2018届二轮复习等差数列、等比数列学案（江苏专用）

2018届二轮复习等差数列、等比数列学案（江苏专用）

专题8：等差数列、等比数列(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、课前测试 ‎1．(1)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n∈N*且n≥2)，令bn＝，求证：数列{bn}是等差数列．‎ 提示：用等差数列的定义来证，即证bn－bn－1＝(常数)‎ ‎(2)数列{an}前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，令bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列.‎ 提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系，找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．‎ 即由an＋Sn＝n，得an－1＋Sn－1＝n－1，两式相减得2an－an－1＝1即2bn＝bn－1．‎ 从而有＝(常数)‎ ‎2．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*且n≥2)，a1＝2，令bn＝(an＋t) (n∈N*)，否存在一个实数t，使得数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．‎ 答案：存在实数t＝1，使得数列{bn}为等差数列．‎ ‎3．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3与S4的等差中项为1，而S3与S4的等比中项是S5，‎ 则an＝ ．‎ ‎(2)已知在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝1或an＝－n＋； (2) an＝2×3n－3或an＝2×()n－3．‎ ‎4． (1)设在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求＝ ；＝ ．‎ ‎(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝ ．‎ ‎(3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 ．‎ 答案：(1)n＝6， q＝2或；(2)；(3)310．‎ ‎5． (1)已知{an}是等差数列，若a1＝20，公差d＝－2，求数列前n项和Sn的最大值．‎ ‎(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是 ．‎ ‎①d＜0 ；②a7＝0；③S9＞S5；④S6和S7均为Sn的最大值.‎ 答案：(1)当且仅当n＝10或11时，Sn取得最大值110．‎ ‎(2)①②④‎ 二、方法联想 ‎1．等差、等比数列的证明 方法 证明数列是等差数列：‎ 方法1 定义法，即当n∈N*时，an＋1－an为同一常数．‎ 方法2 中项公式法，即当n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立．‎ 方法 证明数列是等比数列：‎ 方法1 定义法，即当n∈N*时，为同一常数．‎ 方法2 中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立，且an≠0． ‎ ‎2．等差、等比数列的呈现 等差数列的呈现形式 呈现1 通项为一次形式，即an＝an＋b．‎ 呈现2 前n项和为不含常数项的二次形式，即Sn＝an2＋bn．‎ 呈现3 若数列{an}为等比数列，且an＞0，则{logaan}为等差数列．‎ 注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明．‎ 判断数列不是等差数列 方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．‎ 等比数列的呈现形式 呈现1 通项公式为指数幂形式，即an＝aqn．‎ 呈现2 若数列{an}的前n项和为Sn＝a(qn－1)(a≠0，q≠1，q≠0)． ‎ 呈现3 若数列{an}为等差数列，则{aa}为等比数列．‎ 注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明．‎ ‎ 判断数列不是等比数列 方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．‎ ‎3．基本量运算 基本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中只有3个是独立的，其余2个都可以用3个独立的基本量表示，即知三求二．‎ ‎【变式】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a21＝30，则S15＝_____．‎ ‎ (基本量解决问题时，也应根据目标“按需所求”)‎ ‎4．性质的应用 方法 (1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．‎ ‎ 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则aman＝ap2．‎ ‎ (2) 在等差数列{an}中，由Sn＝得，若n为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an．‎ 方法 在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．‎ 在等比数列{an}中，一般情况下Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．‎ ‎【变式】‎ ‎ （1）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝ ．‎ ‎ （2）已知一个等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a2＋a3＋a4＝－1，则数列{an}的前6项的和＝ ．