高中数学讲义微专题26 未知角的三角函数值

高中数学讲义微专题26 未知角的三角函数值

- 1 - 微专题 26 求未知角的三角函数值 在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上 有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数 值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求 解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识： 1、与三角函数计算相关的公式： （1）两角和差的正余弦，正切公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （2）倍半角公式： ① ② ③ （3）辅助角公式： ，其中 2、解决此类问题的方法步骤： （1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可 3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定 其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围 有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则 ） （2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。 （3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为 ） （4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如： ，可判断出 在第一象限 二、典型例题： 例 1：已知 ， ，求：  sin sin cos sin cos         sin sin cos sin cos         cos cos cos sin sin         cos cos cos sin sin          tan tantan 1 tan tan           tan tantan 1 tan tan         sin 2 2sin cos   2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          2 2tantan 2 1 tan     2 2sin cos sina b a b       tan b a  4 3       ， 5 6 12 2         ， 4  6sin cos 5    3sin 3 5      ,2 6        - 2 - （1） （2） 解：（1）已知的角为 ，而所求角 ,故可以考虑 而 而 ，故 在第一象限 （2） 与（1）类似。考虑 ，则 小炼有话说： （1）本题先利用已知角表示未知角，然后用已知角整体代换求解 （2）注意在求已知角其他的三角函数值时，要确定已知角的范围，进而确定其他三角函数值 的符号 （3）本题第 1 问也可利用方程的思想，即 来求解， 但方程过于复杂，难于计算，要进行比较，体会题目所给方法的方便之处 例 2：已知 ，且 . （1）求 ； （2）求 . 解：（1） sin sin2 3   3 3         sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3                                  , ,2 6 3 6 2                     ， 3sin 3 5      3   4cos 3 5       1 3 3 4 3 4 3sin 2 5 2 5 10       22 2 3 3         2 2 2sin2 sin 2 sin 2 cos sin cos23 3 3 3 3 3                                        21 32sin cos 1 2sin2 3 3 2 3                               3 4 3 9 12 8 315 5 2 25 25           2 2 1 3 3sin sin cos3 2 2 5 sin cos 1                  1 13cos ,cos( )7 14     0 2     tan 2  4 30 , sin2 7      tan 4 3  - 3 - （2） 例 3：已知 ， ，求 的值． 解： 小炼有话说：本题注意如何确定两个角的范围：利用已知条件和不等式性质求解 例 4：设 ，求 解： 2 2tan 8 3tan2 1 tan 47                  cos cos cos cos sin sin                   0, 2          3 3sin 14        13 36 1cos cos cos sin sin 98 98 2              3   30 4 4       3 3 5cos ,sin4 5 4 13                 sin   3 4 4 2                 3 3sin sin cos4 4 2 4 4                                        3 3= cos cos sin sin4 4 4 4                                     30 4 4       3 30,2 4 4 4             4 3 12sin ,cos4 5 4 13                     12 3 4 5 56sin 13 5 5 13 65              1 2cos ,sin , , , 0,2 9 2 3 2 2                                     cos   2 2 2                      cos cos2 2 2                             - 4 - 例 5：已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：所求角与 相关，但题目中有 ，所以考虑利用 消去 ，即 ，化简后可得： 即 答案：D 例 6：已知 ，且 均为锐角，求 解： ① 若 为锐角， cos cos sin sin2 2 2 2                                  , , 0,2 2               , , 0,2 4 2 2 4                 , , ,2 4 2 4 2                      2 24 5 5sin 1 cos ,cos 1 sin2 2 9 2 2 3                                       1 5 2 4 5 7 5cos 2 9 3 3 9 27              2 245 239cos 2cos 1 2 12 729 729                sin sin sin 0,cos cos cos 0            cos    1 1 1 2 1 2 ,  sin ,cos  2 2sin cos 1       2 2sin sin sin sin sin cos cos 1cos cos cos                     2sin sin 2cos cos 1        1cos 2     12 4sin ,sin13 5     ,  cos 2              cos cos