中考数学证明题集锦及答案

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中考数学证明题集锦及答案

中考数学证明题精选 ‎1.如图,两相交圆的公共弦AB为,在⊙O1中为内接正三角形的一边,在⊙O2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比。‎ ‎2.已知扇形的圆心角为1500,弧长为,求扇形的面积。‎ ‎3.如图,已知PA、PB切⊙O于A、B两点,PO=‎4cm,∠APB=600,求阴影部分的周长。‎ ‎4.如图,已知直角扇形AOB,半径OA=‎2cm,以OB为直径在扇形内作半圆M,过M引MP∥AO交于P,求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。‎ ‎5.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,若∠C=900,AD=4,BD=6,求图中阴影部分的面积。‎ ‎ ‎ ‎6.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,O点在AB上,半圆O切AC于D,切BC于E,AO=‎15cm,BO=‎20cm,求的长。‎ ‎7.如图,有一个直径是‎1米圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC,‎ 求:‎ ‎(1)被剪掉(阴影)部分的面积;‎ ‎(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?‎ ‎8.如图,⊙O与⊙外切于M,AB、CD是它们的外公切线,A、B、C、D为切点,⊥OA于E,且∠AOC=1200。‎ ‎(1)求证:⊙的周长等于的弧长;‎ ‎(2)若⊙的半径为‎1cm,求图中阴影部分的面积。‎ ‎9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.‎ (1) 求证:DC=BC;‎ (2) E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;‎ (3) 在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值. ‎ ‎10.已知:如图,在□ABCD 中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.‎ ‎(1)求证:△ADE≌△CBF;‎ ‎(2)若四边形 BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.‎ ‎11.如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.‎ ‎(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;‎ 图13-1‎ A( G )‎ B( E )‎ C O D( F )‎ 图13-2‎ E A B D G F O M N C 图13-3‎ A B D G E F O M N C ‎(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎12.如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。‎ ‎ (1)若,求CD的长;‎ ‎ (2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。‎ ‎13.如图,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G. ‎(1)求证:点F是BD中点;‎ ‎(2)求证:CG是⊙O的切线;‎ ‎(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),‎ ‎⊙A的半径为2.过A作直线平行于轴,点P在直线上运动.‎ ‎(1)当点P在⊙O上时,请你直接写出它的坐标;‎ ‎(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由.‎ C A B D O E ‎15.如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,‎ DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,‎ 垂足为点C.‎ 求证:∠ACB=∠OAC.‎ ‎16.如图1,一架长‎4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为.‎ ⑴求AO与BO的长;‎ ⑵若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.‎ ‎①如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;‎ ‎②如图3,当A点下滑到A’点,B点向右滑行到B’点时,梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’= ,试求AA’的长.‎ ‎17.如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E,C为⊙O外一点,CB⊥AB,G是直线CD上一点,∠ADG=∠ABD,求证:AD·CE=DE·DF. ‎ 说明:(1)如果你经过反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步).(2)在你经过说明(1)的过程之后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明. ‎ ①∠CDB=∠CEB;②AD∥EC;③∠DEC=∠ADF,且∠CDE=90°. ‎18.已知,如图,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连结DE,DE=. ‎ (1)求EM的长;(2)求sin∠EOB的值. ‎19.