长沙市中考数学试卷及详细答案

长沙市中考数学试卷及详细答案

‎2014年长沙市中考数学试卷 ‎1．的倒数是( )‎ A．2 B．-2 C． D．-‎ ‎2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )‎ A．圆锥 B．六棱柱 C．球 D．四棱锥 ‎3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( )‎ ‎ A． 3和3 B． 3和4 C． 4和3 D． 4和4‎ ‎4．平行四边形的对角线一定具有的性质是( ) ‎ A．相等 B．互相平分 C． 互相垂直 D．互相垂直且相等 ‎5 ．下列计算正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ A B D C ‎6 ．如图，C、D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长等于( )‎ A． 2 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 6 cm ‎7 ．一个关于的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎·‎ ‎。‎ A． >1 B．≥1 ‎ ‎ C．>3 D．≥3‎ ‎60°‎ A D C B ‎8．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB=60°,‎ 则对角线BD的长为 ( )‎ A． 1 B． ‎ C． 2 D． 2‎ ‎9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )‎ ‎10．‎ 函数与函数（）在同一坐标系中的图像可能是( )‎ 二、填空题：(本大题8个小题，每小题3分，共24分)在每小题中，请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．‎ ‎11．如图，直线∥b,直线c与a,b相交，∠1=70°，则∠2= 度；‎ ‎12．抛物线的顶点坐标为 ；‎ ‎13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度；‎ ‎14．已知关于的 一元二次方程的一个根是1，则k= ．‎ ‎15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为 ．‎ C A B F D E 第17题图 A B E D C 第16题图 ‎16．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为 ；‎ A B O C 第13题图 a b c ‎1‎ ‎2‎ 第11题图 ‎17.如图，B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= ；‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，A(2，3),B(-2，1),在轴上存在点P，使P到A,B两点的距离之和最小，则P的坐标为 ；‎ 三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分)‎ ‎19．计算：‎ ‎20．先化简，再求值：，其中，=3；‎ 四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)‎ ‎21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.‎ 调查问卷 在下面四中长沙小吃中，你最喜欢的是（ ） （单选）‎ A.臭豆腐 B.口味虾 C.唆螺 D.糖油粑粑 ‎ ‎ 请根据所给信息解答以下问题：‎ （1） 请补全条形统计图；‎ （2） 若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人；‎ （3） 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A”的概率；‎ A B E O C D 第22题图 ‎22.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O,‎ ‎(1) 求证：△AEO≌△CDO；‎ ‎（2）若∠OCD=30°，AB=,求△ACO的面积；‎ ‎ ‎ 五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分)‎ ‎23． 为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。‎ ‎（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲乙两种树苗各多少棵？‎ ‎（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？‎ ‎ ‎ A E D O●‎ C B ‎24.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E,‎ ‎(1) 求证：DE⊥AC；‎ ‎(2) 若AB=3DE,求tan∠ACB的值；‎ 四、 解答题：(本大题2个小题，每小题10分，共20分)‎ ‎25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），（-2，-2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。‎ ‎（1）若点P（2，m）是反比例函数（n为常数，n≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；‎ ‎（2）函数（k,s为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若二次函数（a,b是常数，a＞0）的图像上存在两个“梦之点”A，‎ B,且满足-2＜＜2，=2，令，试求t的取值范围。‎ ‎26.如图，抛物线的对称轴为轴，且经过（0,0），（）两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A（0,2），‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；‎ ‎（3）设⊙P与轴相交于M，N （＜）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标。‎ y x P●‎ A M O N 参考答案 一． 选择题：‎ ‎ ACBBD,BCCAD 二． 填空题：‎ ‎ 11. 110°， 12.(2,5), 13. 50°, 14. 2, ‎ ‎15. 16. 18 , 17. 6 18. (-1,0)‎ 解答题：‎ ‎19. 