2015高考数学一轮方法测评练必考附加题——模板成形练1

2015高考数学一轮方法测评练必考附加题——模板成形练1

必考附加题——模板成形练(一)‎ ‎1．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝6，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，C‎1F＝CC1.‎ ‎(1)求异面直线AE与A‎1F所成角的大小；‎ ‎(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．‎ 解　(1)建立如图所示的直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，E(2,0,2)，A1(0,0,6)，F(0,2,4)，‎ 从而＝(2,0,2)，＝(0,2，－2)．‎ 记与的夹角为θ，则有cos θ＝＝＝－.‎ 又由异面直线AE与A‎1F所成角的范围为(0，π)，‎ 可得异面直线AE与A‎1F所成的角为60°.‎ ‎(2)记平面AEF和平面ABC的法向量分别为n和m，‎ 则由题设可令n＝(1，y，z)，且有平面ABC的法向量为m＝＝(0,0,6)，＝(0,2,4)，＝(2,0,2)．‎ 由n·＝0，得2y＋4z＝0；由n·＝0，得2＋2z＝0.‎ 所以z＝－1，y＝2，即n＝(1,2，－1)．‎ 记平面AEF与平面ABC所成的角为β，‎ 有cos β＝＝＝－.‎ 由图形可知β为锐角，所以cos β＝.‎ ‎2．已知数列{bn}满足b1＝，＋bn－1＝2(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(1)求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；‎ ‎(2)设x＝b，y＝b，比较xx与yy的大小．‎ 解　(1)当n＝2时，＋＝2，解得b2＝；‎ 当n＝3时，＋＝2，解得b3＝.‎ 猜想bn＝.‎ 证明：①当n＝1时，b1＝.‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，即bk＝，‎ 则当n＝k＋1时，＋bk＝2，即＋＝2，‎ ‎∴＝2－＝，bk＋1＝也成立．‎ 由①②得bn＝.‎ ‎(2)x＝b＝n，‎ ‎∴xx＝yy.‎ ‎3．三棱柱ABC－A1B‎1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A‎1A＝3.D是BC的中点．‎ ‎(1)求直线DB1与平面A‎1C1D所成角的正弦值；‎ ‎(2)求二面角B1－A1D－C1的大小的正弦值．‎ 解　(1)由题意，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3).＝(1,2，－3)，＝(0,4,0)．‎ 设平面A‎1C1D的法向量为n＝(x，y，z)．‎ ‎∵n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.‎ ‎∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3,0,1)．‎ 设直线DB1与平面A‎1C1D所成角为θ，‎ ‎∵＝(1，－2,3)，‎ ‎∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.‎ ‎(2)设平面A1B1D的法向量为m＝(a，b，c)．‎ ＝(2,0,0)，‎ ‎∵m·＝a＋2b－‎3c＝0，m·＝‎2a＝0.‎ ‎∴a＝0,2b＝‎3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0,3,2)．‎ 设二面角B1－A1D－C1的大小为α，‎ ‎∴|cos α|＝|cos〈m，n〉|＝ ‎＝＝，‎ 则sin α＝＝，‎ ‎∴二面角B1－A1D－C1的大小的正弦值为.‎ ‎4．已知整数n≥4，集合M＝{1,2,3，…，n}的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC(C∈N*)．‎ ‎(1)当n＝5时，求集合A1，A2，…，AC中所有元素之和；‎ ‎(2)设mi为Ai中的最小元素，设Pn＝m1＋m2＋…＋mC，试求Pn(用n表示)．‎ 解　(1)当n＝5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C＝6个，所以含有数字1的集合有6个．同时含2,3,4,5的子集也各有6个．‎ 于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×C＝15×6＝90.‎ ‎(2)证明　不难得到1≤mi≤n－2，mi∈Z，并且以1为最小元素的子集有C个，以2为最小元素的子集有C个，以3为最小元素的子集有C个，…，以n－2为最小元素的子集有C个，则Pn＝m1＋m2＋…＋mC ‎＝1×C＋‎2C＋‎3C＋…＋(n－2)C ‎＝(n－2)C＋(n－3)C＋(n－4)C＋…＋C ‎＝C＋(n－3)(C＋C)＋(n－4)C＋…＋C ‎＝C＋(n－3)(C＋C)＋(n－4)C＋…＋C ‎＝C＋(n－3)C＋(n－4)C＋…＋C ‎＝C＋C＋(n－4)(C＋C)＋…＋C ‎＝C＋C＋(n－4)C＋…＋C ‎＝C＋C＋C＋…＋C＝C.‎