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB. ‎ (1)求证:DE是⊙O切线; ‎(2)若AB=6,AE=,求BD和BC的长. ‎20.如图:⊙O1与⊙O2外切于点P,O1O2的延长线交⊙O2于点A,AB切⊙O1于点B,交⊙O2于点C,BE是⊙O1的直径,过点B作BF⊥O1P,垂足为F,延长BF交PE于点G. (1)求证:PB2=PG·PE;(2)若PF=,tan∠A=,求:O1O2的长.‎ ‎ ‎ ‎ 21.如图,P是⊙O外一点,割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点,PT切⊙O于点T,点E、F分别在PB、PA上,且PE=PT,∠PFE=∠ABP.‎ ‎ (1)求证:PD·PF=PC·PE;‎ ‎(2)若PD=4,PC=5,AF=,求PT的长.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,BC是半圆O的直径,EC是切线,C是切点,割线EDB交半圆O于D,A是半圆O上一点,AD=DC,EC=3,BD=2.5‎ ‎(1)求tan∠DCE的值;(2)求AB的长.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,已知矩形ABCD,以A为圆心,AD为半径的圆交AC、AB于M、E,CE的延长线交⊙A于F,CM=2,AB=4.‎ ‎ (1)求⊙A的半径;(2)求CE的长和△AFC的面积.‎ ‎24.如图,正方形ABCD是⊙O的内接正方形,延长BA到E,使AE=AB,连结ED.‎ ‎ (1)求证:直线ED是⊙O的切线;‎ ‎ (2)连结EO交AD于点F,求证:EF=2FO.‎ ‎25. 如图8.PA和PB分别与⊙O相切于A,B两点,作直径AC,并延长交PB于点D.连结OP,CB. (1)求证:OP∥CB; (2)若PA=12,DB:DC=2:1,求⊙O的半径.‎ ‎26. 如图9.在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。(1)写出点O到△ABC的三个顶点 A、B、C(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。‎ ‎27.如图9,已知△ABC内接于⊙O,直线DE与⊙O相切于点A.BD∥CA. 求证:AB·DA=BC·BD.‎ ‎28.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=‎6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=‎4 cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).‎ ‎ (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐 ▲ .‎ ‎ (填“不变”、“变大”或“变小”)‎ ‎ (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:‎ ‎ 问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?‎ ‎ 问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?‎ ‎ 问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,‎ ‎ 求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.‎ ‎ 请你分别完成上述三个问题的解答过程.‎ ‎29.如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.‎ ‎(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;‎ ‎(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.‎ C D B A E O ‎30.已知:如图 13,在□ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.‎ ‎⑴求证:BE=DG;‎ ‎⑵若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论.‎ A D G C B F E 图 13‎ A C B M D E O N F 图 14‎ ‎31. 如图 14,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,‎ AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB 2=AF·AC,cos∠ABD=,AD=12.‎ ‎⑴求证:△ANM≌△ENM;‎ ‎⑵试探究:直线FB与⊙O相切吗?请说明理由.‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.‎ ‎32.如图,已知正方形OABC在直角坐标系xoy中,点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点O为坐标原点,等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点,E、F分别在OA、OC上,且OA=4,OE=2,将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE‎1F1,的位置,连接AE1、CF1.‎ ‎(1)求证:△AOE1≌△OCF1;‎ ‎(2)将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得OE∥CF,若存在,请求出此时E点的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案 ‎1. 