常德市2016年中考数学卷

常德市2016年中考数学卷

‎2016年湖南省常德市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．4的平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±D．±2‎ ‎2．下面实数比较大小正确的是（　　）‎ A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3‎ ‎3．如图，已知直线a∥b，∠1=100°，则∠2等于（　　）‎ A．80° B．60° C．100° D．70°‎ ‎4．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列说法正确的是（　　）‎ A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 ‎6．若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）‎ A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 ‎　‎ 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．使代数式有意义的x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎10．计算：a2•a3=　　　　　　．‎ ‎11．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为　　　　　　．‎ ‎12．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式　　　　　　．‎ ‎13．张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是　　　　　　．‎ ‎14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是　　　　　　．‎ ‎15．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=　　　　　　．‎ ‎16．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）‎ ‎17．计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．‎ ‎18．解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．‎ ‎．‎ ‎　‎ 四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分）‎ ‎19．先化简，再求值：（），其中x=2．‎ ‎20．如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．‎ ‎　‎ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎21．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．‎ ‎（1）这两次各购进这种衬衫多少件？‎ ‎（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？‎ ‎22．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？‎ ‎（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732， =1.732， =1.414）‎ ‎　‎ 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎23．今年元月，国内一家网络诈骗举报平台发布了《2015年网络诈骗趋势研究报告》，根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：‎ ‎（1）该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例？‎ ‎（2）2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元？（保留三个有效数字）‎ ‎（3）2015年每例诈骗的损失年增长率是多少？‎ ‎（4）为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？‎ ‎24．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．‎ ‎　‎ 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．‎ ‎（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；‎ ‎（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．‎ ‎26．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；‎ ‎（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．4的平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±D．±2‎ ‎【考点】平方根．‎ ‎【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：4的平方根是：±=±2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．下面实数比较大小正确的是（　　）‎ A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3‎ ‎【考点】实数大小比较．‎ ‎【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：A、3＜7，故本选项错误；‎ B、∵≈1.7，≈1.4，∴＞，故本选项正确；‎ C、0＞﹣2，故本选项错误；‎ D、22＞3，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．如图，已知直线a∥b，∠1=100°，则∠2等于（　　）‎ A．80° B．60° C．100° D．70°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】先根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，∵∠1与∠3是对顶角，‎ ‎∴∠3=∠1=100°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ ‎【解答】解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．下列说法正确的是（　　）‎ A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 ‎【考点】概率的意义．‎ ‎【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，故本选项错误；‎ B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；‎ C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；‎ D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】同类项．‎ ‎【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解．‎ ‎【解答】解：∵﹣x3ya与xby是同类项，‎ ‎∴a=1，b=3，‎ 则a+b=1+3=4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．‎ ‎【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，‎ ‎∴a＜0，c＞0，故②正确；‎ ‎∵0＜﹣＜1，‎ ‎∴b＞0，故①错误；‎ 当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，‎ ‎∴a+c＜b，故③正确；‎ ‎∵二次函数与x轴有两个交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确 正确的有3个，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）‎ A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；列方程组解出即可．‎ ‎【解答】解：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，‎ 根据题意得：‎ ‎①+②得：2y=22‎ y=11‎ 所以一共有11天，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．使代数式有意义的x的取值范围是　x≥3　．‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．‎ ‎【解答】解：∵代数式有意义，‎ ‎∴2x﹣6≥0，‎ 解得：x≥3．‎ 故答案为：x≥3．‎ ‎　‎ ‎10．