2019-2020学年福建省福州市八县一中高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省福州市八县一中高一上学期期末联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省福州市八县一中高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由诱导公式可知 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题.‎ ‎2．如图，在平行四边形中，对角线交于点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据相等向量及平面向量的线性运算,化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 平行四边形 则由向量的线性运算, ‎ 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了向量线性运算在几何中的应用,属于基础题.‎ ‎3．设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据诱导公式化简可比较.由正弦函数与正切函数的单调性,及正余弦函数的最值,即可比较与的大小.‎ ‎【详解】‎ 由诱导公式可知, ‎ 而由正弦函数的单调性及最大值可知, ‎ 所以 由正切函数的单调性可知 所以 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式的应用,正弦函数与正切函数的单调性及应用,正弦函数与余弦函数的最值,属于基础题.‎ ‎4．若，，则的终边在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】根据同角三角函数关系式,化简,结合三角函数在各象限的符号,即可判断的终边所在的象限.‎ ‎【详解】‎ 根据同角三角函数关系式 而 所以 故的终边在第四象限 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了根据三角函数符号判断角所在的象限,属于基础题.‎ ‎5．下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.‎ ‎【详解】‎ 对于A, ,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;‎ 对于B, 的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B正确;‎ 对于C, 的最小正周期为,所以C错误;‎ 对于D, 的最小正周期为,所以D错误.‎ 综上可知,正确的为B 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.‎ ‎6．函数在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数图像,先判断出A,再根据所给坐标求得最小正周期,确定的值.最后代入最高点坐标,求出,即可得函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ 由函数图像可知,最大值为2,所以 ‎ 根据函数图像的坐标,可得 所以由周期公式可得 所以解析式可表示为 将最高点坐标代入解析式可得 ‎,由 解得 所以函数解析式为 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了根据部分图像求三角函数的解析式,利用函数图像求得的值,属于基础题.‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式,先求得,再由余弦的二倍角公式即可求得.‎ ‎【详解】‎ 因为 由诱导公式可知 且由余弦的二倍角公式可知 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式在三角函数化简式中的应用,余弦二倍角公式的求值应用,属于基础题.‎ ‎8．如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平面向量共线基本定理, 设.结合向量的线性运算,化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据平面向量共线基本定理,设 而,由向量的线性运算可知 而 所以,解得 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线基本定理的应用,向量的线性运算,属于基础题.‎ ‎9．函数在区间（，）内的图象是( 　 )‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=‎ 分段画出函数图象如D图示，‎ 故选D．‎ ‎10．已知函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）‎ A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 ‎【答案】B ‎【解析】根据平移后的函数图像关于轴对称,结合正弦函数的图像与性质,可求得的值.进而由正弦函数的性质判断选项.‎ ‎【详解】‎ 函数,将函数的图象向左平移可得 因为的图象关于轴对称 则,将代入 解得 而 所以 则 根据正弦函数的图像与性质可知, 的对称轴为 解得 的对称中心为 解得 结合四个选项可知, 为的一个对称中心 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数平移变换求解析式,正弦函数的对称中心及对称轴的求法,属于基础题.‎ ‎11．若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦的和角公式,将函数化简,结合的取值范围及区间上为增函数,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由正弦函数的和角公式,变形化简可得 因为在区间上为增函数 所以满足 解不等式组可得 又因为 所以当时, ‎ 即 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的和角公式在三角函数式化简中的应用,根据函数单调区间求参数的取值范围,属于中档题.‎ ‎12．已知平面向量，，满足，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据,求得与的夹角,由可建立平面直角坐标系,用坐标表示出,,设出,即可由坐标运算求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为,设与的夹角为 则由平面向量的数量积定义可知 解得 而 则可设,由可得 由,所以设 则 所以当时取得最大值为 当时取得最小值为 所以的取值范围为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的综合应用,辅助角公式在三角函数化简求值中的应用,综合性较强,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知角的终边过点，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边过点 则 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.‎ ‎14．在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据弧度的定义求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的弧长为 ‎ 根据弧度定义可知 则 由扇形面积公式 代入可得 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了弧度的定义,扇形面积的求法,属于基础题.