人教版初一数学上学期 第四章检测卷

人教版初一数学上学期 第四章检测卷

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期第四章 几何图形初步章末检测卷 注意事项：‎ 本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．（2020·浙江省初一期末）图中有4根绳子，在绳的两端用力拉，有一根绳子是能打成结的，请问是哪一根？( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】假定固定绳子的一头，拉起绳子的另一头，顺着绳子观察，想象是否会出现打结的情况．‎ ‎【解析】解：由分析逐一验证，会发现B选项会出现打结的情况．故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，注意B和C的不同．‎ ‎2．（2019·河北邢台初三三模）在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这样做的依据是( )‎ A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三点确定一条直线 D．四点确定一条直线 ‎【答案】B ‎【分析】根据直线的性质进行判断即可.‎ ‎【解析】在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这说明了两点确定一条直线，故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.‎ ‎3．（2019·江苏省初三二模）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．‎ ‎【解析】选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．‎ ‎【点睛】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．‎ ‎4．（2020·山东单县·初一期末）则与的关系是（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【分析】首先统一单位，利用1°=60′，则∠α=40.4°=40°24′，再进一步与∠β比较得出答案即可．‎ ‎【解析】∵∠α=40.4°=40°24′，∠β=40°4′，∴∠α＞∠β．故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了角的大小比较的方法以及度分秒之间的换算．在比较角的大小时有时可把度化为分来进行比较．‎ ‎5．（2020·偃师市实验中学初一月考）下面说法:①若线段AC=BC,则C是线段AB的中点;②两点之间,直线最短;③延长直线AB;④若一个角既有余角又有补角,则它的补角一定比它的余角大.其中正确的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【分析】根据两点间的距离，中点的定义及余角和补角的知识进行各选项的判断即可．‎ ‎【解析】①如图，AC=BC，但C不是线段AB的中点，故①不正确；‎ ‎②两点之间线段最短，故②不正确；③直线向两边无限延伸，不能延长，故③不正确；‎ ‎④一个角有余角，说明这个角是锐角，所以它的补角一定比它的余角大，故④正确．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了两点间的距离、直线及余角和补角的知识，解答本题需要同学们熟练掌握基本知识．‎ ‎6．（2020·全国初一课时练习）如图，，以为边作，使，那么下列说法正确的是（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据∠BOC的位置，以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°有两种情况： ①当∠BOC的一边OA在∠AOB内部时，则∠AOB=∠AOC; ②当∠BOC的一边OB在∠AOC内部时，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=3∠AOB．故选：B.‎ 点睛：此题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握，此题采用分类讨论的思想，难度不大，属于基础题.‎ ‎7．（2020·浙江省初一期末）如图，一个正方体有盖盒子（可密封）里装入六分之一高度的水，改变正方体盒子的放置方式，下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是（ ）‎ A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．三棱锥 ‎【答案】A ‎【分析】根据正方体的特征求解即可．‎ ‎【解析】解：根据题意可知，盒子里的水能形成的几何体是长方体、三棱柱，三棱锥，不可能是正方体．‎ 故答案为A．‎ ‎【点睛】考查了认识立体图形，掌握正方体的特征和良好的空间想象能力是解答本题的关键．‎ ‎8．（2020·淄博市淄川区城南镇第一中学初一期中）岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：根据文字语言，画出示意图，如下：故选D．‎ ‎【点睛】本题考查方向角的概念，掌握概念正确作图是解题关键．‎ ‎9．（2020·深圳市高级中学初一期末）已知线段AB=10cm，在直线AB上取一点C，使AC=16cm，则线段AB的中点与AC的中点的距离为( )‎ A．13cm或26cm B．6cm或13cm C．6cm或25cm D．3cm或13cm ‎【答案】D ‎【分析】结合题意画出简单的图形，再结合图形进行分析求解．‎ ‎【解析】解：①如图，当C在BA延长线上时， ∵AB=10cm，AC=16cm，D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD=AB=5cm，AE=AC=8cm，∴DE=AE+AD=8+5=13cm； ②如图，当C在AB延长线上时， ∵AB=10cm，AC=16cm，D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD=AB=5cm，AE=AC=8cm，∴DE=AE-AD=8-5=3cm；故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据题意画出图形，进行分类讨论．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点E的位置，有一定难度，注意不要遗漏．‎ ‎10．（2019·全国初一课时练习）如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在(　　)‎ A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点C ‎【答案】D ‎【分析】本题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，分别计算所有人的路程的和再判断．‎ ‎【解析】①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=150×15+45×240=13050（米）；‎ ‎②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=10×150+90×45=5550（米）；‎ ‎③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=10×240+15×90=3750（米）；‎ ‎④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜150），则所有人的路程的和是：10m+15（150﹣m）+45（240﹣m）=13050－50m＞5550 ；‎ ‎⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜90），则总路程为10（150+n）+15n+45（90﹣n）=5550－20n ＞3750，∴该停靠点的位置应设在点C．