河南省驻马店市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题
驻马店 2018〜2019 学年度第二学期期终考试
高一（理科）数学试题
本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答
题卡上，在本试题卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题
上作答，答案无效。
3．考试结束，监考教师将答题卡收回。
第 I 卷（选择题共 60 分）
—、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的代号为 A．B．C．D
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数 ，若 为纯虚数，则
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.
【详解】由已知得： ，
所以 解得：
故选 B.
【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.
1 23 ( ), 1 3z ai a R z i= + ∈ = − 1
2
z
z a =
10 3 10
10
( )( )
( )( )
( )1
2
3 1 3 3 3 93
1 3 1 3 1 3 10
ai i a a iz ai
z i i i
+ + − + ++= = =− − +
3 3 0,9 0
a
a
− =
+ ≠ 1.a =
2.焦点为 且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目要求解的双曲线与双曲线 有相同的渐近线，且焦点在 y 轴上可知，设双
曲线的方程为 ，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质 ，
求解出 的值，即可求出答案。
【详解】由题意知，设双曲线的方程为 ，化简得 。
解得 。
所以双曲线的方程为 ，故答案选 A。
【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线
有相同渐近线的双曲线方程可设为 ，若 ，则双曲线的
焦点在 x 轴上，若 ，则双曲线的焦点在 y 轴上。
3.设 ， ，若 ，则 的最小值为
A. B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
0 6（ ，）
2
2 12
x y− =
2 2
112 24
y x− =
2 2
124 12
y x− =
2 2
124 12
x y− =
2 2
112 24
x y− =
2
2 12
x y− =
( )2
2 02
xy λ λ− = > 2 2 2+ =a b c
λ
( )2
2 02
xy λ λ− = > ( )2 2
1 02
y x λλ λ− = >
2 36λ λ∴ + =
12λ =
2 2
112 24
y x− =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2 ( 0)x y
a b
λ λ− = ≠ 0λ >
0λ <
0a > 0b > 2 1a b+ = 2 1
a b
+
2 2
分析】
根据题意可知，利用“1”的代换，将 化为 ，展开再利用基本不等式，
即可求解出答案。
【详解】由题意知， ， ，且 ，则
当且仅当 时，等号成立， 的最小值为 9，故答案选 C。
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式 性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，
则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。
4.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样
本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下
列结论中不正确的是
A. y 与 x 具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心（ ， ）
C. 若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg
D. 若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79kg
【答案】D
【解析】
根据 y 与 x 的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；
回归直线过样本点的中心（ ），B 正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C 正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为 0.85×170﹣85.71=58.79kg，D 错误．
故选：D．
【
的
2 1
a b
+ ( )2( ) 21
a b a b+ +
0a > 0b > 2 1a b+ =
( )2 1 2 1 2 2 2 2( ) 5 2 92 5b a b a
a b a b ab b ba a
++ = + = + + ≥ + × =
2 2b a
a b
= 2 1
a b
+
