全国高考理科数学试题及答案湖北

全国高考理科数学试题及答案湖北

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．为虚数单位，则=‎ ‎ A．- B．‎-1 ‎ C． D．1‎ ‎2．已知,则=‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数，若，则x的取值范围为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 ‎ A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3‎ ‎5．已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝‎ ‎ Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2‎ ‎6．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足（＞0,且）．若，则=‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎7．如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 ‎ A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576‎ ‎8．已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为 ‎ A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]‎ ‎9．若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 ‎ A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件 ‎10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是‎-10In2（太贝克／年），则M（60）=‎ ‎ A．5太贝克 B．75In2太贝克 ‎ C．150In2太贝克 D．150太贝克 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。‎ ‎11．的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）‎ ‎12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）‎ ‎13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为 升。‎ ‎14．如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴一与 轴重合）所在的平面为，。‎ ‎（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的 坐标为 ；‎ ‎（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。‎ ‎15．给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分10分）‎ 设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知 ‎（Ⅰ）求的周长 ‎（Ⅱ）求的值 ‎17．（本小题满分12分）‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x 的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式;‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．‎ ‎（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和为，且满足：， N*，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设…，均为正数，证明：‎ ‎（1）若……，则；‎ ‎（2）若…=1，则 参考答案 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。‎ ‎1-10 AABCCBBDCD 二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。‎ ‎11．17 12． 13． 14．（2，2）， 15．21，43‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。‎ ‎16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 的周长为 ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ，故A为锐角，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意：当；当 ‎ 再由已知得 ‎ 故函数的表达式为 ‎ （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 ‎ 当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立。‎ ‎ 所以，当在区间[20，200]上取得最大值 ‎ 综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。‎ ‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。‎ ‎18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）‎ ‎ 解法1：过E作于N，连结EF。‎ ‎ （I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，‎ ‎ 底面ABC侧面A1C。‎ ‎ 又度面侧面A，C=AC，且底面ABC，‎ ‎ 所以侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，‎ 在中，=1，‎ 则由，得NF//AC1，‎ 又故。‎ 由三垂线定理知 ‎（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。‎ 由（I）知侧面A1C，根据三垂线定理得 所以是二面角C—AF—E的平面角，即，‎ 设 在中，‎ 在 故 又 故当时，达到最小值；‎ ‎，此时F与C1重合。‎ 解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得 于是 则 故 ‎（II）设，‎ 平面AEF的一个法向量为，‎ 则由（I）得F（0，4，）‎ ‎，于是由可得 取 ‎ 又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为，‎ ‎ 于是由为锐角可得，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 由，得，即 ‎ 故当，即点F与点C1重合时，取得最小值 ‎19．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）‎ ‎ 解：（I）由已知可得，两式相减可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又所以r=0时，‎ ‎ 数列为：a，0，…，0，…；‎ ‎ 当时，由已知（），‎ ‎ 于是由可得，‎ ‎ 成等比数列，‎ ‎ ，‎ ‎ 综上，数列的通项公式为 ‎ （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ ‎ 当r=0时，由（I）知，‎ ‎ 对于任意的，且成等差数列，‎ ‎ 当，时，‎ ‎ ‎ ‎ 若存在，使得成等差数列，‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ 由（I）知，的公比，于是 ‎ 对于任意的，且 ‎ 成等差数列，‎ ‎ 综上，对于任意的，且成等差数列。‎ ‎20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）设动点为M，其坐标为，‎ ‎ 当时，由条件可得 即，‎ 又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为 当时，‎ C2的两个焦点分别为 对于给定的，‎ C1上存在点使得的充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ 由①得由②得 当 或时，‎ 存在点N，使S=|m|a2；‎ 当 或时，‎ 不存在满足条件的点N，‎ 当时，‎ 由，‎ 可得 令，‎ 则由，‎ 从而，‎ 于是由，‎ 可得 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，不存在满足条件的点N。‎ ‎21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）的定义域为，令 ‎ 当在（0，1）内是增函数；‎ ‎ 当时，内是减函数；‎ ‎ 故函数处取得最大值 ‎ （II）（1）由（I）知，当时，‎ ‎ 有 ‎ ，从而有，‎ ‎ 得，‎ ‎ 求和得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ （2）①先证 ‎ 令 ‎ 则于是 ‎ 由（1）得，即 ‎ ‎ ‎ ②再证 ‎ 记，‎ ‎ 则，‎ ‎ 于是由（1）得 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 综合①②，（2）得证。‎