cos cos sin sin                   , 0, 2       2 5cos 1 sin 13      12 4sin ,sin sin13 5              - 5 - 则根据 在 单调递增，可知 ，与条件矛盾 ，代入①可得： 例 7：已知 ， ， ，则 _______ 思路一：考虑用已知角表示未知角， ，从而 ，展 开后即可利用已知角的三角函数进行整体代入，由 和 可知 ， 但 ， 所 以 不 能 判 定 的 符 号 ， 所 以 由 可 得 ： ， 分 别 代 入 表 达 式 可 计 算 出 或 ，由 可知 解： 当 时， 当 时， siny x 0, 2       sin sin    ,2           3cos 5     3 5 12 4 33cos 5 13 13 5 65       2 233 492cos 1 cos2 65 2 65       0, 2      0,2 4       7 7cos 652 6565      20 5 3sin  5 4)cos(   sin         sin sin          20 5 3sin  4cos 5  3,2 2          sin   5 4)cos(     3sin 5    sin 0  24sin 25  2     24sin 25              sin sin sin cos cos sin                   0, 2      2 4cos 1 sin 5     0, , ,2 2               3,2 2             2 3sin 1 cos 5             3sin 5   3 4 4 3 24sin 5 5 5 5 25            3sin 5    3 4 4 3sin 05 5 5 5           - 6 - 答案： 思路二：本题以 ， 为突破口，发现其三角函数值含有一定关系， 计算出 ，从而 ，所以得到 与 的关 系 。 结 合 可 知 ， 即 ，所以 解： 或 ， 若 即 ，与 矛盾，故舍去 若 即 ，则： 答案： 小炼有话说：（1）在思路一中，虽然在计算 的正弦时，没有办法简单地根据角的范 围进行取舍，但是在最后的结果中会发现有一个解是不符合题意的。在解题过程中，要时刻 关注角的范围，使之成为一道防线赶走不符合条件的解 （2）思路二是从三角函数值的特点作为突破口，进而寻求已知条件中的角之间的关系，这也 是对题目条件的一种妙用 例 8：已知 ，则 的值是______________ 解： ,2      sin 0  24sin 25  24 25 5 3sin  5 4)cos(   4cos 5   cos( ) cos cos               20    2k k Z           , 2 2 1k        24sin sin 2 2 1 sin 2 25k           0, 2      2 4cos 1 sin 5      cos( ) cos cos            2k           2k         k Z   2k         2k k Z     2       2k          2 2 1k        24sin sin 2 2 1 sin 2 2sin cos 25k              24 25    4 3cos sin6 5        7sin 6     4 3cos sin6 5        3 1 4 3 3 3 4 3cos sin sin cos sin2 2 5 2 2 5           - 7 - 例 9：已知 ，求 思路：若要求出 的值，则需要它的一个三角函数。所给条件均为正切值，所以也考虑 计算 ，其中 可由 求出。再代入式子中可得： ，下面考虑 的范围。如果按照原始条件： 可 得 ， 则 或 ， 但 本 题 可 通 过 进一步缩小 的范围。由 可知 ， 由 可知 ，所以 ，从而 解： 1 3 4 33 cos sin2 2 5        4 3 43sin sin6 5 6 5                  3 1sin sin sin cos3 6 6 2 6 2 6                                         ,2      2 7,6 3 6         2 3cos 1 sin6 6 5                    3 4 1 3 4 3 3sin 3 2 5 2 5 10                   1 1, 0,tan ,tan2 3 7                2  2    tan 2 tantan 2 1 tan 2 tan         tan 2 tan  tan 2 1    2   , , ,02           2 0,2    32 4    72 4    1 1tan ,tan3 7     ,   1tan 1,03     3 ,4       1tan 1,07     ,04       52 ,24        72 4      tan 2 tantan 2 1 tan 2 tan         1tan 3   22 122tan 33tan 2 1 tan 411 3                - 8 - 且 且 由 可知 例 10：已知在 中， ，则角 的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 思路：在 中，可知 ， ，所以若要求角 ， 结合条件 可知选择 ，将 的两 个方程平方后相加可得： ，即 ，所以 或 ，以 为突破口，若 ，则 ， 那么 ，且 。与条件 不符。所以 解： 即   3 1 tan 2 tan 4 7tan 2 13 11 tan 2 tan 1 4 7                           1tan 1,03     ,2      3 ,4        1tan 1,07      ,0   ,04        52 ,24           tan 2 1    72 4    ABC 3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A    C 30 150 30 150 90 ABC  sin sinC A B   cos cosC A B   C 3sin 4cos 6 3cos 4sin 1 A B A B       sin sinC A B  3sin 4cos 6 3cos 4sin 1 A B A B       24 sin cos sin cos 12A B B A    1sin 2A B  1sin 2 6C C    5 6C  4sin 3cos 1B A  5 6C  0, 6A     3 33cos 3 cos 16 2A     sin 0B  4sin 3cos 1B A  6C  3sin 4cos 6 3cos 4sin 1 A B A B         2 23sin 4cos 3cos 4sin 37A B A B     2 2 2 29sin 24sin cos 16cos 9cos 24sin cos 16sin 37A A B B A B A B        9 16 24 sin cos sin cos 37A B B A      124sin 12 sin( ) 2A B A B      A B C    A B C    - 9 - 或 若 ，则 与条件不符 故舍去     1sin sin sin 2C C A B      6C   5 6C  5 6C  , 0, 6A B     3sin 0,cos ,12B A       3cos 4sin 1A B   6C  