故选D．‎ ‎【点睛】本题为数学知识的应用，考查的知识点为两点之间线段最短．‎ ‎11．如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（　　）‎ A．85° B．90° C．95° D．100°‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故选B．‎ ‎【点睛】由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．‎ ‎12．（2020·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．‎ ‎【解析】解：分两种情况：‎ ‎①如图平分时，，即，解得；‎ ‎②如图平分时，，即，解得．‎ 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．‎ ‎【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）‎ ‎13．（2020·尚志市田家炳中学初一期末）往返于两地的客车，中途停靠五个站，要准备______种车票．‎ ‎【答案】42‎ ‎【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种类.‎ ‎【解析】∵两地的客车，中途停靠五个站，‎ ‎∴同一条线段上共有7个点，共有线段条，‎ ‎∵每两个站点之间有两种车票，即每条线段有两种车票，∴共有车票种，故答案为：42.‎ ‎【点睛】此题考查线段的条数计算公式：n个点之间的线段共有条.‎ ‎14．（2020山西吕梁初一期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．‎ ‎【答案】喜羊羊．‎ ‎【分析】根据直线的性质，可得答案．‎ ‎【解析】解：在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．我认为喜羊羊同学的说法是正确的，故答案为：喜羊羊．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的公理：两点确定一条直线，要与线段的公理：两点之间线段最短，区分开来，不要混淆．‎ ‎15．（2019·西安市铁一中学初一月考）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数_．‎ ‎ ‎ ‎【答案】20°.‎ ‎【分析】根据∠1=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.‎ ‎【解析】‎ 解：如图：∠BOD=90°-∠A0B=90°-30°=60°∠EOC=90°-∠EOF=90°-40°=50°‎ 又：∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE .∠1=60°+50°-90°=20°故答案是：20°.‎ ‎【点睛】本题主要考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+EOC-∠BOE这一关系是解决本题的关键.‎ ‎16.（2019•薛城区期末）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体最少需要立方块个数为 ；最多需要立方块个数为 ；‎ ‎【答案】7; 8‎ ‎【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可．‎ ‎【解析】解：有两种可能；‎ 由主视图可得：这个几何体共有3层，由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，‎ ‎∴最多为3+4+1＝8个小立方块，最少为个2+4+1＝7小立方块．故选：C．‎ ‎【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案．‎ ‎17．（2020·河南潢川·初一期末）从12点整开始到1点，经过_____分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为99°．‎ ‎【答案】18或 ‎【分析】先求解出时针和分针每分钟旋转的角度，再按照追击问题看待两个指针，求时间即可 ‎【解析】∵时针每60分钟走1大格，即30°∴时针的速度为：0.5°/min 同理，分针的速度为：6°/min 要使时针和分针夹角为99°，有两种情况：‎ 情况一：时针比分针多走99° 设从12点整开始，时针和分针都走了x分钟 则：0.5x+99=6x 解得：x=18‎ 情况二：时针比分针多走(360-99)°，即多走261° 设从12点整开始，时针和分针都走了y分针 则：0.5y+261=6x 解得：y=‎ 故答案为：18或 ‎【点睛】本题是钟表问题和夹角结合考查的类型，解题关键是将时钟问题类比到追击问题中，根据追击问题的模型，求时间 ‎18．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的序号有 ‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.‎ ‎【解析】解：（1）如图1所示：‎ ‎ ‎ ‎∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝，又∵AB＝4cm，∴AC＝2cm，∴结论①正确；‎ ‎（2）如图2所示：‎ ‎∵AC1＝1，AB＝4，∴，∴点C1为线段AB的四等分点，又∵AC2＝1，∴‎ 又∵点C2在AB的反向延长线上，∴点C2不是线段AB的四等分点，∴结论②错误；‎ ‎（3）如图3所示：‎ 点C为线段AB上的一动点，∴AB＝AC+BC，又∵AB＝4cm，∴AC+BC＝4cm，∴结论③正确；‎ ‎（4）如图4所示：‎ ‎ ‎ 若点C在AB的延长线上时，AC1+BC1＞AB，∵AB＝4，∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，‎ 若点在AB的反向延长线上时，AC2+BC2＞AB，∵AB＝4，∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，∴结论④正确；‎ ‎（5）如图5所示：若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有AC1+BC1＝8cm，‎ 若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有AC2+BC2＝8cm，∴结论⑤错误．‎ 综合所述；正确结论是①、③、④．‎ ‎【点睛】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和运算法则是关键.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（2020.广东省初一期末）如图，平面上四个点A、B、C、D．‎ ‎(1)根据下列语句画图：①射线AB；②直线CD交射线AB于点E；③在线段BC的延长线上取一点F，使CF=CD，连接AD、AF．(2)图中以A为顶点的角中，小于平角的角有哪几个？‎ ‎【答案】(1)画图见解析；(2)小于平角的角有：∠DAB，∠DAF，∠BAF． ‎ ‎【分析】(1) 根据直线没有端点, 射线有一个端点, 线段有两个端点, 可得答案.‎ ‎(2) 根据平角的定义和角的定义进行解答.‎ ‎【解析】(1)①如图所示：‎ ‎②如图所示：‎ ‎③如图所示，在线段BC的延长线上取一点F，使CF=CD，连接AD、AF．‎ ‎(2)如图所示，‎ 图中以A为顶点的角中，小于平角的角有：∠DAB，∠DAF，∠BAF．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线、射线、线段的定义及平角的定义和角的定义.‎ ‎20．