2018-2019学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019 学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学（文）试题 一、单选题 1．下面有四个命题：其中正确命题的个数为（ ） （1）集合 N 中最小的数是 1； （2）若﹣a 不属于 N，则 a 属于 N； （3）若 a∈N，b∈N，则 a+b 的最小值为 2； （4）x2+1＝2x 的解可表示为{﹣1，1}． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】A 【解析】（1）0 是自然数；（2）可以举一个反例验证；（3）取 ；（4）考虑 集合元素的特性． 【详解】 解：集合 中最小的数是 0，所以（1）不正确； ，但 ，所以（2）不正确； 若 ，则 ，若 ，则 ，则 ，当且仅当 时取等号，则 的最小值为 0，所以（3）不正确； 的解表示为 ，所以（4）不正确． 所以正确的命题为 0 个． 故选：A． 【点睛】 本题考查了命题真假的判断与运用，以及元素与集合之间的关系，解答的关键是掌握自 然数集的概念，及集合中元素的三个特性，即确定性、互异性和无序性． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A． ， B． ， C．y=1， D． ， 【答案】A 【解析】判断时每组函数的定义域和对应关系是否相同． 【详解】 A 中的函数 与 是同一函数； 0a b= = N 1 2 N− ∉ 1 2 N∉ a N∈ 0a Nb∈ 0b 0a b+  0a b= = +a b 2 1 2x x+ = {1} y x= 3 3y x= 1 1y x x= − × + 2 1y x= − xy x = y x= ( )2 y x= 3 3y x x= = ( )x R∈ y x= ( )x R∈ B 中 ， 定义域不相 同，不是同一函数； C 中 y=1 ， 定义域不相同，不是同一函数； D 中 ， 两个函数的定义域不相同， 对应法则也 不相同，不是同一函数； 故选：A． 【点睛】 本题考查相等函数的定义，相等函数的是“定义域、对应关系、值域”三要素完全相同的 函数． 3．函数 的定义域是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意易得： ,解得： 故定义域为： 故选：C 4．已知 ，则 的值为（ ） A． B．2 C． D．-1 【答案】B 【解析】试题分析： ．故选 B 【考点】分段函数． 5．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 21 1 1y x x x= − × + = − ( )1x ≥ 2 1y x= − ( )1 1x x≥ ≤ −或 ( )x R∈ ( )1 0xy xx = = ≠ y x= ( )x R∈ ( ) ( )2 0y x x x= = ≥ 4 5 xy x −= − { | 5}x x ≠ ± { | 4}x x ≥ { | 4 5 5}x x x≤ 或 { | 4 5}x x< < 4 0 5 0 x x − ≥  − ≠ 4 5 5x x或≤ { | 4 5 5}x x x或≤ ( ) ( ) 1 , 1 01 ,0 1 xf xf x x x  − < < +=   ≤ < 1 2f  −   1 2 1 2 − 1 1 1 1( ) 21 1 12 ( 1) ( )2 2 2 f f f − = = = = − + 2 3 4y x x= − − [0, ]m 25[ , 4]4 − − m (0,4] 3[ ,4]2 3[ ,3]2 3[ , )2 +∞ 【解析】根据二次函数图象可得 的取值范围. 【详解】 因为当 时 ，当 时 或 ，因此 的取值 范围是 . 【点睛】 本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题. 6．已知角 的终边经过点 ，则角 的最小正值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：根据三角函数的定义，知道 而且点 位于第四象限，所以最小正角为 . 【考点】本小题考查了三角函数的定义的应用. 点评：计算出 还要注意到点 位于第四象限. 7．已知 ，且 为第二象限角，那么 的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 且 是第二象限的角， ∴ ，∴ ，故选 C. m 3 2x = 25 4y = − 0y = 24 3 4, 0x x x− = − − = 3x = m 3[ ,3]2 α ( )3, 1− α 2 3 π 11 6 π 5 6 π 3 4 π 1 1sin ,23 1 α −= = − + ( )3, 1− 11 6 π 1sin ,2 α = − ( )3, 1− 8．给出下列各函数值：① ；② ；③ ； ④ . 其中符号为负的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】利用诱导公式分别对四个特设条件进行化简整理，进而根据三角函数的性质判 断正负． 