【数学】2019届一轮全国通用版（文）第35讲合情推理与演绎推理学案

【数学】2019届一轮全国通用版（文）第35讲合情推理与演绎推理学案

第35讲　合情推理与演绎推理 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，9‎ ‎2016·北京卷，8‎ ‎2015·江苏卷，11‎ ‎2015·福建卷，15‎ 合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、；立体几何、数列等问题中的证明来考查.‎ 分值：5分 ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的！！！！__全部对象__####都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．‎ ‎②特点：是由！！！！__部分__####到！！！！__整体__####、由！！！！__个别__####到！！！！__一般__####的推理．‎ ‎(2)类比推理 ‎①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有！！！！__这些特征__####的推理．‎ ‎②特点：是由！！！！__特殊__####到！！！！__特殊__####的推理．‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由！！！！__一般__####到！！！！__特殊__####的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的！！！！__一般原理__####.‎ ‎②小前提——所研究的！！！！__特殊情况__####.‎ ‎③结论——根据一般原理，对！！！！__特殊情况__####做出的判断．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“?”)．‎ ‎(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　×　)‎ ‎(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)‎ ‎(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)‎ ‎(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)‎ 解析　(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．‎ ‎(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．‎ ‎(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ ‎2．有段时间流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，因为(　C　)‎ A．大前提错误　　 B．小前提错误 C．推理形式错误　　 D．非以上错误 解析　推理形式不符合三段论推理的形式，三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C．‎ ‎3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(　B　)‎ A．28　　 B．‎32　‎　 C．33　　 D．27‎ 解析　由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，‎ 可知x－20＝12，因此x＝32.‎ ‎4．给出下列三个类比结论：‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；‎ ‎②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；‎ ‎③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ 其中结论正确的个数为(　B　)‎ A．0　　 B．‎1　‎　 C．2　　 D．3‎ 解析　只有③正确．‎ ‎5．观察下列不等式：‎ ‎1＋＜，‎ ‎1＋＋＜，‎ ‎1＋＋＋＜，‎ ‎1＋＋＋＋＜，‎ ‎…‎ 按此规律，第五个不等式为！！！！　1＋＋＋＋＋<　####.‎ 解析　1＋<＝，‎ ‎1＋＋<＝，‎ ‎1＋＋＋<＝＝，‎ ‎1＋＋＋＋<＝＝，‎ 照此规律可以得到1＋＋＋＋＋<＝.‎ 所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.‎ 一　类比推理 ‎(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．‎ ‎【例1】 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则dn的表达式应为(　D　)‎ A．dn＝　　　　 B．dn＝ C．dn＝　　　　 D．dn＝ ‎(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为！！！！__1∶8__####.‎ 解析　(1)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，‎ ‎∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；‎ 若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，‎ ‎∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列．故选D．‎ ‎(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.‎ 二　归纳推理 归纳推理中几种问题的处理技巧 ‎(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．‎ ‎(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．‎ ‎(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎【例2】 观察下列等式：‎ ‎12＝1，‎ ‎12－22＝－3，‎ ‎12－22＋32＝6，‎ ‎12－22＋32－42＝－10，‎ ‎…‎ 依此规律，第n个等式可为！！！！__12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·__####.‎ 解析　第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·.‎ ‎【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有！！！！__28__####个小正方形．‎ 解析　第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．‎ 故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28，‎ 即第6个图中有28个小正方形．‎ 三　演绎推理 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若大前提是显然的，则可以省略．‎ ‎【例4】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n∈N*)，证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明　 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，‎ ‎∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝‎4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎1．有下列各式：1＋＋＞1,1＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为！！！！__1＋＋＋…＋>(n∈N*)__####.‎ 解析　观察前三个不等式，发现其左边最后一项的分母分别为3,7,15，故可猜想第n个式子中应有2n＋1－1项，不等式右侧分别写成，，，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋＋＋…＋>(n∈N*)．‎ ‎2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为！！！！__6n＋2__####.‎ ‎　…‎ 解析　由题意知，图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n个“金鱼”图需要(2＋6n)根火柴棒．‎ ‎3．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则！！！！__cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2__####.‎ 解析　设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C‎1AC，记为α，AC1与平面A1D1DA所成的角记为β，AC1与平面A1B1BA所成的角记为γ，‎ 所以cos2α＝＝，‎ 同理cos2β＝，‎ cos2γ＝，‎ 所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.‎ ‎4．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝！！！！__2 018__####.