‎ 答案：（1）；（2）－5‎ ‎5．等差数列Sn的最值问题 方法 在等差数列{ an }中Sn 的最值问题：‎ 方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sm取最大值.‎ ‎ (2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sm取最小值，‎ 方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析．‎ ‎【变式】已知{an}是等差数列，若a1＝20，数列前n项和Sn取得最大值的条件的n＝10，求公差的取值范围．‎ ‎(已知等差数列取得最值的条件，确定参数的取值范围)‎ 答案：(－，－2)．‎ 三、例题分析 例1 已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有a＝anan＋2＋k (k为常数).‎ ‎(1)若k＝(a2－a1)2，求证:a1，a2，a3成等差数列；‎ ‎(2)若k＝0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；‎ ‎(3)已知a1＝a，a2＝b (a，b为常数)，是否存在常数λ，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立?‎ 若存在.求出λ；若不存在，说明理由.‎ 答案：(1) 用定义证；‎ ‎ (2)q＝1或q＝．‎ ‎ (3)存在常数λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立．‎ ‎ ∵a＝anan＋2＋k，∴a＝an－1an＋1＋k，n≥2，n∈N*‎ ‎ ∴a－a＝anan＋2－an－1an＋1，‎ ‎ 即a＋an－1an＋1＝a＋anan＋2，∵an＞0，‎ ‎ ∴＝．‎ ‎ ∴＝=…＝．‎ ‎ ∴an＋an＋2＝an＋1．‎ ‎ ∵a1＝a，a2＝b，a＝anan＋2＋k，∴a3＝，∴＝，‎ ‎ ∴存在常数λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．证明一个数列是等差数列：‎ 方法①定义法：an＋1－an＝d(常数)，n∈N*；‎ ‎②等差中项法：2an＝an＋1＋an－1，n≥2，n∈N*；‎ ‎2．等比数列的子列构成一等差数列，求公比：‎ 方法①利用等差(比)数列的通项公式，进行基本量的计算 ‎3．存在性问题：‎ 方法①假设存在，由特殊情况，求参数的值，再证明；‎ ‎②转化为关于n的方程恒成立问题；‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题是研究3个数构成等差数列；‎ 所以选择②．‎ 对于问题3，学生一般会选择①，对于存在性问题，常规的方法就是先从特殊性出发探究出参数和值，再进行证明，这样处理思路清晰，运算量小。所以选择方法①．‎ 例2 已知Sn是数列{an}的前n项和，且an＝Sn－1＋1(n≥2)，a1＝2．‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对于给定的k (k＝1，2，…，n)．设T(k)表示首项为ak，公差为2ak－1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；‎ ‎(3)设bi为数列T(i)的第i项，Mn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Mn．‎ 答案：(1) an＝．‎ ‎ (2) T(2)的前10项之和＝10×3＋×5＝255． ‎ ‎(3) Mn＝ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的通项：‎ 方法: ①利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an．‎ ‎②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；‎ ‎③构造等差(比)数列求通项；‎ ‎④用累加(乘)法求通项．‎ ‎2．数列求和问题：‎ 方法：①利用等差(比)数列前n和公式求和；②分部求和；③错位相减法；‎ ‎④裂项求和．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择②，因为本题中给出数列通项an与Sn之间的关系，‎ 可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列是否为等差数列，本题中的数列从第2项起是等差数列，所以选择方法②．‎ 对于问题2，学生一般会选择①③，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法①，数列{Mn}的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选择方法③‎ 例3 已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a‎2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋‎2m＝an成立．‎ ‎(1)当m＝12时，求a2010；‎ ‎(2)若a52＝，试求m的值；‎ ‎(3)判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S‎128m＋3≥2014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 答案：(1)a2010＝a18＝a12＋6＝()6＝．‎ ‎(2)m＝45，或15，或9．‎ ‎(3)当m＝6时，S‎2m取得最大值，则S‎128m＋3取得最大值为64×30＋24＝2007．‎ 由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S‎128m＋3≥2014成立．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求周期数列的项：‎ 方法: ①找出数列在一个周期内的通项公式，根据数列的周期，求数列中任意一项．‎ ‎②找出数列的项在第几个周期内，根据数列在一个周期内特征来归纳通项．‎ ‎2．