湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

应城一中2019-2020学年度下学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：‎2019年4月21日上午8:00～10:15 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.不等式的解集是 ‎　　A． B．‎ ‎　 C． D．‎ ‎2.已知等差数列的前项和为，，，则 ‎ A. 25 B. ‎28 C. 31 D. 32‎ ‎3.已知实数， 满足 ，则下列关系式恒成立的是 A． B．‎ C． D． ‎ ‎4. ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知函数，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知为等比数列，，，则 ‎ A. 9 B. C. D. ‎ ‎7.已知的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知函数的图象的相邻对称轴的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是 ‎ A.函数是奇函数 B.其图象关于直线对称 ‎ C. 在上的值域为 D. 在上是增函数 ‎9. 已知，则的最小值为 ‎ A. 3 B. ‎4 C. D. ‎ ‎10. 在中，角所对的边分别为，.若 ,则 ‎ A. B‎.4 ‎ C.或4 D.4或 ‎11. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，，的面积为，则b等于 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知，则 A． B． C． D． ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.当时，函数 的最小值为______ ．‎ ‎14. 若，且，则______．‎ ‎15.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为60°,∠APB的大小为30°,山脚P到山顶A的直线距离为‎4km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为________ km. ‎ ‎16. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则 ________‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知，且． 求的值； 若，，求的值．‎ ‎18. （本题满分12分）‎ ‎(1)已知函数,若对于任意 ,都有恒成立,求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知各项均为正数的等比数列中，公比，若存在两项使得，求的最小值。‎ ‎19. （本题满分12分）‎ 已知为数列的前项和，且，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 如图，在中，，点在线段上.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎21. （本题满分12分）‎ ‎2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失。为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元()满足 (为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按元来计算). ‎ ‎(1)将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?‎ ‎22. （本题满分12分）‎ 已知数列的前项和 ，若不等式 对恒成立，‎ ‎（1）证明是等差数列，并求的通项公式;‎ ‎（2）求实数的取值范围;‎ ‎（3）设，求数列 项和.‎ ‎ 应城一中2019-2020学年度下学期期中考试 高一数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B B D C A C A C B C A D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 3 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（本题满分10分）‎ 已知，且． 求的值； 若，，求的值．‎ 解：，且，， ． ，，，， ， ． ‎ ‎18. （本题满分12分）‎ ‎(1)已知函数,若对于任意 ,都有恒成立,求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知各项均为正数的等比数列中，公比，若存在两项使得，求的最小值。‎ 解：（1）由题意，， ‎ 即，得, ‎ 所以 ‎ ‎（2）由得 ‎ 故 =. ‎ 当且仅当且，即时上式取等.‎ 故的最小值为2.（不考虑取等条件扣一分） ‎ ‎19. （本题满分12分）‎ 已知为数列的前项和，且，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ 解：（1） （2） ‎ ‎（1）‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 如图，在中，，点在线段上.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎（本题是高三3月份考试题，没有改数据，估计学生搜不到答案）‎ ‎21. （本题满分12分）‎ ‎2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失。为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元()满足 (为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按元来计算). ‎ ‎(1)将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?‎ 解: (1)由题意知,当m=0时,x=2(万件),‎ 则2=4-k,解得k=2,∴x=4-. ‎ ‎∵每件产品的销售价格为1.5×(元),‎ ‎∴2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+37(m≥0). ‎ ‎(2)∵当m≥0时,m+1>0,∴+(m+1)≥2=8,当且仅当m=3时等号成立. ‎ ‎∴y≤-8+37=29,‎ 当且仅当=m+1,即m=3万元时,ymax=29(万元). ‎ 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元. ‎ ‎22. （本题满分12分）已知数列的前项和 ，若不等式对恒成立，‎ ‎（1）证明是等差数列，并求的通项公式;‎ ‎（2）求实数的取值范围;‎ ‎（3）设，求数列 项和.‎ 解：（1）当时，，得 ‎ 当时，，又，两式相减，得：，得 ，所以 ，又， ‎ 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎,即 ; ‎ ‎（2）因为，故不等式等价于 ‎ ‎ 记，则. ‎ 故时，;时，,从而;‎ 当时，，即 综上，. ‎ 所以 ，即.‎ ‎（3） ， ‎ 所以 .‎