解:设正三角形外接圆⊙O1的半径为,正六边形外接圆⊙O2的半径为,由题意得:,‎ ‎,∴∶=∶;∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积=1∶3。‎ ‎2. 解:设扇形的半径为,则,=1500,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴。‎ ‎3. 解:连结OA、OB ‎∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点 ‎∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=Rt∠‎ ‎∠APO=∠APB=300‎ 在Rt△PAO中,AP=‎ OA=PO=2,∴PB=‎ ‎∵∠APO=300,∠PAO=∠PBO=Rt∠‎ ‎∴∠AOB=300,∴‎ ‎∴阴影部分的周长=PA+PB+==cm 答:阴影部分的周长为cm。‎ ‎4. 解:连结OP ‎∵AO⊥OB,MP∥OA,∴MP∥OB 又OM=BM=1,OP=OA=2‎ ‎∴∠1=600,∠2=300‎ ‎∴PM=‎ 而,‎ 设PM交半圆M于Q,则直角扇形BMQ的面积为 ‎∴‎ ‎ ==‎ ‎5.;‎ ‎6.;‎ ‎7.(1)平方米,(2)米;‎ ‎8.(1)证明:由已知得∠AO=600,ABO为直角梯形,设⊙O与⊙的半径分别为、,则cos600=‎ ‎,即,∴⊙的周长为,而==,∴⊙的周长等于的弧长。(2)cm2。‎ ‎9. [解析] (1)过A作DC的垂线AM交DC于M,‎ 则AM=BC=2.‎ 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.‎ ‎(2)等腰三角形.‎ 证明:因为.‎ 所以,△DEC≌△BFC 所以,.‎ 所以,‎ 即△ECF是等腰直角三角形.‎ ‎(3)设,则,所以.‎ 因为,又,所以.‎ 所以 所以.‎ ‎10. [解析] (1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD . ‎ ‎∵点E 、F分别是AB、CD的中点,‎ ‎∴AE=AB ,CF=CD .‎ ‎∴AE=CF ‎∴△ADE≌△CBF . ‎ ‎(2)当四边形BEDF是菱形时,‎ 四边形 AGBD是矩形.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC .‎ ‎∵AG∥BD ,‎ ‎∴四边形 AGBD 是平行四边形. ‎ ‎∵四边形 BEDF 是菱形,‎ ‎∴DE=BE .‎ ‎∵AE=BE ,‎ ‎∴AE=BE=DE .‎ ‎∴∠1=∠2,∠3=∠4.‎ ‎∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,‎ ‎∴2∠2+2∠3=180°.‎ ‎∴∠2+∠3=90°.‎ 即∠ADB=90°. ‎ ‎∴四边形AGBD是矩形 ‎11. (1)BM=FN. ‎ 证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF.‎ 又∵∠BOM=∠FON, ∴ △OBM≌△OFN .‎ ‎∴ BM=FN. ‎ (1) BM=FN仍然成立. ‎ (2) 证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.‎ ‎∴∠MBO=∠NFO=135°.‎ 又∵∠MOB=∠NOF, ∴ △OBM≌△OFN .‎ ‎∴ BM=FN. ‎ ‎12. (1)因为AB是⊙O的直径,OD=5‎ ‎ 所以∠ADB=90°,AB=10 ‎ ‎ 在Rt△ABD中,‎ ‎ 又,所以,所以 ‎ ‎ ‎ 因为∠ADB=90°,AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ (2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD ‎ 因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO ‎ 所以∠CDB=∠ADO ‎ 设∠ADO=4x,则∠CDB=4x ‎ 由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x ‎ 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°‎ ‎ 所以 ‎ 所以x=10°‎ ‎ 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°‎ ‎ 所以∠AOC=∠AOD=100°‎ ‎ ‎ ‎13. (1)证明:∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF ‎∴,∵HE=EC,∴BF=FD ‎ ‎(2)方法一:连接CB、OC,‎ ‎∵AB是直径,∴∠ACB=90°∵F是BD中点,‎ ‎∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ‎∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′‎ 方法二:可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)‎ ‎ (3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC ‎ 可证得:FA=FG,且AB=BG 由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2  由、得:FG2-4FG-12=0‎ 解之得:FG1=6,FG2=-2(舍去)‎ ‎∴AB=BG=‎ ‎∴⊙O半径为2‎ ‎14. 解: ⑴点P的坐标是(2,3)或(6,3)‎ ⑵作AC⊥OP,C为垂足.‎ ‎∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1‎ ‎∴△ACP∽△OBP ‎ ‎∴ ‎ ‎ 在中,,又AP=12-4=8, ∴‎ ‎∴AC=≈1.94 ‎ ‎∵1.94<2‎ ‎∴OP与⊙A相交. ‎ ‎15. 