2018届二轮复习数列的综合问题课件

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第 3 讲　数列的综合问题 专题四 　 数列、推理与证明 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　利用 S n ， a n 的关系式求 a n 1. 数列 { a n } 中， a n 与 S n 的关系 2. 求数列通项的常用方法 (1) 公式法：利用等差 ( 比 ) 数列求通项公式 . (2) 在已知数列 { a n } 中，满足 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ，且 f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f ( n ) 可求，则可用累加法求数列的通项 a n . ( 3) 在已知数列 { a n } 中， 满足 ＝ f ( n ) ，且 f (1)· f (2)· … · f ( n ) 可求，则 可用 累 乘法求数列的通项 a n . (4) 将递推关系进行变换，转化为常见数列 ( 等差、等比数列 ). 例 1 　 已知等差数列 { a n } 中， a 2 ＝ 2 ， a 3 ＋ a 5 ＝ 8 ，数 列 { b n } 中， b 1 ＝ 2 ，其前 n 项和 S n 满足： b n ＋ 1 ＝ S n ＋ 2( n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解答 解　 ∵ a 2 ＝ 2 ， a 3 ＋ a 5 ＝ 8 ， ∴ 2 ＋ d ＋ 2 ＋ 3 d ＝ 8 ， ∴ d ＝ 1 ， ∴ a n ＝ n . ∵ b n ＋ 1 ＝ S n ＋ 2( n ∈ N * ) ， ① ∴ b n ＝ S n － 1 ＋ 2( n ∈ N * ， n ≥ 2). ② 由 ① － ② ，得 b n ＋ 1 － b n ＝ S n － S n － 1 ＝ b n ( n ∈ N * ， n ≥ 2) ， ∴ b n ＋ 1 ＝ 2 b n ( n ∈ N * ， n ≥ 2). ∵ b 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ 2 b 1 ， ∴ { b n } 为首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， ∴ b n ＝ 2 n . 解答 思维升华　 给出 S n 与 a n 的递推关系，求 a n ，常用思路：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . 思维升华 两式相减，得 证明 跟踪演练 1 　 (2017· 天津市红桥区重点中学八校联考 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S n － n ＝ 2( a n － 2)( n ∈ N * ). (1) 证明：数列 { a n － 1} 为等比数列 ； 证明　 ∵ S n － n ＝ 2( a n － 2) ， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 － ( n － 1) ＝ 2( a n － 1 － 2) ， 两式相减，得 a n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 － 1 ， ∴ a n － 1 ＝ 2( a n － 1 － 1) ， 又当 n ＝ 1 时， a 1 － 1 ＝ 2( a 1 － 2) ， 得 a 1 ＝ 3 ， a 1 － 1 ＝ 2 ， ∴ 数列 { a n － 1} 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 . (2) 若 b n ＝ a n ·log 2 ( a n － 1) ，数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n . 解答 解　 由 (1) 知， a n － 1 ＝ 2 × 2 n － 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n ＋ 1 ， 又 b n ＝ a n ·log 2 ( a n － 1) ， ∴ b n ＝ n (2 n ＋ 1) ， ∴ T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋ b n ＝ (1 × 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ n × 2 n ) ＋ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ) ， 设 A n ＝ 1 × 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ ( n － 1) × 2 n － 1 ＋ n × 2 n ， 则 2 A n ＝ 1 × 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ … ＋ ( n － 1) × 2 n ＋ n × 2 n ＋ 1 ， 两式相减，得 － A n ＝ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n － n × 2 n ＋ 1 ∴ A n ＝ ( n － 1) × 2 n ＋ 1 ＋ 2. 热点二　数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题 . 例 2 　 设 f n ( x ) ＝ x ＋ x 2 ＋ … ＋ x n － 1 ， x ≥ 0 ， n ∈ N ， n ≥ 2. (1) 求 f n ′ (2) ； 解答 解　 方法一 　由题设 f n ′ ( x ) ＝ 1 ＋ 2 x ＋ … ＋ nx n － 1 ， 所以 f n ′ (2) ＝ 1 ＋ 2 × 2 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n － 2 ＋ n ·2 n － 1 ， ① 则 2 f n ′ (2) ＝ 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n － 1 ＋ n ·2 n ， ② 由 ① － ② 得，－ f n ′ (2) ＝ 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 － n ·2 n 所以 f n ′ (2) ＝ ( n － 1)2 n ＋ 1. ＝ ( n － 1)2 n ＋ 1. 