【数学】山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考试题（理）

【数学】山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考试题（理）

山西大学附属中学2019-2020学年 高二下学期5月月考试题（理）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。每题的四个选项中只有一个选项是正确的）‎ ‎1．若复数的实部与虚部相等，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的所对应的运算结果可能是(　　)‎ A． B． C． D．　‎ ‎3．设是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)‎ A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)　‎ ‎5.观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．定义，则由函数的图象与x轴、直线所围成的封闭图形的面积为 A． B． C． D． ‎ ‎7．已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( )‎ A． B． 1 C． D． 2‎ ‎8．用数学归纳法证明不等式“”过程中，由到时，不等式的左边（ ）‎ A．增加了一项 ‎ B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 ‎ D．增加了一项，又减少了一项 ‎ ‎9．若函数与的图象存在公切线,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知，若存在，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ___C. D. ‎ 二、 填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.计算定积分： .‎ ‎14.在极坐标系中，直线与圆交于两点，则_________.‎ ‎15.已知函数，,若,使得成立，则实数的取值范围是 　 ．‎ ‎16.设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题:(本题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题10分）已知都是实数，求证：.‎ ‎18．（本题12分）在极坐标系中，已知曲线，过极点作射线与曲线交于点，在射线上取一点，使.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，若直线与（1）中的曲线相交于点（异于点），与曲线（为参数）相交于点，求的值.‎ ‎19.（本题12分）设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎20．（本题12分）在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求.‎ ‎21．（本题12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若，记为的从小到大的第个极值点，证明：‎ ‎．‎ ‎22．（本题12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若， ，证明： .‎ 参考答案 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。每题的四个选项中只有一个选项是正确的）‎ ‎1．【答案】C 2．【答案】B　 3．【答案】D 4．【答案】D　 5.【答案】D ‎6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C ‎10.【答案】A 11．【答案】A ‎ ‎12. 【答案】B ‎【解析】因为为偶函数，所以，，‎ 构造函数，，所以函数是R上的减函数.‎ 根据题意：，因为 所以，解之得，.‎ 二、 填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.【答案】‎ ‎14.【答案】2‎ ‎15.【答案】‎ ‎16.【答案】‎ 分析：因为,故得不等式,‎ 即,‎ 由于,令得方程,‎ 因 , 故，代入前面不等式,‎ 并化简得,解不等式得或，‎ 因此, 当或时, 不等式成立,故答案为. ‎ 三、解答题:(本题共六个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题10分）已知都是实数，求证：.‎ ‎【答案】证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， …………3分 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， …………5分 ‎∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2； …………7分 ‎∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ ‎∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)， …………9分 ‎∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．‎ ‎∴原命题得证． …………10分 ‎18．（本题12分）在极坐标系中，已知曲线，过极点作射线与曲线交于点，在射线上取一点，使.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，若直线 与（1）中的曲线相交于点（异于点），与曲线（为参数）相交于点，求的值.‎ ‎19. （本题12分）设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间.‎ ‎20．（本题12分）在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ），得到，‎ 因为则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将代入，得到.‎ 又因为，则，所以 解得：，或，则或.‎ ‎21．（本题12分）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若，求函数的极值；‎ ‎(Ⅱ)若，记为的从小到大的第个极值点，证明：．‎ ‎【答案】‎ ‎(2)∵为的从小到大的第（）个极值点，‎ 又令，，则，，‎ ‎∴ ，，， ‎ ‎∴ ．‎ ‎22．（本题12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若， ，证明： .‎ ‎【答案】‎ ‎（2），则， ，‎ 欲证，即证在上单调递减，‎ ‎∵，‎ 令，‎ 则 ‎∴在上为减函数，而 ‎∴，则，∴在上单调递减，‎ 又，∴.‎