ˆy
x y
,x y
5.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为
A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目 分别为角 A，B，C 的对边，且 可知，利用边化角的方法，将式子
化为 ，利用三角形的性质将 化为 ，化简得 ，推
出 ，从而得出 的形状为直角三角形。
【详解】由题意知，
由正弦定理得
又
展开得，
又 角 A，B，C 是三角形的内角
又
综上所述， 的形状为直角三角形，故答案选 C。
【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，
若转化成角时，要注意 的应用。
6.下列判断错误的是
A. 若随机变量 服从正态分布 ，则
ABC△ , ,a b c cosb c A= ⋅ ABC△
, ,a b c cosb c A= ⋅
sin sin cosB C A= sin B sin( )A C+ cos 0C =
90C∠ = ° ABC△
cosb c A= ⋅
∴ sin sin cosB C A=
( )B A Cp= - +
∴ sin( ) sin cosA C C A+ =
sin cos sin cos sin cosA C C A C A+ =
∴ sin cos 0A C =
sin 0
cos 0
A
C
∴ >
∴ =
0
x∃ ∈ 2 0x ≤
ξ 1(5, )5Bξ − 1Eξ =
2am 2bm
( 4) 0.79
( 4) 1 0.79 0.21
P
P
ξ
ξ
≤ =
∴ ≥ = − =
ξ 2(1, )N σ
( 2) ( 4) 0.21P Pξ ξ≤ − = ≥ = A
∀ ∃
ξ 1(5, )5Bξ − 15 =15Eξ = ×
m 0= 2am 2bm
sinxy e x= + 01（ ，）
y x= 1y x= + 2 1y x= + 3 1y x= −
sinxy e x= + 01（ ，）
线斜率 ，再根据点斜式即可求出切线方程。
【详解】由题意知，
因此，曲线 在点 处的切线方程为 ，故答案选 C。
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，一般利用点斜式构造直线解析式。
8.在 的展开式中， 的幂指数是整数的共有
A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项 D. 6 项
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出 的幂指数是整数的项的个数。
【详解】由题意知，
要使 的幂指数是整数，则 必须是 的倍数，故当 满足条件。
即 的幂指数是整数的项共有 项，故答案选 D。
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。
9.命题“对任意实数 ，关于 的不等式 恒成立”为真命题的一个必要不充
分条件是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数 ，关于 的不等式
s n( i) xe xf x = +
( ) cosxf x e x′∴ = +
0 cos0 2(0) ef ′∴ = + =
sinxy e x= + 01（ ，） 2 1y x= +
101( )x x
+ x
x
10
1 10
1( )
k
k k
kT C x x
−
+
= ⋅ ⋅
10
2
10
k kkC x
− −= ⋅
10 3
2
10
k
kC x
−
= ⋅
x 10 3k− 2 0,2,4,6,8,10k =
x 6
[1,3]x∈ x 2 0x a− ≤
9a ≤ 8a ≥ 9a ≥ 10a ≥
[1,3]x∈ x
恒成立”为真命题的 的取值范围， 的取值范围构成的集合应为正确选项的真子
集，从而推出正确结果。
【详解】 命题“对任意实数 ，关于 的不等式 恒成立”为真命题
根据选项满足是 的必要不充分条件只有 ，故答案选 B。
【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件。
10.某班有 6 名班干部，其中 4 名男生，2 名女生.从中选出 3 人参加学校组织的社会实践活动，
在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目可知，分别求出男生甲被选中的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件
概率的公式，即可求解出结果。
【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件 A，“女生乙被选中”为事件 B，则
， ，所以 ，故答案选 A。
【点睛】本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算 ，特别要注意
的求法。
11.已知函数 对于任意的 满足 （其中
是函数 的导函数），则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
2 0x a− ≤ a a
[1,3]x∈ x 2 0x a− ≤
9a∴ ≥
9a ≥ 8a ≥
2
5
3
5
1
2
2
3
2
5
3
6
10 1( ) 20 2
CP A C
= = =
1
4
3
6
1( ) 5
CP AB C
= = ( ) 2( ) ( ) 5
P ABP B A P A
= =
( )( ) ( )
