2019届二轮复习等差数列和等比数列学案（全国通用）

2019届二轮复习等差数列和等比数列学案（全国通用）

考情速递：‎ ‎1 (2018年新课标Ⅰ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4,a1＝2,则a5＝( )‎ A.－12 B.－10 C.10 D.12‎ ‎【答案】：B ‎【解析】设{an}的公差为d,由3S3＝S2＋S4,得3＝2a1＋d＋4a1＋d.将a1＝2代入,解得d＝－3.∴a5＝2＋4×(－3)＝－10.‎ ‎2. （2018年北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）‎ A．f B．f C．f D．f ‎【答案】：D ‎【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为f·()8-1=f．故选D．‎ ‎3. （2018年北京）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　 　．‎ ‎【答案】：an=6n-3 ‎ ‎4．(2018年江苏)已知集合A={x|x=2n-1，n∈N }，B={x|x=2n，n∈N }．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为　 　．‎ ‎【答案】：27 ‎ ‎【解析】利用列举法可得S26=+=441+62=503，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．S27=+=546，28=45⇒1228=540，符合题意．故答案为27．‎ 例1（1）.(2018年新课标Ⅰ理)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1,则S6＝ .‎ ‎【答案】-63‎ ‎【解析】由Sn＝2an＋1,可得a1＝－1.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1,∴an＝2an－1.∴{an}是以－1为首项,以2为公比的等比数列,∴S6＝＝－63.‎ 变式训练题 ‎（2018•青岛一模）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=3a4，且S9=λa4，则λ的值为（　　）‎ A．18 B．20 C．21 D．25‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：设公差为d，由a6=3a4，且S10=λa4，‎ 得，解得λ=18，故选：A．‎ 例（1）（2018年浙江）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）‎ A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 ‎ C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4‎ ‎【答案】B ‎（2）（2018•兴安盟一模）等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，则它的前7项的和等于（　　）‎ A． B．5 C． D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】：∵等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，‎ ‎∴（a1+a7）2=4，‎ ‎∴a1+a7=2，‎ ‎∴S7=（a1+a7）==7．‎ 故选：D．‎ ‎（3）（2018•衡阳二模）在等差数列{an}中，﹣1＜＜0，若它的前n项和Sn有最大值，则当Sn＞0时，n的最大值为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【答案】：B ‎【解析】∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最大值，‎ ‎∴公差d＜0，首项a1＞0，{an}为递减数列，∵﹣1＜＜0，‎ ‎∴a6•a7＜0，a6+a7＞0，由等差数列的性质知：2a6=a1+a11＞0，a7＜0．‎ a6+a7=a1+a12＞0，∵Sn=，∴Sn＞0时，n的最大值为12．故选：B．‎ 例3(2018年新课标Ⅰ文)已知数列{an}满足a1＝1,nan＋1＝2(n＋1)an,设bn＝.‎ ‎（1）求b1,b2,b3；‎ ‎（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由；‎ ‎（3）求{an}的通项公式.‎ ‎【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．‎ ‎（2）利用定义说明数列为等比数列．‎ ‎（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．‎ ‎（2）由nan＋1＝2(n＋1)an,得＝2,即＝2.‎ 又b1＝1,∴{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎（3）由（2）得bn＝2n－1,∴an＝nbn＝n·2n－1.‎ ‎1（2018•银川模拟）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3=（　　）‎ A．﹣10 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣4‎ ‎【答案】D ‎【解析】：∵等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，‎ ‎∴a32=a1a4，∴a32=（a3﹣4）（a3+2），‎ 解得a3=﹣4故选：D．‎ ‎3（2018•凯里市校级三模）已知数列{an}满足，且a1=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设数列，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ 解：（Ⅱ）由（ I）得+1=1+（n﹣1）×1=n，‎ ‎∴an=n×2n．‎ ‎∴=2n﹣n，‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Sn=（21﹣1）+（22﹣2）+（22﹣2）+…+（2n﹣n）‎ ‎=（2+22+23+…+2n）﹣（1+2+3+…+n）=﹣=2n+1﹣﹣2．‎ 故数列{cn}的前n项和Sn=2n+1﹣﹣2．