【数学】2018届一轮复习人教A版不等式证明的基本方法学案

【数学】2018届一轮复习人教A版不等式证明的基本方法学案

第二节　不等式证明的基本方法 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎　　了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，24,10分(比较法证明不等式)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，24,10分(分析法、综合法证明不等式)‎ ‎2014，全国卷Ⅰ，24,10分(放缩法、反证法证明不等式)‎ ‎　　本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．比较法 作差比较法与作商比较法的基本原理：‎ ‎(1)作差法：a－b>0⇔a>b。‎ ‎(2)作商法：>1⇔a>b(a>0，b>0)。‎ ‎2．综合法与分析法 ‎(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。‎ ‎(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。‎ ‎3．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。‎ ‎4．放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。‎ ‎5．柯西不等式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立。‎ 微点提醒 ‎1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。‎ ‎2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。‎ 小|题|快|练 ‎1．设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1。‎ ‎【证明】　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1。‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤。‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c。‎ 所以＋＋≥1。‎ ‎2．设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：‎ ‎|2x＋y－4|－1；‎ 当－0。‎ 所以a3＋b3≥(a2＋b2)。‎ 考点二 ‎ 综合法、分析法证明不等式 ‎【典例2】　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3。‎ ‎(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥。‎ ‎【证明】　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，‎ ‎2x＋－2y＝2(x－y)＋ ‎＝(x－y)＋(x－y)＋ ‎≥3＝3，(当且仅当x－y＝1时，等号成立)‎ 所以2x＋≥2y＋3。‎ ‎(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，‎ 只需证(a＋b＋c)2≥3。‎ 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)。‎ 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。‎ 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立。‎ 所以原不等式成立。‎ 反思归纳　用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法。综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野。‎ ‎【变式训练】　(1)已知n≥2，求证：>－。‎ ‎(2)(2016·银川质检)已知a，b，c全为正数，且a＋b＋c＝1，求证：‎ ‎①＋＋≤1；‎ ‎②a2＋b2＋c2≥。‎ ‎【证明】　(1)要证>－，只需证>。‎ 即>，‎ 只需证 ＋>，‎ 只需证>0，‎ 只需证n>1，‎ 因为n≥2>1，所以>－。‎ ‎(2)①∵a，b，c全为正数，且a＋b＋c＝1，‎ ‎∴a＋b≥2(当且仅当a＝b时等号成立)；‎ b＋c≥2(当且仅当b＝c时等号成立)；‎ c＋a≥2(当且仅当c＝a时等号成立)，‎ ‎∴2(a＋b＋c)≥2＋2＋2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)。‎ ‎∴＋＋≤1(当且仅当a＝b＝c时等号成立)。‎ ‎②a2＋b2＋c2≥⇔a2＋b2＋c2≥⇔a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。‎ ‎∵ ‎∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋‎2ac⇒a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥(当且仅当a＝b＝c时等号成立)。‎ 考点三 ‎ 柯西不等式的应用 ‎【典例3】　(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|0，y>0，a∈R，b∈R。求证：2≤。‎ 证明　因为x>0，y>0，所以x＋y>0。‎ 所以要证2≤，‎ 即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，‎ 即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立。故2≤。‎ ‎3．设a>0，b>0，且a＋b＝＋。证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立。‎ 证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1。‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立。‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0

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