P ABP B A P A
=
( )P AB
( )y f x= ( , )2 2x
π π∈ − '( )cos ( )sin >0f x x f x x+
'( )f x ( )f x
( )> (0)3f f
π− (0)> 2 ( )4f f
π
( 1)> (1)f f− (1)> (0)cos1f f
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目条件，构造函数 ，求出 的导数，利用“任意的 满足
”得出 的单调性，即可得出答案。
【详解】由题意知，构造函数 ，则 。
当 时，
当 时， 恒成立
在 单调递增，则
，化简得 ，无法判断 A 选项是否成立；
，化简得 ，故 B 选项不成立；
，化简得 ，故 C 选项不成立；
，化简得 ，故 D 选项成立；
综上所述，故选 D。
【点睛】本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调
性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。
12.己知点 A 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上
且满足 ，当 取最大值时，点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的
离心率为
A. B. C. D.
( )( ) cos
f xg x x
= ( )g x ( , )2 2x
π π∈ −
'( )cos ( )sin >0f x x f x x+ ( )g x
( )( ) cos
f xg x x
= 2
( )cos ( )sin( ) cos
f x x f x xg x x
′ +′ =
( , )2 2x
π π∈ − '( )cos ( )sin >0f x x f x x+
∴ ( , )2 2x
π π∈ − 2
( )cos ( )sin( ) 0cos
f x x f x xg x x
′ +′ = >
( )g x∴ ( , )2 2x
π π∈ −
( )(0) 3(0) ( )cos0 3 cos( )3
ffg g
π
π
π
−
= > − =
−
(0) 2 ( )3f f
π> −
( ) (0)4( ) (0)4 cos(0)cos( )4
f fg g
π
π
π= > = (0) 2 ( )4f f
π<
(1) ( 1)(1) ( 1)cos(1) cos( 1)
f fg g
−= > − = − ( 1) (1)f f− <
(1) (0)(1) (0)cos(1) cos(0)
f fg g= > = (1)> (0)cos1f f
2 4x y=
PA m PB= m
2 1
2
+
2 1+ 5 1
2
−
5 1−
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目可知，过 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义，结合 ，可
得 ，设 的倾斜角为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物
线相切，即可求出的 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。
【详解】由题意知，由对称性不妨设 P 点在 y 轴的右侧，过 作准线的垂线，垂足为 ，则
根据则抛物线的定义，可得 ，
设 的倾斜角为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切，设直线
的方程为 ，与 联立，得 ，
令 ，解得
可得 ，
又 此时点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上
双曲线的实轴
故答案选 B。
【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到
方程思想以及数形结合思想。
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.己知 是等差数列{ }的前 项和， ，则 ________.
P N PA m PB=
1PN
PA m
= PA α m sinα PA
P
P N
PN PB=
PA m PB=
1PN
PA m
∴ =
PA α m sinα PA
PA 1y kx= − 2 4x y= 2 4 4 0x kx− + =
216 16 0k∆ = − = 1k = ±
(2,1)P
∴ 2 2( 2 1)a PA PB= − = −
2 1, 1a c∴ = − =
2 1e∴ = +
nS na n 2 53, 25a S= = 4a =
【答案】7
【解析】
【分析】
根据题目 是等差数列{ }的前 项和， ，利用等差数列的通项公式和前
项和公式，建立两个含有 、 的方程并求解，再利用等差数列的通项公式即可求解出 的
值。
【详解】由题意得，
解得，
所以， ，故答案为 7。
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，在等差数列中，五个基本量 “知
三求二”，基本量中公差 是联系数列中各项的关键，是解题的关键。
14.若向量 ，且 ，则 等于________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题目 ，可知 ，根据空间向量的直角坐标运算律，即可求解出 的值。
【详解】由题意知，向量
，即
解得 ，故答案为 6。
【点睛】本题主要考查了根据向量的垂直关系，结合数量积运算求参数。
15.太极图被称为“中华第—图”，从孔庙大成殿梁柱至白外五观的标识物；从道袍、卦摊、
nS na n 2 53, 25a S= = n
1a d 4a
1
1
3
5 (5 15 252
a d
da
+ = × −+ =
）
1a 1,d 2= =
4 1 3 2 7a = + × =
1, , , ,n na n d a S
d
(1, ,2), (2, 1,2)a bλ= = − a b⊥ λ
a b⊥ =0a b• λ
(1, ,2), (2, 1,2)a bλ= = −
a b⊥
=0a b∴ • 1 2-1 2 2 0λ× × + × =
6λ =
中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽…，太极图无不跃其上，这种广为人知的太
极图，其形状如阴阳两鱼互抱在—起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图
案中，阴影部分的区域可用不等式组 或 来表示，设 是
阴影中任—点，则 的最大值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题目可知，平移直线 ，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值，根据相
切关系求出切点，代入 ，即可求解出答案。
【详解】由题意知， 与 相切时，切点在上方时取得最大值，如图;
此时， 且 ，解得
所以 的最大值为 3，故答案为 3。
【点睛】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题，形如题目中所示的目标函数常
化归为求纵截距范围或极值问题。
16.在 中，是 角 A，B，C 的对边，己知 ，现有以下判断：
( )
2 2
22
4
0
1 1
x y
x
x y
+ ≤ ≤
+ + ≥
2 2( 1) 1x y+ − ≤ ( , )x y
3z x y= +
3z x y= +
3z x y= +
3z x y= + 2 2( 1) 1x y+ − ≤
( )2 2
1 1
3 1
z− =
+ 0z > 3z =
3z x y= +
ABC△ , ,a b c , 73A a
π= =
① 的外接圆面积是 ；② ；③ 可能等于 16；④作 A 关
于 BC 的对称点 ，则 的最大值是 .