求周期数列的前n项和问题：‎ ‎ 方法: ① 先求出数列在一个周期内的和，根据数列的周期确定前n项中，共含有几个周期，还剩下多项，再考虑求和．‎ ‎3．条件探索性问题：‎ ‎ 方法: ①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；‎ ‎ ②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，由于数列在一个周期性的各项是由一个等差数列和一个等比数列构成，数列的周期已知，所以很容易找出a2010＝a18，而a18是等比数列的第6项，由等比数列的通项公式可求．‎ 主要是搞清楚数列在一个周期内的和，以及所求的和包含多少个周期，还剩多少项．‎ ‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，本题中S‎128m＋3能求出，所以用方法①．‎ 四、反馈练习 ‎1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为 ．‎ 答案：2 (考查等差数列与数列前n项和的概念，等比数列的性质)‎ ‎2．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a‎5a2n－5＝22n (n≥3)，‎ 则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝ ．‎ 答案：n2 (考查等差数列与等比数列的转化，等比数列的性质，前n项和)‎ ‎3．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5 (n∈N*)，则a6＝ ．‎ 答案： (考查等差数列的概念，等差数列的通项公式)‎ ‎4．已知各项为正数的等差数列{an}的前20项和为100，那么a‎7a14的最大值为 ．‎ 答案：25 (考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，基本不等式求最值)‎ ‎5．函数y＝x2 (x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*．‎ 若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ ．‎ 答案：21 (考查导数的几何意义，等比数列的概念)‎ ‎6．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，则常数p＝ ．‎ 答案：p＝2或p＝3 (考查等比数列的概念，从特殊到一般的思想)‎ ‎7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是 ．‎ 答案：5 (考查等差数列的性质)‎ ‎8．已知数列{an}的为等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，‎ 则使Sn＞0的n的最大值为 ．‎ 答案：19 (考查等差数列的性质)‎ ‎9．在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an＞a‎1a2…an的最大正整数n 的值___.‎ 答案：12 (考查等比数列通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查解不等式)‎ ‎10．数列{an}的前n项和为Sn，满足nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，n∈N*，且a1＝2，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是 ．‎ 答案：2 (考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，不等式恒成立问题)‎ ‎11．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 015．‎ 答案：(1) an＝2n－1，bn＝3n－1．‎ ‎ (2) 32 015．‎ ‎(考查等差、等比数列基本量计算，数列前n项和与通项之间的关系，等比数列求和)‎ ‎12．已知数列{an}满足，an+1+ an＝4n－3(n∈N*) ‎ ‎ (1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；‎ ‎ (2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎ (3)若对任意n∈N*,都有a+ a≥20n－15成立，求a1的取值范围．‎ 答案：(1) a1＝－；(2) Sn＝．‎ ‎ (3) (－∞，－4]∪[2，+∞)．‎ ‎(考查等差数列的概念与性质，等差数列前n项和，数列中的不等式恒成立问题)‎ ‎13．已知数列{an}的首项a1＝‎2a＋1（a是常数，且a≠－1），an＝2an－1＋n2－4n＋2（n≥2），数列{bn}的首项b1＝a，bn＝an＋n2（n≥2）．‎ ‎(1)证明：{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列；‎ ‎(2)设Sn为数列{bn}的前n项和，且{Sn}是等比数列，求实数a的值；‎ ‎(3)当a＞0时，求数列{an}的最小项．‎ 答案：(1)略；(2)a＝－；‎ ‎(3)当a∈(0，)时，最小项为‎8 a —1；当a＝时，最小项为‎4 a或‎8 a—1；‎ 当a∈(，)时，最小项为‎4 a；当a＝时，最小项为‎4 a或‎2 a＋1；‎ 当a∈(，＋∞)时，最小项为‎2 a＋1．‎ ‎(考查等比数列的证明，等比数列求和，数列的最小项问题)‎ ‎14．已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有S＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．‎ ‎①求a1，a2的值；‎ ‎②求数列{an}的通项公式．‎ 答案：(1) 共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1．‎ ‎(2) ① a1＝1，a2＝3．② an＝． ‎ ‎(考查从特殊到一般的思想，由递推求数列通项，以及推理论证明的能力)‎