（2020·浙江嵊州初一期末）点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．‎ ‎（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．‎ ‎（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．‎ ‎（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．‎ ‎【答案】(1) 130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或或9或 ‎【分析】（1）分别求出∠AOM和∠BON的度数，即可得出答案；‎ ‎（2）分为两种情况，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可；‎ ‎（3）分为四种情况，列出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解析】（1）当t=2时，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15°t=30°，‎ 所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°；‎ ‎（2）当∠AOB=105°时，有两种情况：‎ ‎①10t+15t=180﹣105，解得：t=3；②10t+15t=180+105，解得：t=11.4；‎ ‎（3）①当OB是∠AON的角平分线时，10t+15t+15t=180，解得：t=4.5；‎ ‎②当OA是∠BOM的角平分线时，10t+10t+15t=180，解得：t=；‎ ‎③当OB是∠AOM的角平分线时，5t+15t=180，解得：t=9；‎ ‎④当OA是∠BON的角平分线时，10t+7.5t=180，解得：t=．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的定义和邻补角的定义，能求出符合的所有情况是解此题的关键．‎ ‎21．（2020·河北怀安初一期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．‎ ‎（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）7cm；（2）a，理由见详解；（3）b，理由见详解．‎ ‎【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=，‎ ‎（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．‎ ‎【解析】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，‎ ‎∴MN=CM+CN=4+3=7cm，∴线段MN的长为7cm；‎ ‎（2）MN的长度等于a，根据图形和题意可得：‎ MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a；‎ ‎（3）MN的长度等于b，‎ 根据图形和题意可得：‎ MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=b．‎ ‎【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．‎ ‎22．（2019·福建晋江·初一期末）一副三角板，‎ ‎（1）按如图①所示方式放置，点三点共线，，求的度数；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若分别是与内部的一条射线，且均以点为中心，分别从位置出发，以度/秒、度/秒的旋转速度沿逆时针方向旋转，当与重叠时，所有旋转均停止，试说明:当旋转秒后，‎ ‎（3）若三角板 (不含角)是一块非标准三角板，按如图②所示方式放置，使，作射线，若，求与的度数之比．‎ ‎【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）1:2或1:1‎ ‎【分析】（1）利用角的计算法则将和相加即可求得结果；（2）利用旋转速度和旋转时间将和的度数用含n、t的式子表示出来，再利用角的计算法则表示出和，即可得到；（3）分两种情况：在内部和外部时，根据已知条件进行计算变形，即可求得结果．‎ ‎【解析】解：（1），，；‎ ‎（2）当旋转秒后，，∵‎ ‎，，‎ ‎；‎ ‎（3）当在内部时，如图②所示，‎ ‎，，‎ ‎，，，与的度数之比为；‎ 当在外部时，如图③所示，‎ ‎，，‎ ‎∴，即，与的度数之比为 ‎【点睛】本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．解题的关键是理解题意，表示出角度与角度之间的关系；分类讨论也是解题的关键．‎ ‎23．（2019·江苏省初三一模）某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：‎ ‎（1）求长方体的体积；（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小）‎ ‎【答案】（1）长方形的体积为144cm3；（2）纸箱的表面积为792cm2‎ ‎【分析】（1）设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据长方体的展开图可见产品的一个宽+2个长+一个高=25‎ ‎，从而列出方程，求解得出长方体产品的长宽高，再根据长方体的体积计算方法即可算出答案；‎ ‎（2）由于产品的长宽高是固定的，厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，故在装这10件产品时，让产品重叠在一起的面积尽可能的大，从而得出设计的包装纸箱为15×12×8规格，再根据长方体的表面积计算方法即可算出答案.‎ ‎【解析】（1）解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据题意可得：‎ ‎12﹣2x+8+x+8=25，解得：x=3，所以长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，‎ 长方形的体积为：8×6×3=144cm3；‎ ‎（2）解：由要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小），可知纸箱的装法有两种，即每层一个共10层或每层两个共5层，‎ ‎①每层一个共10层：‎ ‎（ⅰ）当3×6的面叠加在一起时，表面积为2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2,‎ ‎（ⅱ）当3×8的面叠加在一起时，表面积为2（3×8+3×60+8×60）=1368cm2,‎ ‎（ⅲ）当6×8的面叠加在一起时，表面积为2（30×8+30×6+8×6）=936cm2,‎ ‎②每层两个共5层：‎ ‎（ⅰ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×8的面贴地面时，‎ 表面积为2（3×16+3×30+16×30）=1236cm2,‎ ‎（ⅱ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×8的面贴地面时，‎ 表面积为2（6×16+6×15+16×15）=852cm2,‎ ‎（ⅲ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×6的面贴地面时，‎ 表面积为2（3×12+3×40+12×40）=1272cm2,‎ ‎（ⅳ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，‎ 表面积为2（12×8+8×15+12×15）=792cm2,‎ ‎（ⅴ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×3的面贴地面时，‎ 表面积为2（6×8+6×30+8×30）=936cm2,‎ ‎（ⅵ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×3的面贴地面时，‎ 表面积为2（6×6+6×40+6×40）=1032cm2,‎ 所以当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，表面积最小，为792cm2，设计的包装纸箱为长为12cm，宽为8cm，高为15cm.