福建省龙海市程溪中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学
2019年程溪中学高二（上）期中考数学试题
考试时间：120分钟总分： 150分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 抛物线y2=-4x的焦点坐标为( )
A. (0,-2) B. (-2,0) C. (0,-1) D. (-1,0)
2. 命题“∀x∈(0,1),x2-x<0”的否定是( )
A. ∃x0∉(0,1),x02-x0≥0 B. ∃x0∈(0,1),x02-x0≥0
C. ∀x0∉(0,1),x02-x0<0 D. ∀x0∈(0,1),x02-x0≥0
3. 已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,1),且ka+b与a互相垂直,则k=( )
A. 13 B. 12 C. -13 D. -12
4. k>9是方程x29-k+y2k-4=1表示双曲线的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知抛物线C：y2=6x的焦点为F,P为抛物线C上任意一点,若M(3,12),则|PM|+|PF|的最小值是( )
A. 112 B. 6 C. 72 D. 92
6. 如图,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OM=2MA,BN=NC,则MN等于( )
A. 23a+23b+12c
B. 12a+12b-12c
C. -23a+12b+12c
D. 12a-23b+12c
7. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )
A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=1
8. 已知条件p：|x+1| >2,条件q：x>a,且￢p是￢q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A. (-∞,1] B. (-∞,-3] C. [-1,+∞) D. [1,+∞)
9. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为( )
A. x28-y210=1 B. x24-y25=1 C. x25-y24=1 D. x24-y23=1
10. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. 63 B. 33 C. 23 D. 13
11. 一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. x24-y212=1(x≥2) B. x24-y212=1(x⩽2) C. x24-y212=1 D. y24-x212=1
12. 已知P是椭圆x24+y2=1上的动点,则P点到直线l：x+y-25=0的距离的最小值为( )．
A. 102 B. 52 C. 105 D. 25
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则|a-b|的值为______ ．
14. 命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否定为______ ．
15. 直线l交椭圆x22+y2=1于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,12).则直线l的方程为______．
16. 以下是关于圆锥曲线的四个命题：
①设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹是双曲线；
②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点；
④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切．
其中真命题为______(写出所以真命题的序号)．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知命题p：方程x2-22x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1<4．
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围；
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围．
18. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2,
(Ⅰ)求C的方程；并求其焦点坐标；
(Ⅱ)过抛物线焦点的直线a交抛物线与A,B两点,且|AB|=8,求直线a的方程．
19. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点．
(1)求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值；
(2)求二面角B1-DC-C1
的平面角的余弦值．
1. 双曲线的两条渐近线的方程为y=±2x,且经过点(3,-23)
(1)求双曲线的方程；
(2)双曲线的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,∠F1PF2为60∘,求S△PF1F2．
2. 如图,在四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M．
(1)求证：AM⊥PD
(2)求点D到平面ACM的距离．
3. 在平面xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值．
2019年程溪中学高二（上）期中考数学试题
答案和解析
【答案】
1. D 2. B 3. B 4. B 5. D 6. C 7. A
8. D 9. B 10. A 11. C 12. A
13. 6
14. 若ab=0,则a≠0且b≠0
15. 2x+2y-3=0
16. ②③④
17. 解：(1)若p为真命题,则应有△=8-4m>0,
解得m<2．
(2)若q为真命题,则有m+1<2,即m<1,
因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
则p,q应一真一假．
①当p真q假时,有m<2m≥1,得1≤m<2；
②当p假q真时,有m≥2m<1,无解．
综上,m的取值范围是[1,2)．
18. 解：(Ⅰ)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-
p
2
,
由抛物线的定义可知：|MF|=1-(-
p
2
)=2,解得p=2,
因此,抛物线C的方程为y2=4x；其焦点坐标(1,0)；
(Ⅱ)设A(x1,y1)B(x2,y2),直线斜率为k(k≠0),
方程为y=k(x-1)联立y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1+x2=
2k2+4
k2
,x1x2=1,
|AB|= 1+k2 |x1-x2|=8,解得k=-1或者1,
所以直线a的方程为y=x-1或者y=-x+1．
19. 解：(1)由已知得CA,CB,BC1两两垂直,
如图所示,以C为原点,CA、CB、CC1为坐标轴,建立空间直角坐标系C-xyz,
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),
B1(0,2,2),D(2,0,1)．
所以DC1=(-2,0,1),B1C=(0,-2,-2),
所以cos
=DC1⋅B1C|DC1||B1C|=-25×8=-1010,
即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为1010;
(2)因为CB=(0,2,0),CA=(2,0,0),CC1=(0,0,2),
所以CB⋅CA=0,CB⋅CC1=0,
所以CB为平面ACC1A1的一个法向量.
