ABOC，即66+3m=2m3m，解得：m＝1，即可求解．
【解答】
∵ AD是直径，
∴ ∠ACD＝90∘，即AC⊥ED，
BD是∠BAD的平分线，
故AE＝AD；
BEAB=32，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，
O交BD于点G，
BD是∠BAD的平分线，则BC=CD，
则OC⊥BD，
故OC // AB，则OC是△ADE的中位线，
则OG=12AB＝a，OC=12AD=5a2，
则CG＝OC−OG=3a2，
∵ CG // AB，则AHHC=ABCG=2a3a2=43；
设：OG＝m，则AB＝2m，
当AH＝HC时，由（2）知，△AHB≅△CHG(AAS)，
则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，
∵ AB // CO，则FAFO=ABOC，即66+3m=2m3m，
解得：m＝1，
故AB＝2，AD＝6，BE＝4，
则BD=AD2−AB2=42，
∵ EC＝DC，
则△BEC的面积=12S△EBD=12×12BE×BD=14×4×42=42．
【答案】
把A(3, 0)，B(−1, 0)代入y＝−x2+bc+c中，得−9+3b+c=0−1−b+c=0 ，
∴ b=2c=3 ，
∴ 抛物线的解析式为y＝−x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴ 点C的坐标是(0, 3)，
把A(3, 0)和C(0, 3)代入y＝kx+b1中，得3k+b1=0b1=3
∴ k=−1b1=3
∴ 直线AC的解析式为y＝−x+3；
如图1，连接BC，
∵ 点D是抛物线与x轴的交点，
∴ AD＝BD，
∴ S△ABC＝2S△ACD，
∵ S△ACP＝2S△ACD，
∴ S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P(−1, 0)，
过B点作PB // AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝−x−1①，
∵ 抛物线的解析式为y＝−x2+2x+3②，
联立①②解得，x=−1y=0 （是点B的纵横坐标）或x=4y=−5
∴ P(4, −5)，
∴ 即点P的坐标为(−1, 0)或(4, −5)；
如图2，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q′，
由（1）知，直线AC的解析式为y＝−x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴ Q′坐标为(1, 2)，
∵ Q′D＝AD＝BD＝2，
∴ ∠Q′AB＝∠Q′BA＝45∘，
∴ ∠AQ′B＝90∘，
∴ 点Q′为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q(1, m)，
过点A1′作A1′E⊥DQ于E，
∴ ∠A1′EQ＝∠QDA＝90∘，
∴ ∠DAQ+∠AQD＝90∘，
由旋转知，AQ＝A1′Q，∠AQA1′＝90∘，
∴ ∠AQD+∠A1′QE＝90∘，
∴ ∠DAQ＝∠A1′QE，
∴ △ADQ≅△QEA1′(AAS)，
∴ AD＝QE＝2，DQ＝A1′E＝−m，
∴ 点A1′的坐标为(−m+1, m−2)，
代入y＝−x2+2x+3中，
解得，m＝−3或m＝2（舍），
∴ Q的坐标为(1, −3)，
∴ 点Q的坐标为(1, 2)和(1, −3)
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；
（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
【解答】
把A(3, 0)，B(−1, 0)代入y＝−x2+bc+c中，得−9+3b+c=0−1−b+c=0 ，
∴ b=2c=3 ，
∴ 抛物线的解析式为y＝−x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴ 点C的坐标是(0, 3)，
把A(3, 0)和C(0, 3)代入y＝kx+b1中，得3k+b1=0b1=3
∴ k=−1b1=3
∴ 直线AC的解析式为y＝−x+3；
如图1，连接BC，
∵ 点D是抛物线与x轴的交点，
∴ AD＝BD，
∴ S△ABC＝2S△ACD，
∵ S△ACP＝2S△ACD，
∴ S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P(−1, 0)，
过B点作PB // AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝−x−1①，
∵ 抛物线的解析式为y＝−x2+2x+3②，
联立①②解得，x=−1y=0 （是点B的纵横坐标）或x=4y=−5
∴ P(4, −5)，
∴ 即点P的坐标为(−1, 0)或(4, −5)；
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
如图2，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q′，
由（1）知，直线AC的解析式为y＝−x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴ Q′坐标为(1, 2)，
∵ Q′D＝AD＝BD＝2，
∴ ∠Q′AB＝∠Q′BA＝45∘，
∴ ∠AQ′B＝90∘，
∴ 点Q′为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q(1, m)，
过点A1′作A1′E⊥DQ于E，
∴ ∠A1′EQ＝∠QDA＝90∘，
∴ ∠DAQ+∠AQD＝90∘，
由旋转知，AQ＝A1′Q，∠AQA1′＝90∘，
∴ ∠AQD+∠A1′QE＝90∘，
∴ ∠DAQ＝∠A1′QE，
∴ △ADQ≅△QEA1′(AAS)，
∴ AD＝QE＝2，DQ＝A1′E＝−m，
∴ 点A1′的坐标为(−m+1, m−2)，
代入y＝−x2+2x+3中，
解得，m＝−3或m＝2（舍），
∴ Q的坐标为(1, −3)，
∴ 点Q的坐标为(1, 2)和(1, −3)．
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