请将所有正确的判断序号填在横线上________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个命题的真假。
【详解】①设 的外接圆半径为 ，根据正弦定理 ，可得 ，所以
的外接圆面积是 ，故①正确。
②根据正弦定理，利用边化角的方法，结合 ，可将原式化为
，故②正确。
③
，故③错误。
④设 到直线 的距离为 ，根据面积公式可得 ，即 ，再根
据①中的结论，可得 ，故④正确。
综上，答案为①②④。
【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函
数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知数列{ }满足 ，且 .
（I）证明：数列{ }是等差数列；
（II）求数列{ }的前 项和 .
ABC△ 49
3
π cos cos 7b C c B+ = b c+
A′ | |AA′ 7 3
ABC△ R 2sin
a RA
= 7 3
3R =
ABC△ 2 49
3S Rπ π= =
A B C π+ + =
2 sin cos 2 sin cos 2 sin( ) 2 sinR B C R C B R B C R A a+ = + = =
22 (sin sin ) 2 [sin sin( )]3b c R B C R B B
π+ = + = + −
1 314( cos sin ) 14sin( )2 2 3B B B
π= + = +
14b c∴ + ≤
A BC d 1 1 sin2 2ad bc A= sinbc Ad a
=
7 3d =
na 1
1 +2 2 ( )n
n na a n R+
+ = + ∈ 1 1a =
n
n
a
2
na n nS
【答案】（I）见解析（II）
【解析】
【分析】
（I）根据题意，对于 ，变形可得 ，根据等差数列的定
义分析可得结论；
（II）由（1）中的结论，结合等差数列的通项公式可得 ，即可得出
，再根据错位相减法即可求解出结果。
【详解】解：（I）由 ，
可得
所以得 为等差数列，公差为 1；
（II） ，
①
②
①-②得
【点睛】本题主要考查了构利用定义法证明等差数列以及错位相减法求数列的前 项和 ，
证明时采用了构造的方法，错位相减法主要用于数列的形式为等差乘等比。
18.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， ， ，且
，E 为 PD 中点.
(2 3) 2 3n
nS n= − × +
1
1 +2 2 ( )n
n na a n R+
+ = + ∈ 1
1 12 2
n n
n n
a a+
+ − =
1 1( 1)2 2 2
n
n
a n n= + − = −
1(2 1) 2n
na n −− ⋅=
1
1 2 2n
n na a +
+ = +
1
1 12 2
n n
n n
a a+
+ − =
2
n
n
a
1 1( 1) 12 2 2
n
n
a a n n= + − × = −
11 2 (2 1) 22
n n
na n n − = − ⋅ − ⋅
=
2 1=1 3 2 5 2 (2 1) 2n
nS n −+ × + × +…+ − ×
2 32 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2nS n= × + × + × + + − ×
2 11 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n
n
nS n−− = + × + × +…+ × − − ×
( )14 1 2
1 (2 1) 21 2
n
nn
−−
= + − − ×−
(2 3) 2 3n
nS n= − × +
n nS
PB BC⊥ PD CD丄
2PA =
（I）求证： 平面 ABCD；
（II）求二面角 B-AE-C 的正弦值.
【答案】（I）见解析（II）
【解析】
【分析】
（I）根据题目所给条件，利用直线与平面垂直的判定方法分别证明出 平面 PAB 以及
平面 ，进而得到 和 ，从而推得线面垂直。
（II）根据已知条件，以 A 为原点，AB 为 轴，AD 为 轴，AP 为 轴建立直角坐标系，分别
求出平面 ABE 和平面 AEC 的法向量，最后利用向量法求出二面角 B-AE-C 的正弦值。
【详解】解：（I）证明：∵底面 ABCD 为正方形，
∴ ，又 ， ，
∴ 平面 PAB，∴ ．
同理 ，∴ 平面 ABCD
（II）建立如图的空间直角坐标系 A-xyz，
则 ， ， ， ，
易知
设 为平面 ABE 的一个法向量，
又 ， ，∴ 令 ， ，得 .
