高中数学选修2-2课件1_7_2
1.7.2
定积分在物理中的应用
问题
引航
1.
变速直线运动的路程如何用定积分表示
?
2.
求变力
F
做了多少功，需要知道哪些条件
?
如何用定积分表示多力做功
?
1.
变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程
s
，等于其速度函数
v=
v(t)(v(t)≥0)
在时间区间
[a
，
b]
上的定积分，即
s=______.
2.
力做功
(1)
恒力做功：一物体在恒力
F(
单位：
N)
的作用下做直线运动，如果物体沿着与
F
相同的方向移动了
s
，则力
F
所做的功为
_____.
W=Fs
(2)
变力做功：如果物体在变力
F(x)
的作用下做直线运动，并
且物体沿着与
F(x)
相同的方向从
x=a
移动到
x=b(a
0
，则运动物体的路程为
s= v(t)dt
；若
v(t)<0
，则运动物体的路程为
s= |v(t)|dt=- v(t)dt.
(3)
若已知做直线运动物体的速度
-
时间图象，可以先求出速度
-
时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度
-
时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和
.
【
变式训练
】
已知
A
，
B
两地相距
400
米，甲、乙两人都沿直线从
A
地运动到
B
地，甲的运动速度为
v
甲
=2t(
米
/
秒
)
，乙的运动速度为
v
乙
= (t+5)
2
(
米
/
秒
).
若甲比乙先出发
5
秒钟，问从
A
地到
B
地的过程中，甲、乙两人能否相遇？
(
其中
t
为时间，单位：秒
)
【
解题指南
】
若从
A
地到
B
地的过程中，两人能相遇，那么甲、乙相遇时所走过的路程应该不超过
400
米，否则甲、乙相遇时已在
A
，
B
两地之外
.
【
解析
】
设乙出发
x
秒后两人相遇，则相遇时甲走过的路程是
s
1
= 2tdt=(x+5)
2
，
乙走过的路程是
s
2
= (t+5)
2
dt
=
［
(x+5)
3
-5
3
］
.
由
s
1
=s
2
，得
(x+5)
2
=
［
(x+5)
3
-5
3
］
.
整理，得
x
3
-3x
2
-105x-450=0.
设
f(x)=x
3
-3x
2
-105x-450
，
则
f(10)
＜
0
，
f(14)
＞
0.
所以该方程在区间
(10
，
14)
内必有解，并设此解为
x
0
，显然
x
0
＞
0.
当
x=x
0
时，
s
1
=s
2
=(x
0
+5)
2
＜
(14+5)
2
=361
＜
400.
因此，从
A
地到
B
地的过程中，甲、乙两人能相遇
.
【
补偿训练
】
从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为
v=gt(g
为常数
)
，则电视塔高为
( )
【
解析
】
选
C.h= gtdt= gt
2
=
类型二
求变力做功
【
典例
2】
(1)
一物体在力
F(x)=3x
2
-2x+5(
力的单位：
N
，位移单位：
m)
的作用下沿与力
F(x)
相同的方向由
x=5 m
运动到
x=
10 m
时
F(x)
做的功为
( )
A.925 J B.850 J
C.825 J
D.800 J
(2)
如图所示，一物体沿斜面在拉力
F
的作用下由
A
经
B
，
C
运动到
D
，其中
AB=50 m
，
BC=40 m
，
CD=30 m
，变力
在
AB
段运动时
F
与运动方向成
30°
角，在
BC
段运动时
F
与运动方向成
45°
角，在
CD
段运动时
F
与运动方向相同，求物体由
A
运动到
D
所做的功．
( ≈1.732
， ≈
1.414
，精确到
1 J)
【
解题探究
】
1.
变力做功的公式是什么？
2.
在题
(2)
中，
AB
段、
CD
段做功的力是多少？
【
探究提示
】
1.
变力做功的公式
W= F(x)dx.
2.
在
AB
段上做功的力为
Fcos 30°
，在
CD
段上做功的力为
Fcos 45°.
【
自主解答
】
(1)
选
C.
依题意
F(x)
做的功是
W= F(x)dx= (3x
2
-2x+5)dx
=(x
3
-x
2
+5x) =825(J).
(2)
在
AB
段运动时
F
在运动方向上的分力
F
1
=Fcos 30°
，在
BC
段运动时
F
在运动方向上的分力
F
2
=Fcos 45°.
由变力做功公式得：
W= ( x+5)cos 30°dx+ ( x+5)cos 45°dx+600
=
所以物体由
A
运动到
D
变力
F
所做的功为
1 723 J.
【
方法技巧
】
求变力做功的方法步骤
(1)
要明确变力的函数式
F(x)=kx
，确定物体在力的方向上的位移
.
(2)
利用变力做功的公式
W= F(x)dx
计算
.
(3)
注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳
.
【
变式训练
】
在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长
10 cm
所用的力是
200 N
，求变力
F
做的功
.
【
解题指南
】
弹簧的拉力与弹簧伸长的长度成正比，即
F=kx
，利用已知关系求出
k
，然后对
F(x)
求定积分即可
.
【
解析
】
设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为
F(x)=kx(k>0)
，当
x=10 cm=0.1 m
时，
F(x)=200 N
，
即
0.1k=200
，得
k=2 000
，故
F(x)=2 000x
，
所以力
F
把弹簧从平衡位置拉长
10 cm
所做的功是
【
补偿训练
】
设有一长
25 cm
的弹簧，若加以
100 N
的力，则弹簧伸长到
30 cm
，求使弹簧由
25 cm
伸长到
40 cm
所做的功．
【
解析
】
设
x
表示弹簧伸长的长度
(
单位：厘米
)
，
F(x)
表示加在弹簧上的力，
设
F(x)=kx
，依题意得
x=5
时
F(x)=100
，
所以
k=20
，
x=40-25=15
，所做的功为：
=2 250(N
·
cm)=22.5(J).
【
易错误区
】
因忽视单位换算导致计算错误
【
典例
】
已知某弹簧原长
5 dm
，在
100 N
的拉力作用下伸长到
5.1 dm
，在弹性限度内，使弹簧伸长到
6 dm
拉力的做功为
___________.
【
解析
】
设弹簧所受的拉力
F(x)=kx
，
将
x=0.01 m
①
，
F(x)=100N
①
，代入上式，得
100=0.01k
，
解得
k=10
4
(N/m)
，
故
F(x)=10
4
x
，使弹簧从
5 dm
伸长到
6 dm
，伸长了
0.1 m
①
，
所以拉力做的功为
答案：
50 J
【
常见误区
】
错解
错因剖析
500J
忽略①处的单位就会导致系数以及弹簧的伸长量出错，从而导致计算拉力做功错误，忽视②导致拉力做功出错
【
防范措施
】
1.
正确应用物理知识
在弹性限度内，弹簧的弹力大小
(
等于拉力
)
与弹簧的伸长量成正比，即
F(x)=kx
，本例应用到此知识计算系数
.
2.
正确进行单位换算是计算拉力做功的关键
由
1J=1N
·
m
知，本例中的长度单位
dm
应换为
m
，忽视了易出错
.
【
类题试解
】
在弹性限度内，弹簧拉长
1cm
要用
5N
的拉力，要把弹簧拉长
2dm
，则拉力做的功为
(
)
A.0.1J
B.0.5J
C.5J D.10J
【
解析
】
选
D.
设弹簧所受的拉力
F(x)=kx
，弹簧受
5 N
拉力的伸长量为
1 cm
，由题意，得
5=0.01k
，得
k=500
，所以
F(x)=500x
，依题意，得