【详解】 sin（﹣1000°）=sin（﹣2×360°﹣280°）=﹣sin280°=cos10°＞0， cos（﹣2200°）=cos（﹣6×360°﹣40°）=cos40°＞0， tan（﹣10）=﹣tan（3π+0.58）=﹣tan（0.58）＜0 =﹣ = ＞0 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了运用诱导公式化简求值．解题时应正确把握好函数值正负号的判定． 9．设点 A（2，0），B（4，2），若点 P 在直线 AB 上，且 ，则点 P 的坐标 为（ ） A．（3，1） B．（1，﹣1） C．（3，-1）或（-1，1） D．（3，1）或（1，﹣1） 【答案】C 【解析】根据已知求出向量 的坐标，进而根据 ，可求出向量 的 坐标，进而求出点 的坐标． 【详解】 解： ， ，∴ ， 点 在直线 上，且 ，∴ ，或 ， 故 ，或 ，故 点坐标为 或 ， 故选：C． 【点睛】 0sin( 1000 )− 0cos( 2200 )− tan( 10)− 7sin cos10 17tan 9 π π π 7 10 17 9 sin cos tan π π π 7 10 9 sin tan π π− 7 10 9 sin tan π π 2AB AP=  AB | | 2 | |AB AP=  AP P (2,0)A (4,2)B (2,2)AB =  P AB | | 2 | |AB AP=  2AB AP=  2AB AP= −  (1,1)AP = ( 1, 1)AP = − − P (3,1) (1, 1)− 本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的 差是解答的关键． 10．已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 ( ) A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】试题分析： , ,所以 . 【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系. 11．若 ，则函数 的两个 零点分别位于区间（ ） A． 和 内 B． 和 内 C． 和 内 D． 和 内 【答案】A 【解析】试题分析： ，所以 有 零点，排除 B，D 选项.当 时， 恒成立，没有零点，排除 C，故选 A.另 外 ，也可知 内有零点. 【考点】零点与二分法. 【思路点晴】如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 · ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 使得 ，这个 也就是方程 的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不 唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数 在闭区间 上有零点不 一定能推出 · ，如图所示.所以 · 是 在闭区间 上有零点的充分不必要条件. 12．已知方程 9x﹣2•3x+3k﹣1＝0 有两个实根，则实数 k 的取值范围为（ ） A．[ ，1] B．（ ， ] C．[ ，+∞） D．[1，+∞） a b 060 3a b+ = 10 ( )2 2 23 3 6 9a b a b a a b b+ = + = + ⋅ +       a b c< < ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − − ( , )a b ( , )b c ( , )a−∞ ( , )a b ( , )b c ( , )c +∞ ( , )a−∞ ( , )c +∞ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0, 0f b b c b a f c c a c b= − − = − − ( , )b c x c> ( ) 0f x > ( ) ( )( ) 0f a a b a c= − − > ( , )a b ( , )a b ( , )c a b∈ [ ],a b [ ],a b 2 3 1 3 2 3 2 3 【答案】B 【解析】将指数方程的解的问题，转化为二次方程的区间根的问题，即方程 有两个实根可转化为 有两个正根，结合韦达定理有 ，求解即可． 【详解】 解：设 ，则 ，则原方程有两个实根可转化为 有两个正根， 则有 ，解得： ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了指数方程的解的问题，转化为二次方程的区间根的问题求解即可，属简单 题． 二、填空题 13．若 且 ，则 . 【答案】-2,2,0 【解析】【详解】 由 ,得 ， 则 或 ， ∴x=﹣2，x=2，x=0，x=1（违反互异性，舍去）， 故答案为﹣2，2，0. 点评： 本题主要考查集合的子集运算，及集合元素的互异性． 14．已知 ，则 在 上的投影为 ． 【答案】 【解析】试题分析：根据向量投影的概念， 在 上的投影 ． 