2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简集合A,B，再求A∩B得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和交集运算，考查一元二次不等式的解法和对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．实数满足，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，指数函数是定义域R上的单调递增函数，又由，得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，指数函数是定义域R上的单调递增函数，‎ 又由，则，所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的单调性的应用，其中解答中合理根据指数函数的单调性比较大小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，即：‎ 又，‎ 向量与向量的夹角的余弦为，‎ 向量与向量的夹角为：‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．‎ ‎4．函数的零点个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求函数的定义域，然后解方程f（x）＝0，即可解得函数零点的个数．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则x2﹣4≥0，‎ 即x2≥4，x≥2或x≤﹣2．‎ 由f（x）＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝0（不成立舍去）．‎ 即x＝2或x＝﹣2，‎ ‎∴函数的零点个数为2个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点的求法和判断，先求函数的定义域是解决本题的关键，属于易错题．‎ ‎5．的部分图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，‎ f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．‎ ‎6．函数的两根是和，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，再代入得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，是方程的两个根，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查和角的正切的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平设分析推理能力.‎ ‎7．中，，，，点满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接求得解.‎ ‎【详解】‎ 依题意.‎ 由于，‎ 所以,‎ 所以 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由题得，再利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 变量，满足约束条件的可行域如图，‎ 当直线过直线和的交点时，有最小值为1，‎ 所以，‎ ‎.‎ 当且仅当时取等.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出，再求的值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，‎ 根据等比数列的性质有 ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列等比数列的性质，考查三角函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c关于B的三角函数，从而得出周长的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵锐角外接圆的半径为2，，‎ ‎∴即，‎ ‎∴，又为锐角，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝‎ ‎∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2cosB+24sin（B）+2，‎ ‎∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，正弦定理解三角形，属于中档题．‎ ‎11．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，‎ ‎，…，，若点坐标为，则（ ）‎ A．0 B．2 C．6 D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得和，和，都关于点对称，所以，再求的值得解.‎ ‎【详解】‎ 函数与的所有交点从左往右依次记为、、、和，且和，和，都关于点对称，‎ 如图所示；则，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦函数的图像，考查函数的图像和性质，考查平面向量的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列为级收敛，若数列的通项公式为，且级收敛，则的最大值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题分析可得数列是递增数列或常数列，进一步分析得到恒成立，即得t的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题意：对任意的恒成立，‎ ‎，且具有性质，‎ 则恒成立，‎ 即恒成立，‎ 据此可知数列是递增数列或常数列，‎ 当数列是递增数列时，，‎ 据此可得：恒成立，‎ 故，‎ 又数列是不可能是常数列，‎ 所以的最大值为2.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生对新定义的理解，考查数列的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数为幂函数，则__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】根据幂函数的定义求出m的值，写出的解析式，即可计算的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数为幂函数，，解得，‎ ‎，，‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数表达式得到函数的周期，得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得，其最小正周期，且，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.‎ ‎15．设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得到，，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.‎ ‎【详解】‎ 由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∵，，，，向量与的夹角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎16．已知函数，，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意可得f（x），g（x）的图象均过（-1，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞g（x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 由函数可得f（x），g（x）的图象均过（-1，1），且f（x）的对称轴为x＝，‎ 当a＞0时，对称轴大于0，由题意可得f（x）＞g（x）恰有0,1两个整数解，‎ 可得，即有，解得 当a＜0时，对称轴小于0，由题意可得f（x）＞g（x）恰有-3，﹣2两个整数解，‎ 可得，即有,解得，‎ 综上可得a的范围是或 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．记为等比数列的前项和，，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知，且的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式。‎ ‎（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得，再根据二次函数的单调性求得最大值即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的公比为，由题意得：‎ 所以，即 则 所以.‎ ‎（2）‎ 当或4时，取得最大值，且.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题。‎ ‎18．如图，的三个内角，，对应的三条边长分别是，，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）先求出a=2,即得A=C,再利用求出sinA;（Ⅱ）先求出CD，再求的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由及余弦定理得：，‎ 可知为等腰三角形，即，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）由可知，‎ 在中，，.‎ 三角形面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理和三角恒等变换，考查三角形的面积的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．设为数列的前项和，且，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】可通过和来构造数列，得出是等比数列，在带入得出首项的值，以此得出数列解析式。‎ 可以先把分成两部分依次求和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 即，则，‎ 所以，又，‎ 故数列是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 故．‎ 设，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查构造数列以及数列的错位相减法求和。‎ ‎20．2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.‎ ‎（Ⅰ）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？‎ ‎（Ⅱ）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.‎ ‎【答案】（1）7天；(2) . ‎ ‎【解析】(1) 空气中释放的浓度为,时，,时，,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度=，由不等式得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，‎ 所以空气中释放的浓度为 ‎ 当时，，解得，，‎ 当时，，解得，，综上得， ‎ 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.‎ ‎(2)设从第一次喷洒起，经天，‎ 浓度= ‎ ‎==，即，, ‎ 当时，，满足题意，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎21．若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“‎ 距”增函数.‎ ‎（Ⅰ）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）是；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用“1距”增函数的定义证明即可；（Ⅱ）由题得时， 恒成立，再对x分类讨论得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）任意，，故是“1距”增函数；‎ ‎（Ⅱ）因为，，其中，且为“2距”增函数，‎ 即时，恒成立，所以，‎ 当时，即，‎ 当时，，所以.‎ 综上所述，得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查新定义和函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