‎ 必刷题：‎ 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2018•保定二模）已知正项等比数列{an}满足a3=1，a5=，则a1的值为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【答案】：B ‎【解析】∵正项等比数列{an}满足a3=1，a5=，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴a1的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎2．（2018•信阳二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（　　）‎ A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1‎ ‎【答案】：D ‎3．（2018•玉溪模拟）已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（　　）‎ A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或 ‎【答案】A ‎【解析】：若S3、S9、S6成等差数列，‎ 则S3+S6=2S9，‎ 若公比q=1，‎ 则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，‎ 即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，‎ 即q≠1，‎ 则=，‎ 即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，‎ 即q3+q6=2q9，‎ 即1+q3=2q6，‎ 即2（q3）2﹣q3﹣1=0，‎ 解得q3=，‎ 故选：A．　‎ ‎4．（2018•长春二模）已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2=2，a5+a6=6a4，则a5=（　　）‎ A．4 B．10 C．16 D．32‎ ‎【答案】：C ‎5．（2018•大连模拟）已知等比数列{an}的前n项的和为Sn（n∈N），且S1，S2，S3，成等差数列，则数列{an}的公比q为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1 D．2‎ ‎【答案】：C ‎【解析】等比数列{an}的公比为q，‎ S1，S2，S3成等差数列，‎ 可得2S2=S1+S3，‎ 即有2（a1q+a1）=a1+a1+a1q+a1q2，‎ 化为q2=q，解得q=1，‎ 故选：A．‎ ‎6．（2018•永州三模）已知数列{an}满足an+1=2an，a1+a4=2，则a5+a8=（　　）‎ A．8 B．16 C．32 D．64‎ ‎【答案】：C ‎　‎ ‎7．（2018•马鞍山二模）已知等比数列{an}满足a1=1，a3•a5=4（a4﹣1），则a7的值为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．6‎ ‎【答案】：B ‎【解析】∵等比数列{an}满足a1=1，a3•a5=4（a4﹣1），‎ ‎∴q2•q4=4（q3﹣1），‎ ‎∴q6﹣4q3+4=0，‎ 解得q3=2，‎ ‎∴a7==1×22=4．‎ 故选：B．‎ ‎8．（2018•资阳模拟）等比数列{an}的公比不为1，若a4，a3，a5成等差数列，则=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．﹣ D．﹣‎ ‎【答案】：B ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，且q≠1，‎ ‎∵a4，a3，a5成等差数列，‎ ‎∴2a3=a4+a5，‎ ‎∴2a3=a3•q+a3•q2，‎ 即q2+q﹣2=0，‎ 解得q=﹣2，‎ ‎∴==q=﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎9．（2018•钦州三模）已知数列{an}是等比数列，若a2=1，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N ）的最小值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】：C 二．填空题（共21小题）‎ ‎10．（2018春•浦东新区期末）等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=　6　．‎ ‎【答案】：6‎ ‎【解析】等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，‎ ‎∴a3=﹣1+2d=3，‎ ‎∴d=2，‎ ‎∵an=9=﹣1+（n﹣1）×2，‎ 解得n=6，‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ ‎11．（2018春•常州期中）等差数列{an}满足2a2+a5=3，a8+a9+a10=21，则S11=　44　（Sn为数列{an}前n项和）‎ ‎【答案】：44‎ ‎【解析】在等差数列{an}中，由2a2+a5=3，a8+a9+a10=21，‎ 得，解得．‎ ‎∴S11=11×（﹣1）+=44．‎ 故答案为：44．‎ ‎12．（2018春•南通期中）已知等差数列{an}中，a1=﹣2，公差d=3，则a10的值为　25　．‎ ‎【答案】：25‎ ‎13．（2018•渝水区校级模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，且b1=6，b2=9，则的最小值为　8　．‎ ‎【答案】：8‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，‎ ‎∴b1=a1+a2+a3=6，b2=a4+a5+a6=9，‎ ‎∴b2﹣b1=3d+3d+3d=9﹣6，‎ 解得d=，‎ ‎∴a1+a1++a1+=6，‎ 解得a1=，‎ ‎∴Sn=na1+d=n+n（n﹣1）=，‎ ‎∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+（3n﹣2﹣1）×++（3n﹣1﹣1）×++（3n﹣1）×=3n+3=3（n+1），‎ ‎∴====（n++10）‎ ‎≥（10+2）=8，当且仅当n=3时取等号，‎ 故答案为：8‎ ‎14．（2018•新疆一模）等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列的{bn}的前n项和为Tn，且a1=b1=1，a4=b4=﹣8，则=　﹣　．‎ ‎【答案】-‎ 三．解答题 ‎15．（2018•黑龙江模拟）数列{an}满足an=6﹣（n∈N ，n≥2）．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若a1=6，求数列{lgan}的前999项的和．‎ ‎【分析】（1）数列{an}满足，an=6﹣（n∈N ，n≥2）．作差﹣，代入化简即可证明．‎ ‎（2）a1=6，可得=．