【数学】2019届一轮复习全国通用版第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲要求
考情分析
命题趋势
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2017·北京卷，13
2017·山东卷，3
2016·浙江卷，4
2015·全国卷Ⅰ，3
1．含有逻辑联结词的命题的真假判断，常结合函数、不等式、三角形问题等其他知识考查．
2．全称命题的否定，特称命题的否定．
3．常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假求参数的取值范围．
分值：5分
1．命题p∧q，p∨q，¬p的真值表
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
__真__
__真__
__假__
真
假
__假__
__真__
__假__
假
真
__假__
__真__
__真__
假
假
__假__
__假__
__真__
2．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
__∀__
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
__∃__
3．全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
__∀x∈M，p(x)__
__∃x0∈M，p(x0)__
否定
__∃x0∈M__，¬p(x0)
__∀x∈M__，¬p(x)
4．含逻辑联结词命题的真假判断
(1)p∧q中一假则假，全真才真．
(2)p∨q中一真则真，全假才假．
(3)p与¬p真假性相反．
5．必会结论
(1)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．
(2)“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)命题“5>6或5>2”是假命题．( × )
(2)p∧q为真的充分必要条件是p为真或q为真．( × )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( × )
解析 (1)错误．命题p∨q中有一真，则p∨q为真．
(2)错误．p∧q为真，则p，q同时为真．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”．
2．下列命题中的假命题是( C )
A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0
解析 当x＝1时，lg x＝0；当x＝时，tan x＝1，所以A项，B项均为真命题，显然D项为真命题．当x＝0时，x3＝0，所以C项为假命题，故选C．
3．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个命题：
①p且q；②p或q；③¬p；④¬q.
其中真命题的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵命题p为真命题，q为假命题，∴p或q，¬q为真命题，故选B．
4．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为( A )
A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n<1 000
解析 由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：∀n∈N,2n≤1 000，故选A．
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )
A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)
C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q
解析 因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则 ¬p是“甲没有降落在指定范围”，¬q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)，故选A．
一 含逻辑联结词命题的真假判断
(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤：
①先判断简单命题p，q的真假．
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系：
①p∨q真⇔p，q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假．
②p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真．
③p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假．
④p∧q假⇔p，q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真．
⑤¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．
【例1】 (1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是( C )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件．
解析 (1)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而¬p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而¬q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨
q为真命题；③p∧(¬q)为真命题；④(¬p)∨q为假命题．
(2)p或q为真命题p且q为真命题；p且q为真命题⇒p或q为真命题．
二 全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法：
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
(2)全称命题与特称命题的否定：
①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【例2】 (1)(2017·山东卷)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )
A．p∧q B．p∧¬q
C．¬p∧q D．¬p∧¬q
(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( D )
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
解析 (1)当x>0时，x＋1>1，因此ln (x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．易知B项为真命题．
(2)命题是省略量词的全称命题，故选D．
【例3】 (1)下列命题中的假命题是( B )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( C )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q是真命题
解析 (1)因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A项是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项是假命题；存在0
0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q是假命题．
三 根据命题的真假求参数的取值范围
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)全称命题可转化为恒成立问题．
【例4】 已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．
解析 若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点．因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，
所以所以00，得4a2－12a＋5>0，
解得a<或a>.
因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．
①若p真q假，则所以≤a<1；
②若p假q真，则所以a≤0或a>.
故实数a的取值范围是(－∞，0]∪∪.
1．(2018·四川资阳模拟)下列命题，为真命题的是( D )
A．∃x∈R，x2≤x－2
B．∀x∈R,2x>2－x2
C．函数f(x)＝是定义域上的减函数
D．“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”
解析 x2－x＋2＝2＋>0，即x2>x－2，故A项错误；当x＝0时，20<2－02，故B项错误；函数f(x)＝在其定义域上不是单调函数，故C项错误，只有D项正确．
2．(2018·河南许昌二模)命题“∀x≥0且x∈R,2x>x2”的否定是( C )
A．∃x0≥0且x0∈R,2x0>x
B．∀x≥0且x∈R,2x≤x2
C．∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x
D．∃x0<0且x0∈R,2x0≤x
解析 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x，故选C．
3．若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__(1，＋∞)__.
解析 由题意，命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m<0，即m>1．
4．(2018·河北邯郸一模)已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题q，p，m中的真命题是__m__.
解析 ①若A是错误的，则p是假命题，q是假命题，m是真命题，满足条件；②若B是错误的，则p是真命题，m是真命题，不满足条件；③若C是错误的，则p是真命题，p∨q不可能是假命题，不满足条件．故真命题是m.