【考点】向量的投影 9 2 3 3 1 0x x k− + − = 2 2 3 1 0t t k− + − = 4 4(3 1) 0 3 1 0 k k − −  − >  3xt = 0t > 2 2 3 1 0t t k− + − = 4 4(3 1) 0 3 1 0 k k ∆ = − −  − >  1 2 3 3k<  { } { }21,4, , 1,A x B x= = A B B= x = A B B=  B A∴ ⊆ 2 4x = 2x x= ( ) ( )2,3 , 4,7a b= − a b 65 5 a b ( ) ( )22 2 4 3 7 65 54 7 a b b × − + ×⋅= = = + −   15．一次函数 是减函数，且满足 ，则 ． 【答案】－2x＋1 【解析】由一次函数 f(x)是减函数，可设 f(x)＝kx＋b(k<0)． 则 f[f(x)]＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b， ∵f[f(x)]＝4x－1， ∴f(x)＝－2x＋1. 16．直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是 . 【答案】(1, 【解析】【详解】 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如 图，在同一直角坐标系内画出直线 与曲线 ，由图可知，a 的取值必 须满足 解得 . 三、解答题 17．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ 为常数，A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象如 图所示． ( )f x [ ]( ) 4 1f f x x= − ( )f x = 1y = a 5)4 1y = 1 { ,4 1 14 a a > − < 51 4a< < （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求 f（ ）的值． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】（1）根据图象的最高点坐标，最高点横坐标与零点距离等求出 ， ， ， 即可得解； （2）利用（1）的解析式代入求值即可得解． 【详解】 解：（1）由图象可知 ，并且 ，所以 ， 又 ，即 ， 可得 ， ，可得 ， ， 又因为： ，所以可得 ，所以 ； （2）由（1）得到 ． 【点睛】 本题考查了三角函数的图象以及性质；关键是熟练掌握正弦函数的图象和性质，属于基 础题． 18．已知 ，求： （1） 的最小正周期及对称轴方程； （2） 的单调递增区间； （3）若方程 在 上有解，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1）最小正周期 ，对称轴方程为 ， ；（2） ， ， ；（3） ． 【解析】（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论； 5 3 π− ( ) 2sin(2 )6f x x π= + 5( ) 13f π− = A ϕ ω 2A = 4 11( )3 12 6T π π π= − = 2ω = ( ) 2sin( ) 26 3f π π ϕ= + = sin( ) 13 π ϕ+ = 23 2k π πϕ π+ = + k Z∈ 2 6k πϕ π= + k Z∈ 0 ϕ π  6 π=ϕ ( ) 2sin(2 )6f x x π= + 5( )3f π− = 102sin( )3 6 π π− + 10 122sin( )3 3 6 π π π= − + + 52sin 6 π= 2sin 16 π= = 2( ) sin(2 ) 22 4f x x π= − + + ( )f x ( )f x ( ) 1 0f x m− + = [0, ]2x π∈ T π= 2 8 kx π π= + k Z∈ [ 8k ππ + 5 ]8k ππ + k Z∈ 2 7[3 , ]2 2m∈ − （2）求出 的减区间，即为 的单调递增区间，再利用正弦函数的 单调性得出结论； （3）由题意可得函数 的图象和直线 在 ， 上有交点，根据正弦 函数的定义域和值域求出 的值域，可得 的范围． 【详解】 解：（1）由于 ，它的最小正周期 ， 令 ，求得 ， ， 故函数 的对称轴方程为 ， ； （2）令 ，求得 ， ∴函数 的增区间为 ， ， ； （3）若方程 在 ， 上有解， 则函数 的图象和直线 在 ， 上有交点． ∵ ，∴ ，则 ， ， 故 ，∴ ． 【点睛】 本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的 定义域和值域，属于中档题． 19．已知 ΔABC 三个顶点坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)． （1）若 ,求 c 的值； （2）若 C=5，求 sin∠A 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】试题分析：(1)用坐标表示点,代入 求解；(2)已知三角形的三边,则 先求出 ,再求出 . 