计算：a2•a3=　a5　．‎ ‎【考点】同底数幂的乘法．‎ ‎【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．‎ ‎【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．‎ 故答案为：a5．‎ ‎　‎ ‎11．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为　3　．‎ ‎【考点】角平分线的性质．‎ ‎【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得解．‎ ‎【解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，‎ ‎∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，‎ ‎∴PD=PC，‎ ‎∵PC=3，‎ ‎∴PD=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎12．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式　y=﹣　．‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性质即可得出k＜0，随便写出一个小于0的k值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，‎ ‎∴k＜0．‎ 故答案为：y=﹣．‎ ‎　‎ ‎13．张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是　18　．‎ ‎【考点】中位数．‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．‎ ‎【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：16，16，18，18，18，18，19，19，21，21．‎ 位于最中间的两个数都是18，‎ 所以这组数据的中位数是18．‎ 故答案为：18．‎ ‎　‎ ‎14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是　3π　．‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠C=60°，‎ 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，‎ ‎∴阴影部分的面积是=3π，‎ 故答案为：3π．‎ ‎　‎ ‎15．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=　55°　．‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠C，‎ 由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，‎ ‎∴∠D1AE=∠BAD，‎ ‎∴∠D1AD=∠BAE=55°；‎ 故答案为：55°．‎ ‎　‎ ‎16．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是　（1，8）　．‎ ‎【考点】点的坐标．‎ ‎【分析】先根据以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，判断点C为点A、B的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．‎ ‎【解答】解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”‎ ‎∴点C的坐标为（2﹣1，5+3），即C（1，8）‎ 故答案为：（1，8）‎ ‎　‎ 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）‎ ‎17．计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0‎ ‎=﹣1+2×+4﹣1‎ ‎=﹣1+3+3‎ ‎=5‎ ‎　‎ ‎18．解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．‎ ‎．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x≥﹣，‎ 由②得：x＜4，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣≤x＜4，‎ ‎　‎ 四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分）‎ ‎19．先化简，再求值：（），其中x=2．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=[+]÷[﹣]‎ ‎=÷‎ ‎=÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当x=2时，原式==．‎ ‎　‎ ‎20．如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得出方程组，解方程组即可；求出点C的坐标，设反比例函数的解析式为y=，把C（4，3）代入y=求出m即可．‎ ‎【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣2，0），B（0，1）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴一次函数的解析式为y=x+1；‎ 设反比例函数的解析式为y=，‎ 把C（4，n）代入得：n=3，‎ ‎∴C（4，3），‎ 把C（4，3）代入y=得：m=3×4=12，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎　‎ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎21．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．‎ ‎（1）这两次各购进这种衬衫多少件？‎ ‎（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？‎ ‎【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．‎ ‎【分析】（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，再根据等量关系：第二批进的件数=×第一批进的件数可得方程；‎ ‎（2）设第二批衬衫每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，可列不等式求解．‎ ‎【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，根据题意可得：，‎ 解得：x=150，‎ 经检验x=150是原方程的解，‎ 答：第一批T恤衫每件进价是150元，第二批每件进价是140元，‎ ‎（件），（件），‎ 答：第一批T恤衫进了30件，第二批进了15件；‎ ‎（2）设第二批衬衫每件售价y元，根据题意可得：‎ ‎30×+15（y﹣140）≥1950，‎ 解得：y≥170，‎ 答：第二批衬衫每件至少要售170元．‎ ‎　‎ ‎22．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？‎ ‎（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732， =1.732， =1.414）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．‎ ‎【解答】解：过B作BD⊥AC，‎ ‎∵∠BAC=75°﹣30°=45°，‎ ‎∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，‎ 由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），‎ 在Rt△BCD中，∠C=25°，∠CBD=75°，‎ ‎∴tan∠CBD=，即CD=10×3.732=52.77048，‎ 则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．‎ ‎　‎ 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎23．今年元月，国内一家网络诈骗举报平台发布了《2015年网络诈骗趋势研究报告》，根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：‎ ‎（1）该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例？‎ ‎（2）2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元？（保留三个有效数字）‎ ‎（3）2015年每例诈骗的损失年增长率是多少？‎ ‎（4）为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？‎ ‎【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图；折线统计图．