2008年北京市东城区中考数学二模试卷

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2008年北京市东城区中考数学二模试卷

‎22 2008年北京市东城区中考数学二模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)‎ 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.‎ ‎1.如图,小手盖住的点的坐标可能为( )‎ A.(3,-4) B.(5,2) C.(-4,-6) D.(-6,3)‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 ‎2.右上图是由6个相同的小正方体搭成的几何体,那么这个几何体的俯视图是( )‎ ‎3.下列计算正确的是( )‎ A.a1+a4=a6 B.a2·a4=a8‎ C.a6÷a2=a3 D.(a4)2=a8‎ ‎4.王老师对小明在参加中考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析,要判断小明的数学成绩是否稳定,老师需要知道小明这5次数学成绩的( )‎ A.频数 B.众数 C.中位数 D.方差 ‎5.若两圆的半径分别是3和6,两圆的圆心距是9,则此两圆的位置关系是( )‎ A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 ‎6.如图,点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点,为使△DEM∽△ABC,则点M应是F、G、H、K四点中的( )‎ 第6题图 A.H B.G C.F D.K ‎7.下列图形中阴影部分的面积相等的是( )‎ 第7题图 A.①② B.②③ C.①④ D.③④‎ ‎8.已知一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7…,将这列数排成下列形式 第1行 1‎ 第2行 -2 3‎ 第3行 -4 5 -6‎ 第4行 7 -8 9 -10‎ 第5行 11 -12 13 -14 15‎ ‎… …‎ 按照上述规律排列下去,那么第10行从左边数第5个数等于( )‎ A.50 B.-‎50 ‎C.60 D.-60‎ 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)‎ ‎9.4的算术平方根是________.‎ ‎10.当x=________时,分式的值为0.‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=2.分别以A、B、C为圆心、以1为半径画圆,则图中阴影部分的面积是________.‎ 第11题图 ‎12.对于实数u,v,定义一种运算“*”为u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-有两个相等的实数根,则满足条件的实数a的值是________.‎ 三、解答题(共13个小题,共72分)‎ ‎13.(5分)计算:2-1+(-1)2007+sin30°-|-5|.‎ ‎14.(5分)先化简,然后请你选择一个合适的x的值代入求值:.‎ ‎15.(5分)解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎16.(5分)解方程:x2-6x+2=0(用配方法).‎ ‎17.(5分)如图,AD=BC,请添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.‎ 你所添加的条件为________;‎ 得到的一对全等三角形是△________≌△________.‎ 第17题图 ‎18.(5分)(列方程或方程组解应用题)‎ 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据下图提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元.‎ 第18题图 ‎19.(5分)把一副扑克牌中的3张黑桃牌(它们的正面牌面数字分别是3、4、5)洗匀后,正面朝下放在桌面上.‎ ‎(1)如果从中随机抽取一张牌,那么牌面数字是4的概率是多少?‎ ‎(2)小王和小李玩摸牌游戏,游戏规则如下:先由小王随机抽出一张牌,记下牌面数字后放回,洗匀后正面朝下,再由小李随机抽出一张牌,记下牌面数字.当2张牌面数字相同时,小王赢;当2张牌面数字不相同时,小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平,并说明理由.‎ ‎20.(5分)如图,A,B两镇相距‎60km,C镇在A镇的北偏东60°方向,在B镇的北偏西 ‎30°方向.C镇周围‎20km的圆形区域内为文物保护区.有关部门规定,该区域内禁止修路.