PA ⊥
3
3
BC ⊥
CD ⊥ PAD CD PA⊥ BC PA⊥
x y z
BC AB⊥ PB BC⊥ AB PB B∩ =
BC ⊥ BC PA⊥
CD PA⊥ PA ⊥
(0,0,0)A (2,0,0)B (2,2,0)C (2,0,0)B (0,0,2)P
(0,1,1)E
( )1 1 1, ,m x y z=
(0,1,1)AE = (2,0,0)AB = 1 1
1
0
2 0
y z
x
+ =
= 1 1y = − 1 1z = (0, 1,1)m = −
设 为平面 AEC 的一个法向量，又
∴ 令 ， 得
.
∴二面角 B-AE-C 的正弦值为 .
【点睛】本题主要考查了通过证明直线与平面垂直来推出直线与直线垂直，以及利用向量法
求二面角的问题，解题时要注意根据图形特征或者已知要求确定二面角是锐角或钝角，从而
得出问题的结果。
19.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.
为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 中设置了用户评价反馈系统，以了解
用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出 条较为详细的评价信息进行
统计，车辆状况的优惠活动评价的 列联表如下：
对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计
对车辆状况好评
对车辆状况不满意
合计
（1）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关
系？
（2）为了回馈用户，公司通过 向用户随机派送每张面额为 元， 元， 元的 三种
骑行券.用户每次使用 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得 元券，获
得 元券的概率分别是 ， ，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次
该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 ，求随机变量 的分布列和数
( )2 2 2, ,n x y z= (2,2,0)AC =
2 2
2 2
0
2 2 0
y z
x y
+ =
+ = 1 1y = − 1 1z = (1, 1,1)n = −
4 6cos( , ) | | | 33 8
m nm n m n
⋅ −= = = −
×
3
3
APP
200
2 2×
100 30 130
40 30
140 60 200
0.001
APP 0 1 2
APP 1
2 1
2
1
5
X X
学期望.
参考数据：
参考公式： ，其中
【答案】(1) 在犯错误的概率不超过 的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评
有关系.
(2)分布列见解析； （元）.
【解析】
试题分析：（1）由题意求得 的值，然后即可确定结论；
（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．
试题解析
（1）由 列联表的数据，有
.
因此，在犯错误的概率不超过 的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
（2）由题意，可知一次骑行用户获得 元的概率为 . 的所有可能取值分别为 ， ， ，
， .
∵ ， ，
， ，
，
.
2( )P K k≥ 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
0.001
EX = 1.8
2K
2 2×
( )
( )( )( )( )
2n ad bc
a b c d a c b d
−= + + + +
( )2200 3000 1200
140 60 70 130
−= × × ×
2200 18
14 6 7 13
×= × × ×
5400 8.48 10.828637
= ≈ <
0.001
0 3
10 X 0 1 2
3 4
( ) 23 90 10 100P X = = =
( ) 1
21P X C= = 1 3 3
2 10 10
× =
( ) 1
22P X C= =
21 3 1 37
5 10 2 100
× + =
( ) 1
23P X C= = 1 1 1
2 5 5
× =
( ) 21 14 5 25P X = = =
∴ 的分布列为：
的数学期望为 （元）.
20.已知平面内点 到点 的距离和到直线 的距离之比为 ，若动点 P 的
轨迹为曲线 C．
（I）求曲线 C 的方程；
（II）过 F 的直线 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为 设 O 为坐标原点.证明：
．
【答案】（I） （II）见解析
【解析】
【分析】
（I）根据题目点 到点 的距离和到直线 的距离之比为 ，列出相应的
等式方程，化简可得轨迹 C 的方程；
（II）对直线 分 轴、l 与 x 轴重合以及 l 存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，
当 l 存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线 C 的方程进行联立，结合韦
达定理，可推得 ，从而推出 。
【详解】解：（I）∵ 到点 的距离和到直线 的距离之比为 .
∴ ， .