‎ ‎15．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据可知,点在线段的延长线上.设出点的坐标,由线段关系即可求得点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 因为 点在线段的延长线上,如下图所示:‎ 则 设,由,‎ 可得 即,解得 所以点的坐标为 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数乘关系及坐标运算,属于基础题.‎ ‎16．《周脾算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边的关系,再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1‎ 因为小正方形与大正方形的面积之比为 所以小正方形的面积为,则小正方形的边长为 由图可知 ‎ 且,‎ 两式相乘可得 化简可得 解得 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的应用,余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用,关键在与理清边长与角的关系,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，.‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）当为何值时，与平行？‎ ‎【答案】（1）10（2）‎ ‎【解析】（1）根据向量的数乘及坐标运算,先求得,即可求得.‎ ‎（2）先分别用坐标表示出与,再根据向量平行的坐标关系即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵‎ ‎（2）‎ 由与平行,则有 解得 ‎∴当时,与平行 ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的坐标运算,向量模的求法及向量平行的坐标关系,属于基础题.‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）若为第三象限角，求.‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据诱导公式,先求得,结合同角三角函数关系式即可求得.‎ ‎（2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∴,即 联立 解得或 ‎∵为第三象限角 ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题.‎ ‎19．若，是夹角为的两个向量，且，，设与.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）当时，求与的夹角的大小．‎ ‎【答案】（1）3（2）．‎ ‎【解析】（1）根据向量数量积的定义可求得,结合向量垂直的关系即可求得的值.‎ ‎（2）代入,先求得与,根据向量夹角公式即可求得夹角的余弦值,进而求得与的夹角的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 若,可得 ‎.‎ 解得.‎ ‎（2）当时,‎ 则 ‎ ‎∴,‎ 由向量的夹角公式,可得 又因为 ‎∴,所以与的夹角的大小为 ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的运算,平面向量夹角的求法,属于基础题.‎ ‎20．根据市气象站对气温变化的数据统计显示，1月下旬某天市区温度随时间变化的曲线接近于函数的图象（，单位为小时，表示气温，单位为摄氏度）.‎ ‎（1）请推断市区该天的最大温差；‎ ‎（2）若某仓库存储食品要求仓库温度不高于，根据推断的函数则这天中哪段时间仓库需要降温？‎ ‎【答案】（1）最大温差12.（2）6时到14时需要降温.‎ ‎【解析】（1）根据三角函数表达式,结合二倍角公式及辅助角公式化简,即可求得最大值和最小值,进而求得最大温差.‎ ‎（2）根据函数解析式,求得当时的取值范围,即可得需要降温的时间段.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 周期 ‎∴该地区一天的最高温度为18,最低温度为6‎ ‎∴该地区一天的最大温差12‎ ‎（2）,即 得 ‎∴时,‎ ‎∴仓库在6时到14时需要降温 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数在实际问题中的应用,三角函数式的化简求值,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.‎ ‎21．设函数，其中向量，.‎ ‎（1）求函数的解析式及其单调递增区间；‎ ‎（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）,单调递增区间为.（2）.‎ ‎【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算,代入并结合二倍角及辅助角公式化简,即可求得的解析式及其单调递增区间;‎ ‎（2）根据向量数量积的运算,可求得角.再由三角形中内角的性质求得角的取值范围,进而代入解析式求得的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数,其中向量,‎ 由向量数量积的坐标运算,可得 ‎,‎ ‎∴令,,‎ 解得,‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）∵在中,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 函数,‎ ‎∴,.‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的坐标运算,三角函数式的化简变形,二倍角公式及辅助角公式的用法,正弦函数的图像与性质的应用,属于中档题.‎ ‎22．已知函数，其中，.‎ ‎（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，，且在单调递增，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于的二次函数形式,结合即可求得的取值范围.‎ ‎（2）解法1:根据条件可求得函数的对称轴,且由可得的表达式.再根据在单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.‎ 解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵,‎ ‎∴‎ ‎∴,即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴当时,‎ ‎∴‎ ‎（2）解法1：∵‎ ‎∴为图像的对称轴 又 ‎∴‎ 两式相减得 ‎∴‎ ‎∵在单调递增,令 ‎∴在单调递增 ‎∴,则,‎ ‎①+②得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时取到最大值为 解法2：在单调递增 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴为图像的对称轴 又 ‎∴‎ 两式相加得 ‎∵‎ ‎∴或 ‎①当时,,得,‎ ‎②当时,得,‎ 当,时 时,‎ 则满足条件在单调递增,所以的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,三角函数的对称性及单调性的性质,根据条件求参数的取值范围,综合性强,对分析问题解决问题的能力要求较高,属于中档题.‎