故答案为792cm2‎ ‎【点睛】本题考查几何体的表面积，几何体的展开图.（1‎ ‎）根据展开图合理设未知数，找到等量关系列式计算.（2）关键是列出所有纸箱装法并计算表面积.‎ ‎24．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）‎ ‎（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：‎ ‎（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．‎ ‎（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．‎ ‎【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变.‎ ‎【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝AB．‎ ‎【解析】解：（1）由题意：BD=2PC ‎∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.‎ ‎∴点P在线段AB上的处；‎ ‎（2）如图：‎ ‎∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，‎ ‎∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AB，∴ ‎ ‎（3）②的值不变.‎ 理由：如图，‎ 当点C停止运动时，有CD=AB，∴CM=AB，∴PM=CM-CP=AB-5，‎ ‎∵PD=AB-10，∴PN=AB-10）=AB-5，∴MN=PN-PM=AB，‎ 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．‎ ‎25．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝ ‎ ‎②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α的代数式表示）‎ ‎（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，（用含α的代数式表示）‎ ‎【答案】（1）20°，；（2）成立，理由见详解；（3）180°－．‎ ‎【分析】（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝α；‎ ‎（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°－α，由角平分线定义得：∠EOC＝∠BOC＝90°－α，根据角的差可得（1）中的结论还成立；（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－α．‎ ‎【解析】解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，‎ ‎∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝50°，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝70°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，‎ ‎②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，‎ ‎∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，‎ ‎∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，‎ ‎（2）（1）中的结论还成立，理由是：‎ 如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，‎ ‎∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；‎ ‎（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，‎ ‎∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣α）＝180°﹣α．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．‎ ‎26．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处（），一边在射线上，另一边在直线的下方．‎ ‎（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；（2）将图1中的三角板绕点以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值；（3）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3，使一边在的内部，请探究的值．‎ ‎【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的定义通过计算即可求得∠BON的度数；（2）当ON的反向延长线平分∠AOC时或当射线ON平分∠AOC时这两种情况分别讨论，根据角平分线的定义以及角的关系进行计算即可；（3）根据∠MON=90°，∠AOC=70°，分别求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，再根据∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．‎ ‎【解析】解：（1）如图2中，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB， 又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°， ∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°； （2）（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°， 当当ON的反向延长线平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°， 即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11； ②如图3，当射线ON平分∠AOC时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°， 即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47， 综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC； 故答案为：11或47； （3）∠AOM-∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°， ∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON， ∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°， ∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义的运用，熟练掌握角平分线的使用和角的和差关系是解题的关键．‎