证明 思维升华　 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1) 数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视 . (2) 解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件 . (3) 不等关系证明中进行适当的放缩 . 思维升华 证明　 因为 f n (0) ＝－ 1 ＜ 0 ， 又 f ′ n ( x ) ＝ 1 ＋ 2 x ＋ … ＋ nx n － 1 ＞ 0 ， 证明 跟踪演练 2 　 (2016 届浙江省宁波市期末 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2( S n ＋ n ＋ 1)( n ∈ N * ) ，令 b n ＝ a n ＋ 1. (1) 求证： { b n } 是等比数列 ； 证明　 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 2(2 ＋ 2) ＝ 8 ， a n ＋ 1 ＝ 2( S n ＋ n ＋ 1)( n ∈ N * ) a n ＝ 2( S n － 1 ＋ n )( n ≥ 2) ， 两式相减，得 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2( n ≥ 2). 经检验，当 n ＝ 1 时上式也成立， 即 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2( n ≥ 1). 所以 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ，即 b n ＋ 1 ＝ 3 b n ，且 b 1 ＝ 3. 故 { b n } 是等比数列 . (2) 记数列 { nb n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n ； 解答 解　 由 (1) 得 b n ＝ 3 n . T n ＝ 1 × 3 ＋ 2 × 3 2 ＋ 3 × 3 3 ＋ … ＋ n × 3 n ， 3 T n ＝ 1 × 3 2 ＋ 2 × 3 3 ＋ 3 × 3 4 ＋ … ＋ n × 3 n ＋ 1 ， 两式相减，得 － 2 T n ＝ 3 ＋ 3 2 ＋ 3 3 ＋ … ＋ 3 n － n × 3 n ＋ 1 证明 热点三　数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型 —— 数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题 . 求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果 . 例 3 　 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “ 绿色通道 ” 的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座 120 万元的蔬菜加工厂 M ， M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初 M 的价值比上年年初减少 10 万元，从第七年开始，每年年初 M 的价值为上年年初的 75%. (1) 求第 n 年年初 M 的价值 a n 的表达式； 解答 解　 当 n ≤ 6 时，数列 { a n } 是首项为 120 ，公差为－ 10 的等差数列，故 a n ＝ 120 － 10( n － 1) ＝ 130 － 10 n ， 当 n ≥ 7 时，数列 { a n } 从 a 6 开始的项构成一个以 a 6 ＝ 130 － 60 ＝ 70 为首项 ， 以 为 公比的等比数列 ， (2) 设 A n ＝ ， 若 A n 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须 在 第 n 年年初对 M 更新，证明：必须在第九年年初对 M 更新 . 证明 思维升华 证明　 设 S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当 1 ≤ n ≤ 6 时， S n ＝ 120 n － 5 n ( n － 1) ， 当 n ≥ 7 时，由于 S 6 ＝ 570 ， 因为 { a n } 是递减数列，所以 { A n } 是递减数列 . 所以必须在第九年年初对 M 更新 . 思维升华　 常见数列应用题模型的求解方法 (1) 产值模型：原来产值的基础数为 N ，平均增长率为 p ，对于时间 n 的总产值 y ＝ N (1 ＋ p ) n . (2) 银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ r ) n . (3) 银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ nr ). (4) 分期付款模型： a 为贷款总额， r 为年利率， b 为等额还款数，则 b ＝ . 跟踪演练 3 　 (2017· 全国 Ⅰ ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 . 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动 . 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ， … ，其中第一项是 2 0 ，接下来的两项 是 2 0 ,2 1 ，再接下来的三项是 2 0 ,2 1 ,2 2 ，依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N ： N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 . 