高考数学复习 函数的单调性与导数

高考数学复习 函数的单调性与导数

3.3.1函数的单 调性与导数 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 1.函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果f´(x)<0, 那么y=f(x)在这个区间内单调递增; 那么y=f(x)在这个区间内单调递减 如果f´(x)>0, 复习引入： 在某个区间（a,b)内, 2.用导证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1) 求函数f(x)的定义域；(2)求f’(x) (3)确认f’(x)在(a,b)内的符号；（4）作出结论。 例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象. (A) (B) (C) (D) h tO h tO h tO h tO 1 ),(2) ( ),(3) ( ),(4) ( )B A D C   解：（） （ （1） （2） （3） （4） 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图 象“陡峭”,在 或 内的图象“平 缓”. )(xfy  ),0( b )0,(a ),( b ),( a 通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可 以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解 释变化快慢的情况。 练习 3.讨论二次函数 的单调区间.)0()( 2  acbxaxxf 解: 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ( ) 2 .f x ax b   0 )1( a 由 , 得 , 即函数 的递增区间 是 ; 相应地, 函数的递减区间是 0)(  xf a bx 2  )(xf ),2(  a b )2,( a b 0 )2( a 由 , 得 , 即函数 的递增区间 是 ; 相应地, 函数的递减区间是 0)(  xf a bx 2  )(xf ),2(  a b)2,( a b 练习 4.求证: 函数 在 内是减函数.762)( 23  xxxf 解: 3 2( ) 2 6 7f x x x   2( ) 6 12 .f x x x   )2,0( 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减 函数. 0)(  xf 20  x )(xf )2,0( )2,0()(xf 函数单调性与导数的关系 1.如果在区间(a,b)内f’(x)>0(f’(x)<0),那么函数 f(x)在(a,b)内为增函数（减函数） 2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数） , 那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。 3 2 5ax - x x -    例1：求参数的范围 若函数f(x) 在(- ,+ )上单调递增， 求a的取值范围 题型：根据函数的单调性求参数的取值范围 3 2 5f ( x ) ax - x x - ,   解： 在(- ,+ )上单调递增 23 2 1 0f '( x ) ax - x     在(- ,+ )上恒成立。 0 4 12 0 a a     1 3a  2 12 0 1 0 1 f x ax x , , f xx x , a .     例2：已知函数（ ） ， ( ]若（ ）在 ( ]上是增函数，求 的取值范围 3 22f ' x a x  解： ( ) ∵函数在（0，1]上单调递增 f ' x ( ) 0, 3 1g x x  而 ( ) 在（0，1]上单调递增， 1a - g x g max( ) (1)=-1 所以a的范围是[-1，+ ） 3 1a - xx  即 在 （0，1]上恒成立 4 3( g' x x  ( ) >0在（0，1]上恒成立） 注： 在某个区间上， ，f（x）在 这个区间上单调递增（递减）； 但由f（x）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 f ' x( )>0(或<0) f ' x( )>0(或<0) 本题用到一个重要的转化： max min m≥f( )恒成立 ( ) ( )恒成立 ( ) x m f x m f x m f x      32 0f x ax - x x a f x a   练习2 已知函数 ( )= ， (0,1], , 若 ( )在（0，1]上是增函数，求 的取值范围。 ,  3[ )2 32f x ax - x解： ( )= 在（0，1]上是增函数， 22 3 0f ' x a - x ( )= 在（0，1]上恒成立， 23 2a x即： 在（0，1]上恒成立， 23 3 2 2g( x ) x而 在（0，1]上的最大值为 ， 3 2a  。 练习： 已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。 解：f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， ∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立， ∴a<0且△=36+12a≤0， ∴a ≤-3 例3：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。1 02x sin x  1 2f ( x ) x - sin x,x ( , )   解： 11 2f '( x ) cos x   f ( x )    在（ ， ）上是单调函数， 0 0x f x而当 时，（ )=0 1 0 02x sin x x .   方程 有唯一的根 求函数 的单调区间。 变1：求函数 的单调区间。3 23 3y x x  23 3y x x  理解训练： ' 6 3y x 解： 1 1' 0 , ' 02 2y x y x   令 得 令 得 23 3y x x   1( , )2 的单调递增区间为 单调递减区间为 1( , )2  解： 2' 9 6 3 (3 2)y x x x x    2' 0 03y x x  令 得 或 2' 0 0 3y x  令 得 3 23 3y x x   的单调递增区间为 2( ,0),( , )3   cos sin 3 3 5( , ) ( ,2 ) ( , ) (2 ,3 )2 2 . 2. .2. y x x x A B C D        函数 在下面哪个区间内是增函数( ) (04年全国理) B   ( ,2 )该函数在 上为增函数。 x x x x     ( , 2 ) sin 0, sin 0,如图,当 时， y x x x x x  ' 'cos (cos )' (sin )'解： x x xx x x    cos sin os sinc y ' 0即： x y o  2 3 y x sin 练习 作业 P98 2