证明:连结OE、AE,并过点A作AF⊥DE于点F, (3分)‎ ‎∵DE是圆的一条切线,E是切点,‎ ‎∴OE⊥DC,‎ 又∵BC⊥DE,‎ ‎∴OE∥AF∥BC. ‎ ‎ ∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠4=∠3. ‎ ‎∴∠4=∠2. ‎ 又∵点A是OB的中点,‎ ‎∴点F是EC的中点. ‎ ‎∴AE=AC. ‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∴∠4=∠2=∠1. ‎ ‎ 即∠ACB=∠OAC.‎ ‎16. 米.‎ 米. -------------- (3分)‎ ⑵设在中,‎ ‎ ‎ ‎ 根据勾股定理:‎ ‎∴ ------------- (5分) ‎ ‎∴‎ ‎∵  ∴‎ ‎ ∴ ------------- (7分)‎ AC=2x=‎ 即梯子顶端A沿NO下滑了米. ---- (8分)‎ ⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点 ‎∴, ------------- (9分)‎ ‎∴------- (10分)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ----------------------- (11分)‎ ‎∴----- (12分)‎ ‎∴米. -------- (13分)‎ ‎17.证明:连结AF,则∠ABD=∠F.‎ ‎ ∵∠ADG=∠ABD,∴∠ADG=∠F.‎ ‎ ∵DF为⊙O的直径,∴∠DAF=90°,‎ ‎ ∴∠ADF+∠F=90°,∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°,‎ ‎ ∴∠DAF=∠CDE=90°,∵CB⊥AB,‎ ‎ ∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°,‎ ‎ ∴∠DAF=∠CDE=90°,∵CB⊥AB,‎ ‎∴∠CBE=90°.取EC中点M,连结DM、BM,则DM=BM=CM=EM,‎ 即D、E、B、C在以EC为直径的圆上,‎ ‎ ∴∠ABD=∠DCE,∴∠DCE=∠F,‎ ‎ ∴△DAF∽△EDC,∴,‎ ‎ ∴AD·CE=DE·DF,以下略;‎ ‎18.(1)DC为⊙O的直径,DE⊥EC,‎ ‎ EC==7.‎ ‎ 设EM=x,由于M为OB的中点,‎ ‎ ∴BM=2,AM=6,∴AM·MB=x·(7-x),即6×2=x(7-x),‎ ‎ 解得x1=3,x2=4,∵EM>MC,∴EM=4.‎ ‎(2)∵OE=EM=4,∴△OEM为等腰三角形,过E作EF⊥OM,垂足为F,‎ 则OF=1,∴EF==.‎ ‎ ∴sin∠EOB=.‎ ‎19.(1)连结CO,则AO=BO=CO,‎ ‎ ∴∠CAO=∠ACO,又∵∠EAC=∠CAO,‎ ‎ ∠ACO=∠EAC,∴AE∥OC,‎ ‎ ∴DE是⊙O的切线.‎ ‎ (2)∵AB=6,∴AO=BO=CO=3.‎ ‎ 由(1)知,AE∥OC,‎ ‎ ∴△DCO∽△DEA,‎ ‎ =.‎ ‎ 又∵AE=,∴,‎ ‎ 解得BD=2.‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.‎ 又∵∠EAC=∠CAB,∴Rt△EAC∽Rt△CAB,‎ ‎∴,即AC2=AB·AE=6×=.‎ ‎ 在Rt△ABC中,‎ ‎ 由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=36-=.‎ ‎ ∵BC>0,BC==.‎ ‎20.(1)∵BE是⊙O1的直径,∴∠BPE=90°.‎ ‎ ∵BF⊥O1P,∴∠BPF+∠FBP=90°.‎ ‎ ∵∠GPE+∠BPF=90°,∴∠GPF=∠BPF.‎ ‎ ∵O1E=O1P,‎ ‎ ∴∠E=∠GPF=∠PBF,又∠BPG=∠EPB=90°,‎ ‎ ∴△GPB∽△BPE,∴PB2=PE·PG.‎ ‎ (2)∵AB是⊙O1的切线,∴O1B⊥AB,‎ ‎ ∴△O1BF∽△O1AB,∴∠O1BF=∠A.‎ ‎ ∵tan∠A=,∴tan∠O1BF=.‎ ‎ 设O‎1F=‎3m,则BF=‎4m.‎ ‎ 由勾股定理得:O1B=‎5m=O1P,∴PF=‎5m-3m=‎2m.‎ ‎ 又∵PF=,∴m=,∴O1B=O1P,∴BF=×4=3.‎ ‎ 由tan∠A=,∴AF==4,∴AP=4-=,‎ ‎ ∴PO2= ,∴O1O2=++==5.‎ ‎21.(1)连CD,因A、B、D、C四点共圆,‎ ‎ ∴∠DCP=∠ABP,而∠PFE=∠ABP,‎ ‎ ∴∠DCP=∠PFE,CD∥EF,∴,即PD·PF=PC·PE.‎ ‎ (2)设PT长为x,∴PE=PT,由(1)结论得PF=x,‎ ‎ 由PT2=PC·PA得x2=5(x+),解之得x1=7,x2=-,∴PT=7.‎ ‎22.(1)由已知得EC2=ED(ED+), 解之得ED=2或ED=-(舍去).‎ ‎ ∵BC为直径,∴CD⊥BE,由勾股定理得CD=,∴tan∠DCE=.‎ ‎ (2)连AC交BD于F,由(1)得,AD=DC=,BC=.‎ ‎ 可证△ADF∽△BCF,∴=.‎ ‎ 设DF=2x,则CF=3x.由CF-DF=CD,得9x-4x=5,x=1,∴DF=2,CF=3,∴BF=.‎ ‎ 由相交弦定理得AF=, ∴AB== .‎ ‎23.(1)由勾股定理,列方程可求AD=3.‎ ‎(2)过A作AG⊥EF于G,由勾股定理得CE=,‎ 由切割线定理得CF=,由△BCE∽△GAE,得AG=. S△AFC=.‎ ‎24.证明:(1)连结OD易得∠EDA=45°,∠ODA=45°,‎ ‎∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°,∴直线ED是⊙O的切线 ‎ (2)作OM⊥AB于M,∴M为AB中点,‎ ‎ ∴AE=AB=2AM,AF∥OM,∴=2,∴EF=2FO.‎ ‎25.‎ ‎26.‎ ‎27.