2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8

2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8

8 . 6 . 1 　 直线与直线垂直 课标阐释 思维脉络 1 . 理解异面直线垂直的定义 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解异面直线所成角的 概念 . ( 数学抽象 ) 3 . 会求给定两条异面直线所成的角 . ( 数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 如图所示 , 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 与棱 AA 1 垂直的棱有几条 ? 你是如何断定它们是相互垂直的 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点、异面直线所成的角 ( 或夹角 ) 异面直线所成的角定义 已知两条异面直线 a,b, 经过空间任一点 O 分别作直线 a' ∥ a,b' ∥ b, 我们把直线 a' 与 b' 所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ) 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是 直角 , 那么我们就说这两条异面直线互相垂直 . 直线 a 与直线 b 垂直 , 记作 a ⊥ b 范围 空间两条直线所成的角 α 的取值范围是 0°≤ α ≤90° 激趣诱思 知识点拨 微练习 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , ∠ BAE= 25°, 则异面直线 AE 与 B 1 C 1 所成的角的大小为 　　　　　 .  解析 : ∵ B 1 C 1 ∥ BC , ∴∠ AEB 为异面直线 AE 与 B 1 C 1 所成的角 . ∵∠ BAE= 25°, ∴∠ AEB= 65° . 答案 : 65° 探究 素养形成 当堂检测 求 异面直线所成的角 例题 如图 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别是 A 1 B 1 , B 1 C 1 的中点 , 求异面直线 DB 1 与 EF 所成角的大小 . 分析 先作出角 , 再证明角的两边分别与两异面直线平行 , 最后在三角形中求角 . 探究 素养形成 当堂检测 解 : ( 方法一 ) 如图 ① , 连接 A 1 C 1 , B 1 D 1 , 并设它们相交于点 O , 取 DD 1 的中点 G , 连接 OG , A 1 G , C 1 G , 则 OG ∥ B 1 D , EF ∥ A 1 C 1 . ∴∠ GOA 1 为异面直线 DB 1 与 EF 所成的角或其补角 . ∵ GA 1 =GC 1 , O 为 A 1 C 1 的中点 , ∴ GO ⊥ A 1 C 1 . ∴ 异面直线 DB 1 与 EF 所成的角为 90° . ① 探究 素养形成 当堂检测 ② 探究 素养形成 当堂检测 ( 方法三 ) 如图 ③ , 在原正方体的右侧补上一个全等的正方体 , 连接 B 1 Q , 则 B 1 Q ∥ EF . 于是 ∠ DB 1 Q 为异面直线 DB 1 与 EF 所成的角或其补角 . 通过计算 , 不难得到 : B 1 D 2 +B 1 Q 2 =DQ 2 , 从而异面直线 DB 1 与 EF 所成的角为 90° . 探究 素养形成 当堂检测 反思感悟 异面直线所成角的求解策略 (1) 求两条异面直线所成角的一般步骤是 : ① 构造 : 恰当地选择一个点 ( 线段的端点或中点 ), 用平移法构造异面直线所成的角 ; ② 证明 : 证明 ① 中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角 ; ③ 计算 : 通过解三角形等知识 , 求出 ① 中所构造的角的大小 ; ④ 结论 : 假如所构造的角的大小为 α , 若 0° < α ≤90°, 则 α 即为所求异面直线所成角的大小 ; 若 90° < α < 180°, 则 180° - α 即为所求 . 探究 素养形成 当堂检测 (2) 作出异面直线所成的角 , 可通过多种方法平移产生 , 主要有三种方法 : ① 直接平移法 ( 可利用图中已有的平行线 ); ② 中位线平移法 ; ③ 补形平移法 ( 在已知图形中 , 补作一个相同的几何体 , 以便找到平行线 ) . 探究 素养形成 当堂检测 延伸探究 若把 “ 直线 DB 1 ” 换为 “ 直线 DC 1 ” 呢 ? 解 : 如图 , 连接 A 1 C 1 , A 1 D . 在 △ A 1 B 1 C 1 中 , A 1 E=EB 1 , C 1 F=FB 1 , 所以 EF ∥ A 1 C 1 . 所以 ∠ A 1 C 1 D 为直线 DC 1 与 EF 所成的角 . 在 △ A 1 C 1 D 中 , A 1 D=DC 1 =A 1 C 1 , 所以 ∠ A 1 C 1 D= 60°, 所以直线 DC 1 与 EF 所成的角等于 60° . 探究 素养形成 当堂检测 异面直线的判断 典例 (2019 广东佛山第二中学高二月考 ) 如图所示 , 点 P , Q , R , S 分别在正方体的四条棱上 , 并且是所在棱的中点 , 则直线 PQ 与 RS 是异面直线的图是 ( 　　 ) 探究 素养形成 当堂检测 解析 : A,B 中 , PQ 与 RS 互相平行 ; D 中 , 由于 PR 平行且 等于 SQ , 则四边形 SRPQ 为梯形 , 故 PQ 与 RS 相交 ; C 中 , PQ 与 RS 既不平行 , 又不相交 , 故选 C . 答案 : C 方法点睛 利用异面直线的定义和正方体的性质 , 逐一分析各个图形中的 2 条直线 , 即可把满足条件的图形找出来 . 探究 素养形成 当堂检测 1 . 经过空间一点 P 作与直线 a 成 60° 角的直线 , 这样的直线有 ( 　　 ) A.0 条 B.1 条 C. 有限条 D. 无数条 解析 : 这些直线可以是以 P 为顶点 , 以过点 P 且平行于 a 的直线为轴的圆锥的母线所在的直线 , 有无数条直线 . 答案 : D 探究 素养形成 当堂检测 2 . 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( 　　 ) A. 一定平行 B . 一定相交 C. 一定异面 D . 相交或异面 解析 : 画出图形 , 得到结论 . 如图 ① , 分别与异面直线 a , b 平行的两条直线 c 和 d 是相交关系 . 如图 ② , 分别与异面直线 a , b 平行的两条直线 c 和 d 是异面关系 . 综上可知 , 应选 D . 答案 : D 探究 素养形成 当堂检测 3 . 如图 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 异面直线 AC 和 BC 1 所成角的大小为 ( 　　 ) 解析 : 连接 AD 1 , CD 1 , ∵ BC 1 ∥ AD 1 , ∴∠ D 1 AC 即为异面直线 AC 与 BC 1 所成的角 . 答案 : A 探究 素养形成 当堂检测 4 . (2020 山东潍坊月考 ) 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 异面直线 B 1 D 1 与 CD 所成角的大小 是 　　　 .  解析 : 如图 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , ∵ C 1 D 1 ∥ CD , ∴∠ B 1 D 1 C 1 即为异面直线 B 1 D 1 与 CD 所成的角 . ∵△ B 1 D 1 C 1 为等腰直角三角形 , ∴∠ B 1 D 1 C 1 = 45° . 答案 : 45°