试题解析：解(1) 由 可得 ，解得 sin(2 )4y x π= + ( )f x ( )f x 1y m= − [0x∈ ]2 π ( )f x m 2( ) sin(2 ) 22 4f x x π= − + + 2 2T π π= = 2 4 2x k π ππ+ = + 2 8 kx π π= + k Z∈ ( )f x 2 8 kx π π= + k Z∈ 32 2 22 4 2k x k π π ππ π+ + +  5 8 8k x k π ππ π+ +  ( )f x [ 8k ππ + 5 ]8k ππ + k Z∈ ( ) 1 0f x m− + = [0x∈ ]2 π ( )f x 1y m= − [0x∈ ]2 π [0, ]2x π∈ 52 [ , ]4 4 4x π π π+ ∈ 2sin(2 ) [ ,1]4 2x π+ ∈ − 2 5( ) [2 , ]2 2f x ∈ − 2 51 [2 , ]2 2m − ∈ − 2 7[3 , ]2 2m∈ − 0AB AC⋅ =  25 3c = 2 5sin 5A = 0AB AC⋅ =  cos A sin A ( 3, 4), ( 3, 4)AB AC c= − − = − −  0AB AC⋅ =  3( 3) 16 0c− − + = 25 3c = (2)当 时,可得 , ΔABC 为等腰三角形 过 作 交 于 ,可求得 故 (其它方法如①利用数量积 求出 进而求 ;) 【考点】1、解三角形；2、向量垂直． 20．已知| |＝1， ， ． （1）求向量 与 的夹角 θ； （2）求| |． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）根据平面向量的数量积运算与夹角公式，计算即可； （2）根据平面向量的模长公式，计算即可． 【详解】 解：（1） ，∴ ，即 ， ， ， ； ， 又 ， ， ； （2） ， ． 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积的运算与夹角、模长的计算问题，是基础题． 21．已知 ，函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求 的取值范围； 5c = 5, 2 5, 5AB AC BC= = = B BD AC⊥ AC D 2 5BD = 2 5sin 5 BDA AB = = AB AC⋅  cos A sin A a 1 2a b =  ( ) ( ) 1 2a b a b− + =    a b a b+  4 πθ = 10| | 2a b+ = 1( ) ( ) 2a b a b− + =    2 2 1 2a b− = 2 2 1| | | | 2a b− = | | 1a = 2 1| | 2b∴ = 2| | 2b∴ = 1 22cos 2| | | | 21 2 a b a b θ∴ = = = × ×   [0θ ∈ ]π 4 πθ∴ = 2 2 2| | 2a b a a b b+ = + +     1 11 2 2 2 = + × + 5 2 = 5 10| | 2 2a b∴ + = = a R∈ ( ) 2 1logf x ax  = +   5a = ( ) 0f x > x ( ) ( )2log 4 2 5 0f x a x a − − + − =  a （3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值 的差不超过 1，求 的取值范围. 【答案】（1） ．（2） ．（3） ． 【解析】【详解】试题分析：（1）当 时，解对数不等式即可；（2）根据对数的 运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论 的取值范围进行求解即可；（3）根 据条件得到 ，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调 性进行求解即可. 试题解析：（1）由 ，得 ，解得 ． （2）由 f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 得 log2（ a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5] ＝0． 即 log2（ a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]， 即 a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，① 则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0， 即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②， 当 a＝4 时，方程②的解为 x＝﹣1，代入①，成立 当 a＝3 时，方程②的解为 x＝﹣1，代入①，成立 当 a≠4 且 a≠3 时，方程②的解为 x＝﹣1 或 x ， 若 x＝﹣1 是方程①的解，则 a＝a﹣1＞0，即 a＞1， 若 x 是方程①的解，则 a＝2a﹣4＞0，即 a＞2， 则要使方程①有且仅有一个解，则 1＜a≤2． 