‎ ‎【分析】（1）利用条形统计图求解；‎ ‎（2）利用2015年每例诈骗的损失乘以2015年收到网络诈骗举报的数量即可；‎ ‎（3）用2015年每例诈骗的损失减去2014年每例诈骗的损失，然后用其差除以2014年每例诈骗的损失即可；（4）画树状图（用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁）展示所有12种等可能的结果数，再找出选中甲、乙两人的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）该平台2015年共收到网络诈骗举报24886例；‎ ‎（2）2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是24886×5.106≈1.27亿元；‎ ‎（3）2015年每例诈骗的损失年增长率=÷2070=147%；‎ ‎（4）画树状图为：（用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁）‎ 共有12种等可能的结果数，其中选中甲、乙两人的结果数为2，‎ 所以恰好选中甲、乙两人的概率==．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．‎ ‎【考点】切线的判定；三角形的外接圆与外心．‎ ‎【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；‎ ‎（2）利用三角形的中位线先求出OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径R，最后用切割线定理即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 连接OB，∵BD=BC，‎ ‎∴∠CAB=∠BAD，‎ ‎∵∠EBD=∠CAB，‎ ‎∴∠BAD=∠EBD，‎ ‎∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABD=90°，OA=BO，‎ ‎∴∠BAD=∠ABO，‎ ‎∴∠EBD=∠ABO，‎ ‎∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，‎ ‎∵点B在⊙O上，‎ ‎∴BE是⊙O的切线，‎ ‎（2）如图2，‎ 设圆的半径为R，连接CD，‎ ‎∵AD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACCD=90°，‎ ‎∵BC=BD，‎ ‎∴OB⊥CD，‎ ‎∴OB∥AC，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴OF=AC=，‎ ‎∵四边形ACBD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠BDE=∠ACB，‎ ‎∵∠DBE=∠ACB，‎ ‎∴△DBE∽△CAB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=，‎ ‎∵∠OBE=∠OFD=90°，‎ ‎∴DF∥BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵R＞0，‎ ‎∴R=3，‎ ‎∵BE是⊙O的切线，‎ ‎∴BE===．‎ ‎　‎ 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．‎ ‎（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；‎ ‎（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）①利用SAS证全等；‎ ‎②易证得：BC∥FH和CH=HE，根据平行线分线段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位线定理的推论得出结论．‎ ‎（2）作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根据等量代换得AB=AM，根据②同理得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）①如图1，‎ ‎∵AB⊥AD，AE⊥AC，‎ ‎∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎∵‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS）；‎ ‎②如图1，‎ ‎∵△ABC≌△ADE，‎ ‎∴∠AEC=∠3，‎ 在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，‎ ‎∴∠BCE=90°，‎ ‎∵AH⊥CD，AE=AC，‎ ‎∴CH=HE，‎ ‎∵∠AHE=∠BCE=90°，‎ ‎∴BC∥FH，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴BF=EF；‎ ‎（2）结论仍然成立，理由是：‎ 如图2所示，过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，‎ ‎∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠2=∠CAD，‎ ‎∵MN∥AH，‎ ‎∴∠3=∠HAE，‎ ‎∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，‎ ‎∴∠ACH=∠HAE，‎ ‎∴∠3=∠ACH，‎ 在△MAE和△DAC中，‎ ‎∵‎ ‎∴△MAE≌△DAC（ASA），‎ ‎∴AM=AD，‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴AB=AM，‎ ‎∵AF∥ME，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴BF=EF．‎ ‎　‎ ‎26．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；‎ ‎（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；‎ ‎（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB=90°，所以求出直线AH的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；‎ ‎（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m=时，CN有最大值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），‎ 把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），‎ ‎∴a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）当△PBH与△AOC相似时，‎ ‎∴△AOC是直角三角形，‎ ‎∴△PBH也是直角三角形，‎ 由题意知：H（0，2），‎ ‎∴OH=2，‎ ‎∵A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴OA=1，OB=4，‎ ‎∴‎ ‎∵∠AOH=∠BOH，‎ ‎∴△AOH∽△BOH，‎ ‎∴∠AHO=∠HBO，‎ ‎∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，‎ ‎∴∠AHB=90°，‎ 设直线AH的解析式为：y=kx+b，‎ 把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，‎ ‎∴，‎ ‎∴解得，‎ ‎∴直线AH的解析式为：y=2x+2，‎ 联立，‎ 解得：x=1或x=﹣8，‎ 当x=﹣1时，‎ y=0，‎ 当x=8时，‎ y=18‎ ‎∴P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）‎ ‎（3）过点M作MF⊥x轴于点F，‎ 设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，0），‎ ‎∵∠BME=∠BDC，‎ ‎∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，‎ ‎∴∠EMC=∠MBD，‎ ‎∵CD∥x轴，‎ ‎∴D的纵坐标为﹣2，‎ 令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2，‎ ‎∴x=0或x=3，‎ ‎∴D（3，﹣2），‎ ‎∵B（4，0），‎ ‎∴由勾股定理可求得：BD=，‎ ‎∵M（m，0），‎ ‎∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）‎ ‎∴由抛物线的对称性可知：∠NCM=∠BDC，‎ ‎∴△NCM∽△MDB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴CN==﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，CN可取得最大值，‎ ‎∴此时M的坐标为（，﹣2），‎ ‎∴MF=2，BF=，MD=‎ ‎∴由勾股定理可求得：MB=，‎ ‎∵E（n，0），‎ ‎∴EB=4﹣n，‎ ‎∵CD∥x轴，‎ ‎∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，‎ ‎∴△EMB∽△BDM，‎ ‎∴，‎ ‎∴MB2=MD•EB，‎ ‎∴=×（4﹣n），‎ ‎∴n=﹣，‎ ‎∴E的坐标为（﹣，0）．‎ ‎　‎ ‎2016年7月3日