中考数学分类多边形与平行四边形

中考数学分类多边形与平行四边形

‎2010年部分省市中考数学试题分类汇编 ‎ 多边形与平行四边形 一、选择题 ‎1. (2010年四川眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【答案】C ‎2.（2010福建龙岩）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）‎ A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 ‎【答案】C ‎3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是 A．9 B．‎8 C．6 D．4‎ ‎【答案】C ‎4. （2010年台湾省）图(十)为一个平行四边形ABCD，其中H、G两点分别在、‎ A B C D G H ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 图(十)‎ 上，^，^，且、、将ÐBAD分成 Ð1、Ð2、Ð3、Ð4四个角。若=5，=6，则下列关系何者 正确？ (A) Ð1=Ð2 (B) Ð3=Ð4(C) = (D) =‎ ‎【关键词】平行四边形 ‎【答案】A 二、填空题 ‎1.（2010年福建福州）14.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为.‎ ‎【答案】21‎ A B C E F ‎2.（2010年福建宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，‎ 则FC等于_____．‎ ‎【答案4‎ ‎3.(2010年山东滨州)如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 ‎【答案】2‎ ‎4.（2010年福建宁德）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为___________.‎ ‎【答案】4‎ 第4题图 F A E B C D 三、解答题 A B C D ‎1. (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）‎ 关系：①∥，②，③，④．‎ 已知：在四边形中，，；‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 解：已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以.‎ ‎（解法一）‎ 已知：在四边形中，①∥，③.……………………（2分）‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵∥‎ ‎∴，………………………………………（5分）‎ ‎∵，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形…………………………………………………（8分）‎ ‎（解法二）‎ 已知：在四边形中，①∥，④.………………（2分）‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴∥……………………………………………………………………（5分）‎ 又∵∥‎ ‎∴四边形是平行四边形．…………………………………………………（8分）‎ ‎（解法三）‎ 已知：在四边形中，②，④.………………（2分）‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴∥……………………………………………………………………（5分）‎ 又∵‎ ‎∴四边形是平行四边形．…………………………………………………（8分）‎ ‎（解法四）‎ 已知：在四边形中，③，④.………………（2分）‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴∥……………………………………………………………………（4分）‎ ‎∴………………………………………………………………（6分）‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴四边形是平行四边形．…………………………………………………（8分）‎ ‎2.(2010年浙江衢州)已知：如图，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．‎ A D E F B C 求证：AF=CE．‎ 证明：方法1：‎ A D E F B C ‎(第19题)‎ ‎∵　四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴AE = CF． ……2分 又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，　‎ ‎∴AD∥BC，即AE∥CF．‎ ‎∴　四边形AFCE是平行四边形．……3分 ‎∴AF=CE． ……1分 方法2：‎ ‎∵　四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，‎ ‎∴BF=DE． ……2分 又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠D，AB=CD．‎ ‎∴△ABF≌△CDE． ……3分 ‎∴AF=CE． ……1分 ‎3．（2010浙江省嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上且AE＝CF．‎ ‎（1）求证：DE＝BF；（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）‎ ‎【关键词】平行四边形的判定与性质、全等三角形 ‎【答案】（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．‎ ‎∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF．‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎∴．…5分 ‎（第3题）‎ ‎（2）连结BD，如图，‎ 图中有三对全等三角形：‎ ‎△ADE≌△CBF，‎ ‎△BDE≌△DBF，‎ ‎△ABD≌△CDB．…3分 ‎4. (2010年山东滨州)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.‎ ‎(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.‎ ‎(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？‎ 解：(1) 四边形EFGH为平行四边形，连接AC ‎ ‎∵E、F分别是AB、BC的中点，EF∥AC，EF=AC.‎ 同理HG∥AC，HG=AC.‎ ‎∴EF∥HG, EF=HG.‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形 ‎ (2) 四边形ABCD的对角线垂直且相等.‎ ‎5.（2010年江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．‎ ‎(1)求证：AC∥DE；‎ ‎(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，‎ ‎∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE；‎ ‎⑵四边形BCEF是平行四边形．