原式=1+2-3+1‎ ‎ =1‎ ‎ 20. 原式=‎ ‎ =（）（）‎ ‎=‎ 代入求值得 ‎21.（1）略，（2）（2）2000×（）=560 人 ‎ （3）‎ ‎22.（1）略 ‎ （2）‎ ‎23.（1）甲300棵，乙100棵 ‎ （2）甲种树苗至少购买240棵；‎ ‎24.（1）（1）由题可得：AE=CD, ∠E=∠D=90°‎ ‎∠EOA=∠DOC(对顶角相等)‎ 所以：△AEO≌△CDO（AAS）‎ ‎ （2）‎ ‎ 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,‎ 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即：，化简得：；‎ 解得：，则，故tan∠ACB=；‎ ‎25.（1）‎ ‎ （2）由得当时，‎ ‎ 当且s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；‎ ‎ 当且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；‎ ‎ 当，方程的解为，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）‎ ‎ ‎ ‎（3）由得：则为此方程的两个不等实根，‎ ‎ 由=2，又-2＜＜2得：-2＜＜0时，-4＜＜2；0≤＜2时，-2≤＜4；‎ ‎∵抛物线的对称轴为，故-3＜＜3‎ ‎ 由=2, 得： ，故＞；=‎ ‎=+=，当＞时，t随的增大而增大，当=时，t=,∴＞时， 。‎ ‎26.（1）‎ ‎ （2）设P(x,y), ⊙P的半径r=，又，则r=，化简得：r=＞，∴点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；‎ ‎ （3）设P()，∵PA=，作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=，故MN=4，∴M(，0)，N(,0)，‎ ‎ 又A(0，2)，∴AM=,AN=‎ 当AM=AN时，解得=0，‎ 当AM=MN时, =4，解得：=，则=；‎ y x P●‎ A M O N H 当AN=MN时, =4，解得：= ，则=‎ 综上所述，P的纵坐标为0或或；‎ ‎2014年长沙市中考数学试卷答案 一、选择题 ‎1．的倒数是( A )‎ A．2 B．-2 C． D．-‎ ‎2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( C )‎ A．圆锥 B．六棱柱 C．球 D．四棱锥 ‎3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( B )‎ ‎ A． 3和3 B． 3和4 C． 4和3 D． 4和4‎ ‎4．平行四边形的对角线一定具有的性质是( B ) ‎ A．相等 B．互相平分 C． 互相垂直 D．互相垂直且相等 ‎5 ．下列计算正确的是( D )‎ A． B． C． D．‎ A B D C ‎6 ．如图，C、D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长等于( B )‎ A． 2 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 6 cm ‎7 ．一个关于的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( C )‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎·‎ ‎。‎ A． >1 B．≥1 ‎ ‎ C．>3 D．≥3‎ ‎60°‎ A D C B ‎8．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB=60°,‎ 则对角线BD的长为 ( C )‎ A． 1 B． ‎ C． 2 D． 2‎ ‎9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( A )‎ ‎10．‎ 函数与函数（）在同一坐标系中的图像可能是( D )‎ 二、填空题：(每题3分，共24分)‎ ‎11．如图，直线∥b,直线c与a,b相交，∠1=70°，则∠2= 110 度；‎ ‎12．抛物线的顶点坐标为 (2，5) ；‎ ‎13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 50 度；‎ ‎14．已知关于的 一元二次方程的一个根是1，则k= 2 ．‎ ‎15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为 ‎ C A B F D E 第17题图 A B E D C 第16题图 ‎16．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为 18 ；‎ A B O C 第13题图 a b c ‎1‎ ‎2‎ 第11题图 ‎17.如图，B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= 6 ；‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，A(2，3),B(-2，1),在轴上存在点P，使P到A,B两点的距离之和最小，则P的坐标为 (-1，0) ；‎ 三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分)‎ ‎19．计算：‎ 解：原式=1+2-3+1‎ ‎ =1‎ ‎20．先化简，再求值：，其中，=3；‎ 解：原式=‎ ‎ =（）（）‎ ‎=‎ 代入求值得 四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)‎ 小吃类别 口味虾 人数 臭豆腐 ‎10‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎14‎ ‎21‎ ‎5‎ 唆螺 糖油粑粑 ‎21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.‎ 调查问卷 在下面四中长沙小吃中，你最喜欢的是（ ） （单选）‎ A.臭豆腐 B.口味虾 C.唆螺 D.糖油粑粑 ‎ ‎ 请根据所给信息解答以下问题：‎ （1） 请补全条形统计图；‎ （2） 若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人；‎ （3） 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A”的概率；‎ ‎（1）略 ‎（2）2000×（）=560 人 ‎（3）‎ A B E O C D 第22题图 ‎22.