化简得： ．
X
X 0 1 2 3 4
P
9
100
3
10
37
100
1
5
1
25
X 3 371 210 100EX = × + × 1 13 4 1.85 25
+ × + × =
( ),P x y 1 0F（，） 2x = 2
2
l 2 0（ ，）
OMA OMB∠ = ∠
2
2 =12
x y+
( ),P x y 1 0F（，） 2x = 2
2
l l x⊥
0MA MBk k+ = OMA OMB∠ = ∠
( , )P x y (1,0)F 2x = 2
2
2 2( 1) ( 0) 2
| 2 | 2
x y
x
− + − −− 2x =
2
2 =12
x y+
故所求曲线 C 的方程为： .
（II）分三种情况讨论：
1、当 轴时，由椭圆对称性易知： ．
2、当 l 与 x 轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：
3、设 l 为： ， ，且 ， ，
由 化简得： ，
∴ ，
设 MA,MB，所在直线斜率分别为： ， ，则
此时， ．
综上所述： .
【点睛】本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题。解
决直线与圆锥曲线位置关系中常用的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设
而不求的整体代入的技巧与方法。
21.已知函数 .
（I）讨论 极值点的个数.
2
2 =12
x y+
l x⊥ OMA OMB∠ = ∠
0OMA OMB∠ − ∠ =
( 1)y k x= − 0k = ( )( )1 1, 1A x k x − ( )( )2 2, 1B x k x −
2
2
( 1)
12
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
4
2 1
kx x k+ = +
2
1 2 2
2 2
2 1
kx x k
−− +
MAk MBk
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 0 1 0 2 3 4
2 2 2MA MB
k x k x x x x xkx x x xk k x x
− − − − − + += + = ×− − − ++
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 42 3 42 1 2 1
2 2 422 1 2 1
k k
k kk k k
k k
−× − × ++ += × − − ×+ +
2 2 2
2
4 4 12 8 4
6 2
k k kk k
− − + += × − −
0=
OMA OMB∠ = ∠
OMA OMB∠ = ∠
2( ) 2( 1) 4 2xf x x e ax ax= + + + − 0a <（ ）
( )f x
（II）若 是 的一个极值点，且 ，证明： .
【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析
【解析】
【分析】
（I） 根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论 的范围，得到函数的单调区间，从而求得
函数的极值的个数。
（II）根据 是 的一个极值点，得出 ，再根据 ，求
出 的范围，再利用（１）中的结论，得出 的单调性，观察得出 ，对 与
的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明 。
【详解】（I）∵ ， ， ．
∴ 或
1、当 ，即 时，
若 ，则 ， 单调递增；
若 ，则 ， 单调递减；
若 ，则 ， 单调递增；
此时， 有两个极值点： ， ．
2、当 ，即 时， ，f（x）单调递增，
此时 无极值点.
3、当 ，即 时，
若 ，则 ， 单调递增；
若 ，则 ， 单调递减；
若 ，则 ， 单调递增；
此时， 有两个极值点： ， ．
故当 时， 无极值点：当 时， 有两个极值点.
0 0( 2)x x ≠ − ( )f x -2( 2)>2e -2f − 0( ) 0f x ≤
a
0 0( 2)x x ≠ − ( )f x 0 ln( )x a= − -2( 2)>2e -2f −
a ( )f x (0) 0f = ln( )a−
0 0( ) 0f x ≤
2( ) 2( 1) 4 2xf x x e ax ax= + + + − 0a < ( , )x∈ −∞ +∞
( ) 1( ) 2( 2) 0 2xf x x e a x′ = + + − ⇒ = − 2 ln( )x a= −
ln( ) 2a− < − 2 0e a−− < <
( ,ln( ))x a∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x
(ln( ), 2)x a∈ − − ( ) 0f x′ < ( )f x
( 2, )x∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x ln( )a− 2−
ln( ) 2a− = − 2a e−= − ( ) 0f x′ ≥
( )f x
ln( ) 2a− > − 2a e−< −
( , 2)x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x
( 2,ln( ))x a∈ − − ( ) 0f x′ < ( )f x
(ln( ), )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x 2− ln( )a−
2a e−= − ( )f x ( ) ( )2 2, ,0a e e− −∈ −∞ − ∪ − ( )f x
（II）由（Ⅰ）知， ，且 ，
∴ ，由（1）中 3 知： 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增
又 （这一步是此题的关键点，观察力）
1、当 即 时， 在 上单调递减，
此时， 成立.