由（1）利用等差数列的通项公式即可得出an=，取对数可得lgan=lg3+lg（n+1）﹣lgn．利用累加求和即可得出．‎ ‎【解析】（1）证明：数列{an}满足，an=6﹣（n∈N ，n≥2）．‎ ‎∴﹣=﹣==，‎ ‎∴数列是等差数列，‎ ‎（2）解：∵a1=6，∴=．‎ 由（1）知：=+=，‎ ‎∴an=，‎ ‎∴lgan=lg3+lg（n+1）﹣lgn．‎ ‎∴数列{lgan}的前999项和S=999lg3+（lg2﹣lg1+lg3﹣lg2+…+lg1000﹣lg999）=999lg3+lg1000﹣3=999lg3．‎ ‎16．（2018•烟台模拟）已知{an}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若等比数列{bn}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．‎ ‎【分析】（1）由已知利用等差数列的通项公式求得公差，进一步求得{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）求得b2，进一步求得公比，代入等比数列的前n项和公式得答案．‎ ‎17．（2018•房山区二模）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7．问：b5与数列{an}的第几项相等？‎ ‎【分析】（Ⅰ）设公差为d的等差数列{an}，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；‎ ‎（Ⅱ）设公比为q的等比数列{bn}，运用等比数列的通项公式可得公比和首项，即可得到所求b5，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2，‎ 可得2a1+d=10，d=2，‎ 解得a1=4，‎ 则an=4+2（n﹣1）=2n+2；‎ ‎（Ⅱ）设公比为q的等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，‎ 可得b2=8，b3=16，‎ 则公比q==2，b1=4，‎ 则bn=4•2n﹣1=2n+1，‎ 由2n+2=b5=26，‎ 解得n=31，‎ 则b5与数列{an}的第31项相等．‎ ‎18．（2018•蚌埠二模）已知等差数列{an}满足a2=2，a1+a4=5．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若数列{bn}满足：b1=3，b2=6，{bn﹣an}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a1=d=1，即可求出通项公式，‎ ‎（Ⅱ）b1=3，b2=6，{bn﹣an}为等比数列，求出bn=n+2n，再分组求和即可．‎ ‎∴bn﹣an=2×2n﹣1=2n，‎ ‎∴bn=n+2n，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=（1+2+3+…+n）+（2+22+… 2n）‎ ‎=+=+2n+1﹣2．‎ ‎19．（2018•凌源市模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=，且a1﹣1，2a2，a3+7成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=2log9an（n∈N ），求数列的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）根据an=Sn﹣Sn﹣1可得出{an}的递推公式，于是{an}为等比数列，根据a1﹣1，2a2，a3+‎ ‎7成等差数列解方程计算a1即可得出an；‎ ‎（2）计算bn=，使用裂项法求和．‎ ‎（2）bn=2log93n=n，∴，‎ ‎∴．‎ ‎20．（2018•潍坊二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an＞0（n∈N ），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（1）根据S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项建立关系，a1=2，即可求解数列{an}的通项公式 ‎（2）设，将{an}的通项公式带入化简可得{bn}的通项公式，利用裂项相消法前n项和为Tn，‎ ‎【解析】：（1）∵S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．‎ ‎∴2（S4+a4）=S4+a4+S5+a5‎ 化简得4a6=a4‎ ‎∵a1=2，{an}是等比数列，设公比为q，‎ 则．‎ ‎∵an＞0（n∈N ），∴q＞0‎ ‎∴q=‎ ‎∴数列{an}的通项公式an==；‎ ‎　‎ ‎21．（2018•四平模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得an．‎ ‎（2）把（1）中的an代入bn，再利用错位相减法求得Sn，再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立进而求得m的范围．‎ ‎【解析】：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．‎ 依题意，‎ 有2（a3+2）=a2+a4，‎ 代入a2+a3+a4=28，‎ 得a3=8．‎ ‎∴a2+a4=20．‎ ‎∴‎ 解之得，或 又{an}单调递增，‎ ‎∴q=2，a1=2，∴an=2n，‎ 由Sn+（n+m）an+1＜0，‎ 即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，‎ ‎∴m•2n+1＜2﹣2n+1．‎ 对任意正整数n，‎ m＜﹣1恒成立．‎ ‎∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．‎ 即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．‎ ‎22（2018•东莞市二模）已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}，的前n项和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，d≠0，运用等比数列和等差数列中项的性质，可得d，q的方程组，解方程即可得到所求通项；‎ ‎（Ⅱ）运用等比数列和等差数列的求和公式，结合数列的单调性，即可得到所求n的最小值．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，d≠0，‎ a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列，‎ 可得a1+b3=2a2，a22=b1b4，‎ 则解得（舍）或，‎ ‎∴．‎