现计划修筑连结A,B两镇的一条笔直的公路,试分析这条公路是否会经过该区域.(≈1.7)‎ 第20题图 ‎21.(5分)如图,已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.‎ ‎(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎(2)过点F作FH⊥BC,垂足为点H.若△ABC的边长为4,求FH的长(结果保留根号).‎ 第21题图 ‎22.(5分)某中学组织一次学生夏令营活动,他们将前来报名的学生按年龄(整数岁)分为A、B、C组.统计数据如下表所示.‎ 分组(岁)‎ A(10~11)‎ B(12~13)‎ C(14~15)‎ 频数 ‎15‎ y ‎25‎ 频率 x ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎(1)表中x=________;y=________;‎ ‎(2)若想从C组中抽一些人到A组,抽一些人到B组(抽到B组人数不可以为0),使A组的人数是B组的2倍,且C组的人数在3个组中不是最少的,应该怎样抽调?‎ ‎23.(7分)阅读下列材料:‎ 任意给定一个矩形ABCD,如果存在另一个矩形,使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的k倍(k≥2,且k是整数).那么我们把矩形叫做矩形ABCD的k倍矩形.‎ 例如:矩形ABCD的长和宽分别为3和1,它的周长和面积分别为8和3;矩形 的长和宽分别为4+和4-,它的周长和面积分别为16和6,这时,矩形的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍,则矩形叫做矩形ABCD的2倍矩形.‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)填空:一个矩形的周长和面积分别为10和6,则它的2倍矩形的周长为______,面积为______.‎ ‎(2)已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1,那么是否存在它的k倍矩形,且∶AB=∶BC?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎24.(7分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+2的图象经过点A和点B.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式.‎ ‎(2)把(1)中的抛物线先向左平移1个单位长度,再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有一个交点?写出此时抛物线的解析式.‎ ‎(3)将(2)中的抛物线向右平移个单位长度,再向下平移t个单位长度(t>0),此时,抛物线与x轴交于M、N两点,直线AB与y轴交于点P.当t为何值时,过M、N、P三点的圆的面积最小?最小面积是多少?‎ 第24题图 ‎25.(8分)已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连结EG、CG.‎ ‎(1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②,连结DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,并说明理由;‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)得图③,连结DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,请说明理由.‎ 第25题图 答 案 ‎22.2008年北京市东城区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 二、填空题 ‎9.2 10.1 11.2 12.0‎ 三、解答题 ‎13.解:原式.‎ ‎14.解:原式.代入求值(答案不唯一).‎ ‎15.解:解不等式①得x<-1,解不等式②得x≥-4.‎ ‎∴原不等式组的解集为-4≤x<-1.‎ 在数轴上表示如图.‎ 第15题答图 ‎16.解:x2-6x=-2,‎ x2-6x+9=-2+9,(x-3)2=7,‎ 解得x-3=±,即x=3±.‎ ‎∴x1=3+,x2=3-.‎ ‎17.(答案不唯一)所添加条件为PA=PB,‎ 得到的一对全等三角形是△PAD≌△PBC或△PAC≌△PBD.‎ 证明:(以△PAD≌△PBC为例)∵PA=PB,∴∠A=∠B.‎ 又∵AD=BC,∴△PAD≌△PBC.‎ 所添加条件,只要能证明三角形全等即可.‎ ‎18.解:设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元.