‎ 解析　利用三段论．‎ 因为f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，(大前提)‎ 令b＝1，则＝f(1)＝2，(小前提)‎ 所以＝＝…＝＝2.(结论)‎ 易错点　类比不当 错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．‎ ‎【例1】 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．‎ 解析　如图(1)所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，‎ AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，‎ ‎∴＝ ‎＝＝.‎ 又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋，‎ ‎∴＝＋.‎ 在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，‎ 则＝＋＋.‎ 证明如下：如图(2)，连接BE交CD于点F，连接AF.‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.‎ 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.‎ 在Rt△ACD中，AF⊥CD，＝＋.‎ ‎∴＝＋＋.‎ ‎【跟踪训练1】 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　A　)‎ A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ 解析　如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.‎ 课时达标　第35讲 ‎[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　B　)‎ A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 解析　对于A项，小前提与结论颠倒，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项，大小前提颠倒；对于D项，大小前提以及结论颠倒．故选B．‎ ‎2．请仔细观察1,1,2,3,5，(　)，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(　A　)‎ A．8　　 B．‎9　‎　 C．10　　 D．11‎ 解析　观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A．‎ ‎3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：‎ ‎①2 018∈[3]；‎ ‎②－2∈[2]；‎ ‎③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；‎ ‎④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．‎ 其中正确结论的个数为(　C　)‎ A．1　　 B．‎2　‎　　　 C．3　　 D．4‎ 解析　因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个．故选C．‎ ‎4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　D　)‎ A．f(x)　　 B．－f(x) C．g(x)　　 D．－g(x)‎ 解析　由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．‎ ‎∵f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．‎ ‎∴g(－x)＝－g(x)．‎ ‎5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则(　D　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 解析　依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好，则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚了自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．‎ ‎6．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：‎ a1·a2＝log23·log34＝·＝2；‎ a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；….‎ 若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 019时，“企盼数”k为(　C　)‎ A．22 019 ＋2　　 B．22 ‎019 ‎C．22 019－2　　 D．22 019－4‎ 解析　a1·a2·a3·…·ak＝＝2 019，lg(k＋2)＝lg 22 019，故k＝22 019－2.‎ 二、填空题 ‎7．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据上述规律，第n个不等式应该为！！！！__1＋＋＋…＋＜__####.‎ 解析　不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋＋…＋，不等式的右边为，所以第n个不等式应该为1＋＋＋…＋＜.‎ ‎8．观察下列等式：‎ ‎1＝1；‎ ‎2＋3＋4＝9；‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝25；‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49；‎ ‎…‎ 照此规律，第n个等式为！！！！　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2　####.‎ 解析　观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；……；第n个等式左边是2n－1个数相加，从n开始．等式的右边为左边2n－1个数的中间数的平方，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.‎ ‎9．设等差数列{an}的前n项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则！！！！　T4，，，　####成等比数列．‎ 解析　利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．‎ 三、解答题 ‎10．设f(x)＝ ，g(x)＝ (其中a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)由5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；‎ ‎(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．‎ 解析　(1)由于f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝·＋·＝，‎ 又g(5)＝，‎ 因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．‎ ‎(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，‎ 即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，‎ 于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．‎ 证明：因为f(x)＝，g(x)＝，‎ 所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝，‎ 所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·＝＝g(x＋y)．‎ ‎11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.‎ ‎(1)求a18的值；‎ ‎(2)求该数列的前n项和Sn.‎ 解析　(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.‎ ‎(2)当n为偶数时，‎ Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)‎ ‎＝2＋2＋…＋＋3＋3＋…＋ ‎＝n.‎ 当n为奇数时，‎ Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.‎ 综上所述，Sn＝ ‎12．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，解决下列问题．‎ ‎(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋…＋f.‎ 解析　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×3－×2＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎…‎ f＋f＝2，‎ 所以f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 016＝2 016.‎