高考第一轮复习数列知识精讲知识点总结

高考第一轮复习数列知识精讲知识点总结

‎ 高考第一轮复习数列知识精讲 ‎ 知识精讲 一、等差数列与前n项和 ‎1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．‎ ‎2．等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.‎ 若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)‎ ‎3．等差数列及前n项和的性质 ‎(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.‎ ‎(2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．‎ ‎(5)S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；‎ 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ ‎4．等差数列与函数的关系 ‎(1)等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N*)‎ f(x)＝kx＋b(k≠0)‎ 不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k为公差 定义域为R，图象是一条直线，k为斜率 相同点 数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数．①k≠0时，数列 an＝kn＋b(n∈N*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象上；②k＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；③k＜0时，数列为递减数列，函数为减函数 ‎(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．‎ 二、等比数列与前n项和 ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．‎ 数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．‎ ‎(2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的通项公式及前n项和公式 ‎(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；‎ 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎3．等比数列及前n项和的性质 ‎(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.‎ ‎(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ 三、数列求和 ‎1．公式法 ‎(1)等差数列的前n项和公式：‎ Sn＝＝na1＋d.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：‎ Sn＝ ‎2．数列求和的几种常用方法 ‎(1)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．‎ ‎(2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．‎ ‎(4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．‎ ‎(5)并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．‎ 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ ‎3．常见的拆项公式 ‎(1)＝－；‎ ‎(2)＝；‎ ‎(3)＝－.‎ 四、数列的综合应用 ‎1．等差数列和等比数列的综合 等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．‎ ‎2．数列和函数、不等式的综合 ‎(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．‎ ‎(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．‎ ‎(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．‎ ‎3．数列的应用题 ‎(1)解决数列应用题的基本步骤是：‎ ‎①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；‎ ‎②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；‎ ‎③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．‎ ‎(2)数列应用题常见模型：‎ ‎①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；‎ ‎②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；‎ ‎③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．‎ 经典题型 ‎【例1】 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．‎ ‎【例2】 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎【例3】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)．‎ A．－6 B．－4 C．－2 D．2‎ ‎(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________．‎ ‎【例4】 (2013·济宁测试)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.‎ ‎【例5】已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【例6】 (1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)．‎ A．7 B．5 C．－5 D．－7‎ (2) 等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.‎ ‎【例7】 已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.‎ ‎【例8】 (2014·湖州质检)在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎【例9】 已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ ‎【例10】 已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ 课堂测评 ‎1．记Sn为等差数列{an}前n项和，若－＝1，则其公差d＝(　　)．‎ A. B．2 C．3 D．4‎ ‎2．在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于(　　)．‎ A．21 B．30 C．35 D．40‎ ‎3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)．‎ A．37 B．36 C．20 D．19‎ ‎4. (1)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．‎ ‎(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.‎ ‎5. (1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 (　　)．‎ A．－3 B．±3 ‎ C．－3 D．±3 ‎(2)(2014·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)．‎ A．4 B．6 C．8 D．8－4 ‎5.已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}前2 013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{an}前2 013项中剩余项的和．‎ ‎6.正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.‎ ‎8. 设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎9.已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足an＝＋(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，求实数a的取值范围．‎ 课后作业 ‎1．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.‎ ‎2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{an}的通项an＝________.‎ ‎3．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________.‎ ‎4．在数列{an}中，已知a1＝－1，且an＋1＝2an＋3n－4(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{an＋1－an＋3}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.‎ ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，a3＋a4＝17.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an＋2，证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.‎ ‎6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n，(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.‎ ‎7.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2.‎ ‎(1)记bn＝an＋1，求证：数列{bn}为等比数列；‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和Sn.‎ ‎8.已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．‎ 家长签名： ‎