山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题 高二理科数学（选修2—1）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.‎ ‎2．答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎4．考试结束后，将答题卡交回.‎ ‎5．考试时间90分钟，满分100分. ‎ 第Ⅰ卷（30分）‎ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设命题，使得，则为（ ）‎ A．，使得 B．，使得 C．,使得 D．，使得 ‎2．已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若|PF|=5,则点P的横坐标是( )‎ A.－4 B. ‎1 C.4 D.－4或4‎ ‎3.已知向量a=(0,3,3)和b=(－1,1,0)分别是直线l和m的方向向量，则直线l与m所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“m>‎0”‎是“方程表示双曲线”的( )‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点 ，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎6．与命题“若实数x≠y,则cosx≠cosy”等价的命题是（ ） (第5‎ ‎ 题图)‎ A.若实数x=y,则cosx=cosy B.若cosx=cosy ,则实数x=y ‎ C.若cosx≠cosy ,则实数x≠y D.若实数x≥y,则cosx≥cosy ‎7. 若直线l：x－y－1=0与椭圆C：交于A、B两点，则|AB|=( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若命题都有是假命题，则实数m的取值范围是( )‎ A． (－,3] B. [－1,+) C.[－1, 3] D.[3,+) ‎ ‎9．正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯（如图）的 纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是‎20 cm，‎ 灯深‎10 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( 　)‎ A．‎2.5 cm B．‎3.5 cm C．‎4.5cm D．‎5.5 cm （第9题图）‎ ‎10．已知双曲线的渐近线与抛物线E:的准线分别交于A、B两点，若抛物线的焦点为F，且FAFB，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 第Ⅱ卷（70分）‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．已知直线l的一个方向向量为a=(4，2，－2)，平面α的一个法向量为n=(－1，1，t)，若l∥α,则实数t的值是 .‎ ‎12. 已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴，且一个焦点为F(0,1)，离心率为，则该椭圆的方程是 .‎ ‎13.在“数学发展史”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测：‎ 甲说：我的成绩比乙高；‎ 乙说：丙的成绩比我和甲的都高；‎ 丙说：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中预测正确的是 .‎ ‎14．已知空间四点A（2，－1，1）、B（1,2,3）、C(0，2， 1)、D(1，0，λ)在同一平面内,‎ 则实数λ=________．‎ ‎15．已知焦点为F的抛物线C:的准线是直线l，若点A(0,－3)，点P为抛物线C上一点，且PMl于M,则|PM|+|PA|的最小值为 .‎ ‎16．在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为 .‎ ‎17.设 是双曲线C:的两个焦点，P为双曲线C上一点，若ΔPF‎1F2是直角三角形，则ΔPF‎1F2的面积为 .‎ ‎18.已知命题p：方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；‎ 命题q：已知椭圆E：，过点的直线与椭圆E相交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为.‎ 则下列四个命题①中，是真命题的是 （只写出序号）.‎ 三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19.(本小题8分)‎ 已知双曲线C与椭圆E:有公共的焦点，且离心率为，求双曲线C的方程及其渐近线方程.‎ ‎20. (本小题8分)‎ 设集合S=，T=，且命题p：x∈S，q：x∈T，若命题q是p的必要且不充分条件，求实数a的取值范围.‎ ‎21．(本小题10分)‎ 已知向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1)．‎ ‎(1)若a∥c，求|c|；‎ ‎(2)若b⊥c，求(a－c)∙(2b+c)的值．‎ ‎22.(本小题10分)‎ 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD,AD∥BC,‎ 侧棱SA平面ABCD,且SA=AB=BC=2AD=2.‎ ‎(1)求证：平面SBC平面SAB;‎ ‎(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值. （第22题图）‎ ‎23.(本小题10分)‎ 已知圆M：和点N（，0），Q为圆上的动点，线段NQ的垂直平分线交MQ于点P，记点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)设过点A(0,2)的直线l与E相交于B、C两点，当△OBC的面积最大时，求直线l的方程．‎ 山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试 高二理科数学（选修2—1）参考答案与评分标准 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A D C B C B D C A D 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11.－1；12.；13. 甲；14. ；‎ ‎15.；16.17. 4或 ; 18.①②④.‎ 三、解答题（本大题共5个小题，共46分.）‎ ‎19. (本小题8分)‎ 解：∵椭圆E:的焦点为（-5，0）和（5，0），‎ ‎∴c=5, …………………………………………2分 ‎∵双曲线C的离心率为，‎ ‎ ∴a=4,b=3, ……………………………………6分 ‎∵双曲线C的焦点在x轴上，‎ ‎∴双曲线C的方程为，渐近线方程为.…………………8分 ‎20. (本小题8分)‎ 解：∵q：x∈T==，‎ ‎∴q：x∈∁RT={x|－1≤x≤2}, ‎ ‎∵命题q是p的必要且不充分条件，‎ ‎∴S是∁RT的真子集, ………………………………4分 ‎∵S=‎ ‎∴∴－1≤a≤1,检验知a=－1和1时满足题意，‎ ‎∴实数a的取值范围是[－1,1]. ………………………………8分 ‎21．(本小题10分)‎ 解：(1) ∵ a∥c，‎ ‎∴，‎ ‎∴x=1, ………………………………2分 ‎∴c=（1，2，－1），‎ ‎|c|=. ………………………………5分 ‎(2)∵b⊥c，‎ ‎∴－x+2×0－1×2=0,‎ ‎∴x=－2,………………………………7分 ‎∴c=（－2，2，－1），‎ ‎∴a－c=（4,2,－1），2b+c=（－4,2,3），‎ ‎∴(a－c)∙(2b+c)=－15.………………………………10分 ‎22.(本小题10分)‎ ‎(1)证明：∵SA平面ABCD,BC平面ABCD，‎ ‎∴SABC，‎ ‎∵ABAD,AD∥BC,‎ ‎∴BCAB,‎ ‎∵SA∩AB=A,‎ ‎∴BC平面SAB,………………………………3分 ‎∵BC平面SBC,‎ ‎∴平面SBC平面SAB.………………………………5分 ‎(2)解：分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则 由SA=AB=BC=2AD=2可知，‎ A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),‎ 由(1)知BC平面SAB，‎ ‎∴ 为平面SAB的一个法向量,且=(2,0,0);‎ 设=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量，则 ‎ , , ‎ ‎∴. =0,.=0,‎ ‎∵=(1,2,0),=(1,0,-2),‎ ‎∴‎ 令z=1,则x=2,y=-1,∴=(2,-1,1), ………………………………8分 设平面SCD与平面SAB所成的二面角为θ，则 ‎∴|cosθ|=|cos<,>|=,‎ ‎∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………10分 ‎23.(本小题10分)‎ 解：（1）由题意可知，M（-，0），|MQ|=4,|MN|=2，‎ ‎∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=|MQ|=4>|MN|,‎ ‎∴曲线E是以M、N为焦点的椭圆，且‎2a=4,c=,‎ ‎∴a=2,b=1, ………………………………2分 ‎∴曲线E的方程为. ………………………………4分 ‎（2）由题意可知，直线l存在斜率，不妨设为k,则l：y=kx+2,且设B(x1，y1)、C(x2,y2),于是 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴Δ=‎ ‎∴4k2-3>0，∴∪，‎ 且，， ………………………………6分 ‎∴|BC|==，‎ ‎∵点O到直线l的距离为d=，且4k2-3>0，‎ ‎∴SΔOBC=×=≤1，……8分 当且仅当时，即k=时，SΔOBC最大为1，‎ 此时，直线l的方程为y=x+2. ………………………………10分