因为B1C=(0,-2,-2),CD=(2,0,1),
设平面B1DC的一个法向量为n⇀,n⇀=(x,y,z)．
由{n⋅B1C=0n⇀⋅CD=0,得-2y-2z=02x+z=0
令x=1,则y=2,z=-2,n⇀=(1,2,-2)．
所以cos<n⇀,CB>=n⇀⋅CB|n⇀|⋅|CB|=43×2=23．
所以二面角B1-DC-C1的余弦值为23．
20. 解：(1)双曲线的两条渐近线的方程为y=±2x,且经过点(3,-23),
可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0),
可得2×9-12=λ,即λ=6,
即有双曲线的方程为x23-y26=1；
(2)双曲线的左右焦点分别为F1,F2,设P为双曲线右支上一点,∠F1PF2为,
双曲线x23-y26=1的a=3,b=6,c=3,
设|F1P|=m,|PF2|=n,则m-n=23①
在△F1PF2中,,
②-①2：mn=24,
∴△F1PF2的面积．
21. 证明：(1)∵在四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥AD,AB⊥PA,
∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,
∵BM⊥PD于点M,AB∩BM=B,
∴PD⊥平面ABM,
∵AM⊂平面ABM,∴AM⊥PD．
解：(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,
建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),
D(0,2,0),M(0,1,1),
AD=(0,2,0),AC=(1,2,0),AM=(0,1,1),
设平面ACM的法向量n=(x,y,z),
则n⋅AC=x+2y=0n⋅AM=y+z=0,取x=2,得n=(2,-1,1),
∴点D
到平面ACM的距离：
d=|n⋅AD||n|=26=63．
22. 解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32,
可得：4a2+1a2-c2=1ca=32,解得a=22,c=6,则b=2,
椭圆方程为：x28+y22=1；
(2)直线方程为y=12x+m,A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立方程组y=12x+mx28+y22=1,整理得：x2+2mx+2m2-4=0,
直线与椭圆要有两个交点,所以Δ=2m2-42m2-4>0,
解得-29,∴9-k<0,k-4>0,
∴方程x29-k+y2k-4=1表示双曲线,
∵方程x29-k+y2k-4=1表示双曲线,
∴(9-k)(k-4)<0,解得k>9或k<4,
∴k>9是方程x29-k+y2k-4=1表示双曲线的充分不必要条件．
故选B．
5. 【分析】
本题考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,比较基础．
利用抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离,化曲为直,即可得出结论．
【解答】
解：过点M作准线的垂线,垂足为N,
抛物线的准线方程为x=-32,
∵抛物线上的点P到焦点F距离|PF|等于点P到准线的距离d,
∴|PM|+|PF|=|PM|+d≥MN=3+32=92．
∴|PM|+|PF|的最小值是92,
故选D．
6. 【分析】
本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则,属于基础题.由BN=NC,可得ON=12(OB+OC),由OM=2MA,可得OM=23OA,可得MN=ON-OM．
【解答】
解：∵BN=NC,
∴ON=12(OB+OC),
∵OM=2MA,
∴OM=23OA．
∴MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA= -23a+12b+12c．
故选C．
7. 【分析】
本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．
利用△AF1B的周长为43,求出a=3,根据离心率为33,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程．
【解答】
解：∵△AF1B的周长为43,
且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,
∴4a=43,
∴a=3,
∵离心率为33,
∴ca=33,解得c=1,
∴b=a2-c2=2,
∴椭圆C的方程为x23+y22=1．
故选A．
8. 【分析】
本题主要考查四种命题的等价关系,及解绝对值不等式,属于基础知识、运算能力的考查．
因为“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”,所以q是p的充分不必要条件,即q是p的真子集,然后解不等式|x+1|>2,利用数轴求解即可．
【解答】
解：由题意知：
p：|x+1|>2可化简为x<-3或x>1；q：x>a．
∵“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”,
∴q是p的充分不必要条件,
根据数轴有：
∴a≥1,
故选D．
9. 【分析】
本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,属于中档题．
求出椭圆的焦点坐标,得到双曲线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程,求出双曲线实半轴与虚半轴的长,即可得到双曲线方程．
【解答】
解：椭圆x212+y23=1的焦点坐标为(±3,0),
则双曲线的焦点坐标为(±3,0),可得c=3,
双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,
可得ba=52,即c2-a2a2=54,可得ca=32,解得a=2,则b=5,
故所求的双曲线方程为：x24-y25=1．
故选B．
10. 【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、涉及直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．
根据直线与圆相切的条件,利用点到直线的距离公式得到a,b的关系,进而求得离心率．
【解答】
解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,
∴原点到直线的距离2aba2+b2=a,化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=63．
故选A．
11. 【分析】
本题考查圆与圆的位置关系,考查双曲线的定义,属于中档题．
动圆圆心为P,半径为r,已知圆圆心为N,半径为4,由题意知,动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M、N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,从而可得动圆圆心P的轨迹方程．
【解答】
解：动圆圆心为P,半径为r,已知圆圆心为N,半径为4,