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O,‎ ‎(1) 求证：△AEO≌△CDO；‎ ‎（2）若∠OCD=30°，AB=,求△ACO的面积；‎ ‎（1）由题可得：AE=CD, ∠E=∠D=90°‎ ‎∠EOA=∠DOC(对顶角相等)‎ 所以：△AEO≌△CDO（AAS）‎ ‎ （2）‎ 五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分)‎ ‎23． 为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。‎ ‎（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲乙两种树苗各多少棵？‎ ‎（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？‎ ‎（1）甲300棵，乙100棵 ‎ （2）甲种树苗至少购买240棵 A E D O●‎ C B ‎24.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E,‎ ‎(1) 求证：DE⊥AC；‎ ‎(2) 若AB=3DE,求tan∠ACB的值；‎ ‎（1）（略）‎ ‎ （2）‎ 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,‎ 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即：，化简得：；‎ 解得：，则，故tan∠ACB=；‎ 四、解答题：(本大题2个小题，每小题10分，共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，将解答书写在答题卡中对应的位置上．‎ ‎25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），（-2，-2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。‎ ‎（1）若点P（2，m）是反比例函数（n为常数，n≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；‎ ‎（2）函数（k,s为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若二次函数（a,b是常数，a＞0）的图像上存在两个“梦之点”A，‎ B,且满足-2＜＜2，=2，令，试求t的取值范围。‎ ‎（1）‎ ‎ （2）由得当时，‎ ‎ 当且s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；‎ ‎ 当且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；‎ ‎ 当，方程的解为，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）‎ ‎ ‎ ‎（3）由得：则为此方程的两个不等实根，‎ ‎ 由=2，又-2＜＜2得：-2＜＜0时，-4＜＜2；0≤＜2时，-2≤＜4；‎ ‎∵抛物线的对称轴为，故-3＜＜3‎ ‎ 由=2, 得： ，故＞；=‎ ‎=+=，当＞时，t随的增大而增大，当=时，t=,∴＞时， 。‎ ‎26.如图，抛物线的对称轴为 轴，且经过（0,0），（）两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A（0,2），‎ ‎(1)求的值； （收集整理cjzl）‎ ‎(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；‎ y x P●‎ A M O N ‎（3）设⊙P与轴相交于M，N （＜）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标。‎ ‎（1）‎ ‎ （2）设P(x,y), ⊙P的半径r=，又，则r=，化简得：r=＞，∴点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；‎ ‎ （3）设P()，∵PA=，作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=，故MN=4，∴M(，0)，N(,0)，‎ ‎ 又A(0，2)，∴AM=,AN=‎ 当AM=AN时，解得=0，‎ 当AM=MN时, =4，解得：=，则=；‎ 当AN=MN时, =4，解得：= ，则=‎ 综上所述，P的纵坐标为0或或；‎ 参考答案 一． 选择题：‎ ‎ ACBBD,BCCAD 二． 填空题：‎ ‎ 11. 110°， 12.(2,5), 13. 50°, 14. 2, ‎ ‎15. 16. 18 , 17. 6 18. (-1,0)‎ 解答题：‎ ‎19. 1 20. ，代入求值得；‎ ‎21.（1）略，（2）560 （3）‎ ‎22.（1）略 ‎ （2）‎ ‎23.（1）甲300棵，乙100棵 ‎ （2）甲种树苗至少购买240棵；‎ ‎24.（1）（略）‎ ‎ （2）‎ ‎ 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,‎ 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即：，化简得：；‎ 解得：，则，故tan∠ACB=；‎ ‎25.（1）‎ ‎ （2）由得当时，‎ ‎ 当且s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；‎ ‎ 当且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；‎ ‎ 当，方程的解为，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）‎ ‎ ‎ ‎（3）由得：则为此方程的两个不等实根，‎ ‎ 由=2，又-2＜＜2得：-2＜＜0时，-4＜＜2；0≤＜2时，-2≤＜4；‎ ‎∵抛物线的对称轴为，故-3＜＜3‎ ‎ 由=2, 得： ，故＞；=‎ ‎=+=，当＞时，t随的增大而增大，当=时，t=,∴＞时， 。‎ ‎26.（1）‎ ‎ （2）设P(x,y), ⊙P的半径r=，又，则r=，化简得：r=＞，∴点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；‎ ‎ （3）设P()，∵PA=，作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=，故MN=4，∴M(，0)，N(,0)，‎ ‎ 又A(0，2)，∴AM=,AN=‎ 当AM=AN时，解得=0，‎ 当AM=MN时, =4，解得：=，则=；‎ y x P●‎ A M O N H 当AN=MN时, =4，解得：= ，则=‎ 综上所述，P的纵坐标为0或或；‎