‎ 理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°，‎ 又∠EDC=∠CAB，AB=CD，‎ ‎∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE，‎ ‎∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF，‎ ‎∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，‎ ‎∴EF∥BC且EF=BC，‎ ‎∴四边形BCEF是平行四边形．‎ ‎【关键词】矩形的性质 平行四边形的判定 全等三角形的判定 ‎6.（2010年福建晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）‎ A B C D 关系：①∥，②，③，④．‎ 已知：在四边形中，，；‎ 求证：四边形是．‎ ‎【关键词】平行四边形的判定 ‎【答案】已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以.‎ ‎（解法一）‎ 已知：在四边形中，①∥，③.……………………（2分）‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵∥‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎（解法二）‎ 已知：在四边形中，①∥，④.‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴∥‎ 又∵∥‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎（解法三）‎ 已知：在四边形中，②，④.‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴∥又 ‎∵‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎（解法四）‎ 已知：在四边形中，③，④.‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵，‎ ‎∴∥‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎7.（2010年贵州毕节地区）如图，已知： ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．‎ A B C D E F G ‎【关键词】平行四边形、角平分线 ‎【答案】证明：∵四边形是平行四边形（已知），‎ ‎，（平行四边形的对边平行，对边相等）‎ ‎，（两直线平行，内错角相等）‎ 又∵ BG平分，平分（已知）‎ ‎，（角平分线定义）‎ ‎，．‎ ‎，（在同一个三角形中，等角对等边）‎ ‎，即． 分 ‎7.（2010年重庆市潼南县）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.‎ ‎（1）证明：△ABE≌△DAF；‎ ‎（2）若∠AGB=30°，求EF的长.‎ ‎【关键词】全等三角形 ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ‎ ‎∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ‎∴△ABE≌△DAF-----------------------4分 ‎（2）∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠1+∠4=900‎ ‎∵∠3=∠4‎ ‎∴∠1+∠3=900‎ ‎∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD中， AD∥BC ‎∴∠1=∠AGB=300‎ 在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2 ‎ ‎∴AF= DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ‎∴AE=DF=1‎ ‎∴EF=AF-AE=-----------------------------------------10分 ‎8.（2010年江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．‎ C A B D E F 求证：∠EBF=∠FDE．‎ ‎【关键词】平行四边形 ‎【答案】‎ 证明：连接BD交AC于O点 …… 1分 C A B D E F O ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴OA=OC，OB=OD………………3分 又∵AE=CF ‎∴OE=OF ‎∴四边形BEDF是平行四边形 …… 6分 ‎∴∠EBF=∠EDF…………… 8分 D A B C ‎9.（2010年浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，.‎ ‎（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，‎ 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。‎ ‎（图1）‎ ‎（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4‎ 中用实线画出拼成的平行四边形。‎ ‎（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）‎ D A B C D A B C D A B C ‎（图4）‎ ‎（图3）‎ ‎（图2）‎ ‎ 周长为__________ 周长为__________‎ ‎（第9题）‎ ‎【关键词】平行四边形 ‎【答案】‎ 解：（1）‎ D A B C 周长为26‎ D A B C 周长为22‎ D A B C 答案不唯一 ‎10. (2010年甘肃兰州)已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，‎ BD=8．‎ ‎（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；‎ ‎（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；‎ ‎（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=‎ AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，，的代数式表示）．‎ ‎【关键词】平行四边形性质 ‎【答案】‎ 解：（1）∵AC⊥BD ‎∴四边形ABCD的面积……………2分 ‎（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E …………………………………3分 ‎∵四边形ABCD为平行四边形 在Rt⊿AOE中，‎ ‎∴…………4分 ‎∴………………………………5分 ‎∴四边形ABCD的面积……………………………………6分 ‎ (3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F …………7分 ‎ 在Rt⊿AOE中，‎ ‎∴‎ ‎ 同理可得 ‎ ‎………………………………8分 ‎…………………………………10分 ‎ ‎∴四边形ABCD的面积