那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 √ 答案 解析 设 N 是第 n ＋ 1 组的第 k 项，若要使前 N 项和为 2 的整数幂， Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2016· 浙江 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 ＝ 4 ， a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ， n ∈ N * ，则 a 1 ＝ ___ ， S 5 ＝ ___ _ _. 1 答案 解析 1 2 121 1 2 当 n ≥ 2 时，由已知可得 a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ， ① a n ＝ 2 S n － 1 ＋ 1 ， ② 由 ① － ② ，得 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 a n ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ，又 a 2 ＝ 3 a 1 ， ∴ { a n } 是以 a 1 ＝ 1 为首项，以 q ＝ 3 为公比的等比数列 . 2.(2017· 山东 ) 已知 { x n } 是各项均为正数的等比数列，且 x 1 ＋ x 2 ＝ 3 ， x 3 － x 2 ＝ 2. (1) 求数列 { x n } 的通项公式； 解　 设数列 { x n } 的公比为 q . 1 2 所以 3 q 2 － 5 q － 2 ＝ 0 ， 由已知得 q ＞ 0 ， 所以 q ＝ 2 ， x 1 ＝ 1. 因此数列 { x n } 的通项公式为 x n ＝ 2 n － 1 . 解答 (2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P 1 ( x 1, 1) ， P 2 ( x 2, 2) ， … ， P n ＋ 1 ( x n ＋ 1 ， n ＋ 1) 得到折线 P 1 P 2 … P n ＋ 1 ，求由该折线与直线 y ＝ 0 ， x ＝ x 1 ， x ＝ x n ＋ 1 所围成的区域的面积 T n . 1 2 解答 解　 过 P 1 ， P 2 ， … ， P n ＋ 1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q 1 ， Q 2 ， … ， Q n ＋ 1 . 由 (1) 得 x n ＋ 1 － x n ＝ 2 n － 2 n － 1 ＝ 2 n － 1 ， 记梯形 P n P n ＋ 1 Q n ＋ 1 Q n 的面积为 b n ， 1 2 所以 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ＝ 3 × 2 － 1 ＋ 5 × 2 0 ＋ 7 × 2 1 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 3 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 2 ， ① 则 2 T n ＝ 3 × 2 0 ＋ 5 × 2 1 ＋ 7 × 2 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 2 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 ， ② 由 ① － ② ， 得 － T n ＝ 3 × 2 － 1 ＋ (2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) － (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 1 2 押题预测 解答 押题依据　 本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理 能力 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足关系式 S n ＝ ka n ＋ 1 ， k 为不等于 0 的常数 . (1) 试判断数列 { a n } 是否为等比数列； 押题依据 解　 若数列 { a n } 是等比数列，则由 n ＝ 1 得 a 1 ＝ S 1 ＝ ka 2 ，从而 a 2 ＝ ka 3 . 又取 n ＝ 2 得 a 1 ＋ a 2 ＝ S 2 ＝ ka 3 ， 于是 a 1 ＝ 0 ，显然矛盾，故数列 { a n } 不是等比数列 . 解答 押题依据　 本题综合考查数列知识，高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前 n 项和的常用方法 “ 裂项相消法 ” 与 “ 错位相减法 ” 结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力 . 押题依据 从而 S n ＝ a n ＋ 1 . 当 n ≥ 2 时，由 S n － 1 ＝ a n ，得 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ， 即 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ，此时数列是首项为 a 2 ＝ 、 公比为 2 的等比数列 . 从而其前 n 项和 S n ＝ 2 n － 2 ( n ∈ N * ). 解答 解　 由 ① 得 b n ＝ n － 2 ， 记 C 2 ＝ 1·2 － 1 ＋ 2·2 0 ＋ … ＋ n ·2 n － 2 ， 则 2 C 2 ＝ 1·2 0 ＋ 2·2 1 ＋ … ＋ n ·2 n － 1 ， 即 n 2 ＋ n － 90>0 ，因为 n ∈ N * ，故 n >9 ， 从而最小正整数 n 的值是 10 .