综上，若方程 f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 的解集中恰好有一个元素， 则 a 的取值范围是 1＜a≤2，或 a＝3 或 a＝4． （3）函数 f（x）在区间[t，t+1]上单调递减， 由题意得 f（t）﹣f（t+1）≤1， 即 log2（ a）﹣log2（ a）≤1， 0a > 1 ,12t  ∈   ( )f x [ ], 1t t + a ( )1, 0,4x  ∈ −∞ − ∪ +∞   ( ] { }1,2 3,4 2 ,3  +∞  5a = a 1 1f t f t− + ≤（ ） （ ） 2 1log 5 0x ＞ +   1 5 1x + ＞ ( )1, 0,4x  ∈ −∞ − ∪ +∞   1 x + 1 x + 1 x + 1 4a = − 1 x + 1 4a = − 1 x + 1 t + 1 1t ++ 即 a≤2（ a），即 a 设 1﹣t＝r，则 0≤r ， ， 当 r＝0 时， 0， 当 0＜r 时， ， ∵y＝r 在（0， ）上递减， ∴r ， ∴ ， ∴实数 a 的取值范围是 a ． 【一题多解】 （3）还可采用：当 时， ， ， 所以 在 上单调递减． 则函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ． 即 ，对任意 成立． 因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时， 有最小值 ，由 ，得 ． 故 的取值范围为 ． 1 t + 1 1t ++ ( ) 1 2 1 1 1 t t t t t −≥ − =+ + 1 2 ≤ ( ) ( )( ) 2 1 1 1 2 3 2 t r r t t r r r r − = =+ − − − + 2 3 2 r r r =− + 1 2 ≤ 2 1 23 2 3 r r r r r =− + + − 2 r + 2 2 1 942 2r + ≥ + = 2 1 1 2 2 93 2 33 32 r r r r r = ≤ =− + + − − 2 3 ≥ 1 20 x x＜ ＜ 1 2 1 1a ax x + +＞ 2 2 1 2 1 1log loga ax x ＞    + +        ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x [ ], 1t t + ( )f t ( )1f t + ( ) ( ) 2 2 1 11 log log 11f t f t a at t    − + = + − + ≤   +    ( )2 1 1 0at a t+ + − ≥ 1 ,12t  ∈   0a＞ ( )2 1 1y at a t= + + − 1 ,12      1 2t = y 3 1 4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2 3a ≥ a 2 ,3  +∞  22．已知函数 f（x） ． （1）求函数 f（x）在区间[0，2]上的最值； （2）若关于 x 的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0 在区间（1，4）内有两个不等实根，求实 数 a 的取值范围． 【答案】（1）最小值为 2，最大值为 3；（2） ． 【解析】（1）利用换元法令 ， ， ，从而化为 ，从而求闭区 间上的最值； （2）当 时，可化方程为 ，从而作函数 在 上的 图象，结合图象求解即可． 【详解】 解：（1）令 ， ，则 ， 故 ， 由对勾函数的性质可知， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 且 ， ， ， 故函数 在区间 上的最小值为 2，最大值为 3； （2）∵ ，∴ ，故 ， 作函数 在 上的图象如下， ， ∴ ， ， ， 故结合图象可知，当 时， 关于 的方程 在区间 内有两个不等实根， 故实数 的取值范围为 ． 2 3 1 x x += + ( )2 3,4 1t x= + [1t ∈ 3] 4 2y t t = + − (1,4)x∈ 2 3 3xa xx x += = + 3y x x = + (1,4) 1t x= + [1,3]t ∈ 1x t= − 2 3( ) 1 xy f x x += = + 2( 1) 3t t − += 4 2t t = + − 4( ) 2y g t t t = = + − [1,2] [2,3] (1) 1 4 2 3g = + − = (2) 2 2 2 2g = + − = 4 7(3) 3 23 3g = + − = ( )f x [0,2] ( 1) ( ) 0x f x ax+ − = 2( 3) 0x ax+ − = 2 3 3xa xx x += = + 3( )h x x x = + (1,4) 3( 3) 2 3minh x = + = (1) 1 3 4h = + = 3(4) 4 44h = + > 2 3 4a< < x ( 1) ( ) 0x f x ax+ − = (1,4) a ( )2 3,4 【点睛】 本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用，属于中档题．