2、当 即 时， 成立.
3、当 即 时， 在 上单调递增.
此时， 成立.
综上所述， ，当 时，“=”成立.
【点睛】本题主要考查了求含有参数的函数的极值点的个数问题，以及利用利用导数证明不
等式问题，解题时用到了分类讨论的思想。
选考题：共 10 分。请考生在第 22．23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计
分。
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数），在极坐标系（与
直角坐标系 取相同的单位长度，且以原点 O 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的
方程为 .
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）设圆 C 与直线 交于 A，B 两点，若点 P 坐标为（3， ），求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
0 ln( )x a= − 22( 2) 2 4 2 2 2f e a e− −− = − − − > −
2a e−< − ( )f x ( , 2)−∞ − ( 2,ln( ))a− −
(ln( ), )a− +∞
(0) 0f =
ln( ) 0a− > 1a < − ( )f x (0,ln( ))a−
( )0 (ln( )) (0) 0f x f a f= − < =
ln( ) 0a− = 1a = − ( )0 (ln( ) (0) 0f x f a f= − = =
ln( ) 0a− < 21 a e−− < < − ( )f x (ln( ),0)a−
( )0 (ln( )) (0) 0f x f a f= − < =
( )0 0f x ≤ 1a =
xOy l
3
(
5
x t
t
y t
= − = +
xOy x
2 5sinρ θ=
l 5 | | | |PA PB⋅
2 2 2 5 0x y y+ − = 4
(1)由极坐标与平面直角坐标之间的转化公式求得；
(2)利用直线参数方程中 的几何意义求解.
【详解】解，（1）∵圆的极坐标方程为 ∴ （*）
又∵ ， ∴
代入（*）即得圆的直角坐标方程为
（2）直线 1 的参数方程可化为
代入圆 c 的直角坐标方程，得 ，
∴ ∴
【点睛】本题考查平面直角坐标系和极坐标的互化，以及直线的参数方程中的 的几何意义，
属于中档题.
23.己知函数 .
（I）求 的最小值 ；
（II）若 均为正实数，且满足 ，求证： .
【答案】（I） （II）见解析
【解析】
【分析】
利用绝对值的性质可知当 函数 有最小值。
根据题意将 化简为 ，结合 ，凑配法
利用基本不等式，利用分析法，推出待证结论成立。
【详解】解：（I）因为函数 .
等号成立的条件
综上， 最小值的
t
2 5sinρ θ= 2 2 5 sinρ ρ θ=
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2ρ x y= +
2 2 2 5 0x y y+ − =
23 2
25 2
x t
y t
= −
= +
2 3 2 4 0t t− + =
1 2 4t t⋅ = 1 2 1 2| | | | 4PA PB t t t t⋅ = = ⋅ =
t
( ) | 2 | | 1|f x x x= + + −
( )f x t
, ,a b c a b c t+ + = 3 3 3 3a b b c c a abc+ + ≥
3t =
2 1x− ≤ ≤ ( ) | 2 | | 1|f x x x= + + −
3 3 3 3a b b c c a abc+ + ≥
2 2 2
3b c a
a b c
+ + ≥ 3a b c t+ + = =
( ) | 2 | | 1|f x x x= + + −
( ) | 2 | | 1| | ( 2) (1 ) | 3f x x x x x= + + − ≥ + + − = 2 1x− ≤ ≤
( )f x 3t =
（II）据（1）求解知 ，所以 ，
又因为 ， ， ，
.
即 ，当且仅当 时等号成立.
所以
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质以及基本不等式的应用，证明方法主要用了分析法，，
从数学题的待证结论出发，一步一步探索下去，最后达到题设的已知条件。
3t = 3a b c t+ + = =
0a > 0b > 0c >
2 2 2
3 3 3 3 3b c aa b b c c a abc a b c
+ + ≥ ⇔ + + ≥
2 2 2 2 2 2
( ) 2( )b c a b c aa b c a b c a b ca b c a b c
+ + + + + = + + + + + ≥ + +
2 2 2b c a a b ca b c
+ + ≥ + + 1a b c= = =
2 2 2
3b c a
a b c
+ + ≥