‎ 依题意,得解这个方程组,得 故一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元.‎ ‎19.解:(1)P(抽到牌面数字4)=(2)游戏规则对双方不公平.‎ 理由如下:‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎4‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎5‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ 或 第19题答图 由上述表格或树状图知:所有可能出现的结果共有9种.‎ P(抽到牌面数字相同),‎ P(抽到牌面数字不相同).‎ ‎,此游戏规则不公平,小李赢的可能性大.‎ ‎20.解:作CD⊥AB于D,由题意知∠CAB=30°,∠CBA=60°,‎ 第20题答图 ‎∴∠ACB=90°,∴∠DCB=30°.‎ ‎∴在Rt△ABC中,.‎ 在Rt△DBC中,.‎ ‎∵15>20,∴这条公路不经过该区域.‎ ‎21.(1)证明:如图,连结OD,‎ 第21题答图 ‎∵△ABC为等边三角形,DF⊥AC,‎ ‎∴∠ADF=30°,∵OB=OD,∠DBO=60°,‎ ‎∴∠BDO=60°.‎ ‎∴∠ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°.‎ ‎∴DF是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵AD=BD=2,∠ADF=30°,‎ ‎∴AF=1.∴FC=AC-AF=3.‎ ‎∵FH⊥BC,∴∠FHC=90°.‎ 在Rt△FHC中,,.‎ 即FH的长为.‎ ‎22.(1)x=0.3,y=10.‎ ‎(2)解:设从C组调m人到A组,调n人到B组.‎ 依题意,得 解得,m=5+2n,.又∵n为大于零的整数,‎ ‎∴n=1或n=2.‎ ‎∴有两种调法:调7人到A组,调1人到B组;或调9人到A组,调2人到B组.‎ ‎23.(1)20 12‎ ‎(2)解:不存在.若存在,由∶AB=∶BC,‎ 可得∶=AB∶BC=2∶1(设AB是长边).‎ 又由2(+)=k·2(AB+BC),可得=k,=2k.‎ 则有k·2k=k·2,∴k2=k,∴k=0或1.‎ ‎∵k≥2,∴不存在满足条件的k.‎ ‎24.解:(1)由图象可知A(1,0),B(4,6),代入y=ax2+bx+2.‎ 得解得 ‎∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2.‎ ‎(2)原抛物线的解析式可配方为,抛物线向左平移1个单位长度后解析式为,设向上或向下平移h个单位长度,则解析式为.‎ 由A、B两点坐标可求得直线AB的解析式为y=2x-2,‎ 由 得,化简得x2-3x+h+2=0,‎ ‎∵抛物线与直线只有一个交点,即此一元二次方程只有唯一的根,‎ ‎∴b2-‎4ac=0,即9-4×(h+2)=0.‎ ‎,也就是抛物线再向上平移个单位长度能与直线AB只有一个交点,此时抛物线的解析式为.‎ ‎(3)抛物线向右平移个单位长度,再向下平移t个单位长度,解析式为y =(x-3)2-t.‎ 令y=0,即(x-3)2-t=0,则x1=3+,x2=3-.‎ 由(2)知:点P(0,-2).‎ ‎∵过M、N、P三点的圆的圆心一定在直线x=3上,点P为定点,∴要使圆的面积最小,圆的半径应等于点P到直线x=3的距离,此时,半径为3,面积为9p .设圆心为C,MN的中点为E,连结CE,CM.‎ 在三角形CEM中,∵ME2+CE2=CM2,‎ ‎∴()2+22=32,∴t=5.‎ ‎∴当t=5时,过M、N、P三点的圆的面积最小,最小面积为9p .‎ ‎25.解:(1)EG=CG.‎ 证明:∵∠DEF=∠DCF=90°,DG=GF,‎ ‎.‎ ‎(2)(1)中结论成立,即EG=CG.‎ 证明:过点F作BC的平行线,交DC的延长线于点M,连结MG.‎ ‎∴EF=CM,易证四边形EFMC为矩形.‎ ‎∴∠EFG=∠GDM.‎ 在直角三角形FMD中,DG=GF,‎ ‎∴FG=GM=GD.‎ ‎∴∠GMD=∠GDM.∴∠EFG=∠GMD.‎ ‎∴△EFG≌△CMG.∴EG=CG.‎ ‎(3)成立.证明:取BF的中点H,连结EH,GH,取BD的中点O,连结OG,OC.‎ ‎∵OB=OD,∠DCB=90°,‎ ‎.∵DG=GF,BH=HF,OD=OB,‎ ‎∴GH∥BO,且;OG∥BF,且.‎ ‎∴CO=GH.‎ ‎∵△BEF为等腰直角三角形,‎ ‎.∴EH=OG.‎ ‎∵四边形OBHG为平行四边形,∴ ∠BOG=∠BHG.‎ ‎∵∠BOC=∠BHE=90°,∴∠GOC=∠EHG.‎ ‎∴△GOC≌△EHG.∴EG=GC.‎ 第25题答图①‎ 第25题答图②‎
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