易错点1 混淆否命题与命题的否定
错因分析：否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论．
【例1】 写出命题“若a2＋b2＝0，则实数a，b全为零”的否定及否命题．
解析 命题的否定：若a2＋b2＝0，则实数a，b不全为零．
命题的否命题：若a2＋b2≠0，则实数a，b不全为零．
【跟踪训练1】 命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为！！！ ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1 ###.
解析 因为p是¬p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
易错点2 不会判断全称命题、特称命题的真假
错因分析：
判断全称命题为真时需给出严格的证明，为假时只需举出一个反例；判断特称命题为真时，只需找出满足的一个对象，为假时可用反证法．
【例2】 下列命题中，真命题是( )
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
解析 当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故A项正确D项错误．当m＝1时，f(x)＝x2＋x是非奇非偶函数，故C项错误．又y＝x2是偶函数，则f(x)＝x2＋mx不可能是奇函数，故B项错误．
答案 A
【跟踪训练2】 给出以下命题：①∀x∈R，|x|>x；②∃α∈R，sin 3α＝3sin α；③∀x∈R，x>sin x ；④∃x∈(0，＋∞)，xx，④错．故正确命题的序号只有②.
课时达标 第3讲
[解密考纲]本考点考查命题及其相互关系，全称命题和特称命题的互化，尤其是后者，频繁出现在高考题中，常以选择题、填空题的形式呈现．
一、选择题
1．已知命题p：∀x>0，总有ex≥1，则¬p为( B )
A．∃x0≤0，使得ex0<1 B．∃x0>0，使得ex0<1
C．∀x>0，总有ex<1 D．∀x≤0，总有ex<1
解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x>0，总有ex≥1的否定为¬p：∃x0>0，使得ex0<1．故选B．
2．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是( D )
A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧¬q”是假命题
C．命题“(¬p)∨q”是真命题 D．命题“(¬p)∧(¬q)”是假命题
解析 取x0＝，有tan＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知D项是正确的．
3．(2018·河南模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－，
则下列命题为真命题的是( B )
A．∀x∈R，都有f(x)＜g(x) B．∀x∈R，都有f(x)＞g(x)
C．∃x0∈R，使得f(x0)＜g(x0) D．∃x0∈R，使得f(x0)＝g(x0)
解析 函数f(x)＝x2－2ax＋2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－＝－≤－2，显然∀x∈R，都有f(x)>g(x)，故选B．
4．命题“∃x∈R，使x2＋ax－4a＜0为假命题”是命题“－16≤a≤0”的( A )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 依题意，知x2＋ax－4a≥0恒成立，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A．
5．(2018·山东枣庄模拟)命题p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( D )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0)∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 命题p的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即关于x的不等式ax2＋ax＋1<0有解．当a＝0时，1<0，不等式不成立；当a>0时，要使不等式有解，须a2－4a>0，解得a>4或a<0，即a>4；当a<0时，不等式一定有解，即a<0.综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)，故选D．
6．(2018·河南开封一模)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，¬p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题，故选C．
二、填空题
7．(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__－1，－2，－3(答案不唯一)__.
解析 因为“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题，则它的否定“设存在实数a，b，c.若a>b>c，则a＋b≤c”是真命题．
由于a>b>c，所以a＋b>2c，又a＋b≤c，所以c<0.
因此a，b，c依次可取整数－1，－2，－3，满足a＋b≤c.
8．(2018·四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝__0__.
解析 若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.
9．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是！！！ [－2，2] ###.
解析 由题意知“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，
所以Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.
三、解答题
10．(2018·河北衡水调研)已知a∈R，命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解析 (1)由命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)可知，命题p为真时，a≤1，
命题q为真时，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1．
因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与命题q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，⇒－2＜a＜1，
当命题p为假，命题q为真时，⇒a＞1．
综上，实数a的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
11．设命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：对任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解析 命题p：f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R⇒
Δ＝16－4a2<0⇒a>2或a＜－2.
命题q：∵m∈[－1,1]，∴ ∈[2 ,3]．
∵对任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，
∴只须满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1．
∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．
①若p真q假，则⇒2＜a＜6；
②若p假q真，则⇒－2≤a≤－1，
综上，a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．
12．(2018·湖北孝感调研)命题p：f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，在[0,1]上的最大值不超过2，命题q：正数x，y满足x＋2y＝8，且a≤＋恒成立，若p∨(¬q)为假命题，求实数a的取值范围．
解析 ∵f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，∴f(x)在(－∞，a)上递增，在(a，＋∞)上递减．
当a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，
解得－1≤a≤0；
当0
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