由题意知：
当动圆与圆N外切时,PM=r,PN=r+4,
所以PN-PM=4;
当动圆与圆N内切时,PM=r,PN=r-4,
所以PM-PN=4;
即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,
故P在以M、N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,
∴b=23,
∴动圆圆心P的轨迹方程为x24-y212=1．
故选C．
12. 【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是求出与直线x+y-25=0平行,且与椭圆相切的直线方程,属于中档题．
设与直线x+y-25=0平行的直线方程是x+y+c=0,与椭圆方程联立,消元,令Δ=0,可得c的值,求出两条平行线的距离,即可求得椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l：x+y-2 5=0的距离的最小值．
【解答】
解：设与直线x+y-25=0平行的直线方程是x+y+c=0,与椭圆方程联立,消元可得5x2+8cx+4c2-4=0,
令Δ=64c2-20(4c2-4)=0,可得c=±5．
∴两条平行线间的距离为±5+252=102或3102,
∴椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l：x+y-25=0的距离的最小值是102．
故选A．
13. 解：∵a-b=(4,2,-4),
∴|a-b|=42+22+(-4)2=6．
故答案为：6．
求出：a-b,再利用数量积运算性质即可得出．
本题考查了向量坐标运算法则、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．
14. 【分析】
本题考查了命题的否定,注意一些否定符号和词语的对应,属于基础题．
若A则B”型命题,其否定为若A则非B．
【解答】
解：“若ab=0,则a=0或b=0”的否定为：“若ab=0,则a≠0且b≠0”,
故答案为若ab=0,则a≠0且b≠0．
15. 解：设A(x1,y1),B(x2,y2).x1+x22=1,y1+y22=12.k=y1-y2x1-x2．
由x122+y12=1,x222+y22=1,相减可得：(x1+x2)(x1-x2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴1+k=0,解得k=-1．
∴直线l的方程为：y-12=-(x-1),化为：2x+2y-3=0．
故答案为：2x+2y-3=0．
设A(x1,y1),B(x2,y2).由x122+y12=1,x222+y22=1,相减可得：(x1+x2)(x1-x2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0,利用中点坐标公式、斜率计算公式代入即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
16. 【分析】
本题主要考查了圆锥曲线的共同特征,考查椭圆和双曲线的基本性质,解题时要准确理解概念,基本知识的理解与应用,属于中档题．
【解答】
解：①不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线；
②正确.方程2x2-5x+2=0的两根分别为12和2,12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③正确,双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点,焦点在x轴上,焦点坐标为(±34,0)；
④正确；不妨设抛物线为标准方程：y2=2px(p>0),即抛物线位于y轴的右侧,以x轴为对称轴,
设过焦点的弦为PQ,PQ的中点是M,M到准线的距离是d,
而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|,
又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=|PF|+|QF|2,
由抛物线的定义可得：|PF|+|QF|2=|PQ|2=半径,
所以圆心M到准线的距离等于半径,
所以圆与准线是相切,
故答案为②③④．
17. 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查的知识点是复合命题,指数函数的图象和性质,难度中档．
(1)若p为真命题,则应有△=8-4m>0,解得实数m的取值范围；
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q应一真一假,进而可得实数m的取值范围．
18. 本题考查抛物线的简单性质的应用,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想以及计算能力．
(Ⅰ)求出抛物线的准线方程,利用抛物线的定义,求出p,即可求C的方程；求其焦点坐标；
(Ⅱ)设出A,B坐标,直线方程,联立直线AB的方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式,求解即可．
19. 本题主要考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题,包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角,本题解题的关键是建立坐标系．
(1)以C为原点,CA、CB、CC1为坐标轴,建立空间直角坐标系C-xyz,写出要用的点的坐标,写出两个向量的方向向量,根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
(2)先求两个平面的法向量,在第一问的基础上,有一个平面的法向量是已知的,只要写出向量的表示形式就可以,另一个平面的向量需要求出,根据两个法向量所成的角得到结果．
20. (1)可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0),代入点(3,-23),解方程可得λ,即可得到双曲线的方程；
(2)求出双曲线的a,b,c,设|F1P|=m,|PF2|=n,运用双曲线的定义和余弦定理,以及面积公式,计算即可得到所求．
本题考查双曲线的方程的求法,注意运用待定系数法,以及渐近线方程和双曲线的方程的关系,考查三角形的面积的求法,注意运用余弦定理和三角形的面积公式,结合双曲线的定义,考查化简整理的运算能力,属于中档题．
21. (1)推导出AB⊥AD,AB⊥PA,从而AB⊥平面PAD,由BM⊥PD,PD⊥平面ABM,AM⊥PD．
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点D到平面ACM的距离．
本题考查线线垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．
22. 本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.属于中档题．
(1)利用已知条件列出方程组,然后求解a,b即可得到椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积,然后通过基本不等式求解最值即可．