证明:∵ DE与⊙O相切, ‎ ‎∴ ∠C=∠1, ‎ C ‎∵ BD∥CA,‎ B ‎·‎ ‎∴ ∠2=∠3 ……6分 ‎3‎ O ‎∴ △ABC∽△BDA. ……9分 ‎2‎ ‎1‎ E D A ‎∴ . ……12分 ‎∴ AB·DA=BC·BD. ‎ ‎28. 【答案】‎ ‎29. (1)由题意得B(3,1).‎ 若直线经过点A(3,0)时,则b=‎ 若直线经过点B(3,1)时,则b=‎ 若直线经过点C(0,1)时,则b=1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,‎ 图1‎ ‎ 此时E(2b,0)‎ ‎∴S=OE·CO=×2b×1=b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2‎ 图2‎ 此时E(3,),D(2b-2,1)‎ ‎∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )‎ ‎= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=‎ ‎∴‎ ‎(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!‎ 图3‎ 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.‎ 过点D作DH⊥OA,垂足为H,‎ 由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,‎ 设菱形DNEM 的边长为a,‎ 则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴‎ ‎∴S四边形DNEM=NE·DH=‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.‎ ‎30.证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.‎ ‎∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成.‎ ‎∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90°.‎ ‎∵AE=CG,∴Rt△ABE≌Rt△CDG.‎ ‎∴BE=DG. 3分 ‎⑵当BC=AB时,四边形ABFC是菱形.‎ ‎∵AB∥GF,AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.‎ ‎∵Rt△ABE中,∠B=60°,∴∠BAE=30°,∴BE=AB.‎ ‎∵BE=CF,BC=AB,∴EF=AB.‎ ‎∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形 ‎31.证明:⑴∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°‎ 又∵ME⊥BC,BM平分∠ABC,∴AM=ME,∠AMN=∠EMN 又∵MN=MN,∴△△ANM≌△ENM. 3分 ‎⑵∵AB 2=AF·AC,∴=‎ 又∵∠BAC=∠FAB=90°,∴△ABF∽△ACB ‎∴∠ABF=∠C,∴∠FBC=∠ABC+∠ABF=∠ABC+∠C=90°‎ ‎∴FB是⊙O的切线. 6分 ‎⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN 又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN ‎∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM ‎∴AM=ME=EN=AN ‎∴四边形AMEN是菱形……………………………………………………………………7分 ‎∵cos∠ABD=,∠ADB=90°,∴=‎ 设BD=3x,则AB=5x,由勾股定理,得 AD==4x,而AD=12,∴x=3‎ ‎∴BD=9,AB=15. 8分 ‎∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15,∴DE=BE-BD=6.‎ ‎∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME 又∵∠NBD=∠MBE,∴△BND∽△BME,∴= …………………………10分 设ME=x,则ND=12-x ‎∴=,解得x = ……………………………………………………………11分 ‎∴S =ME·DE=×6=45………………………………………………………………12分 ‎32.(1)证明:∵四边形OABC为正方形,∴OC=OA,∵三角板OEF是等腰直角三角形,∴OE1=OF1,又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时,∠AOE1=∠COF1,∴△OAE1≌△OCF1;‎ ‎(2)存在,∵OE⊥OF,过点F与OE平行的直线有且只有一条,并且与OF垂直,又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时,则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线,又点C为⊙O外一点,过点C与⊙O相切的直线只有2条,不妨设为CF1和CF2,此时,E点分别在E1和E2点,满足CF1∥OE1,CF2∥OE2,点切点F1在第二象限时,点E1在第一象限,在Rt△CF2O中,OC=4,OF1=2,cos∠COF1=,∴∠COF1=60°,∴∠AOE1=60°,∴点E1的横坐标为2cos60°=1,点E1的纵坐标为2sin60°=,∴E1的坐标为(1,),当切点F2‎ 在第一象限时,点E2在第四象限,同理可求E2(1,-),∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得OE∥CF,此时点E的坐标分别为E1(1, 或者E2(1,-).‎
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