华师版数学八年级上册同步课件-第13章-13等腰三角形

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第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形 2 等腰三角形的判定 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被 墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问， 有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C A 等腰三角形的判定 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它 们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相 等，那么它们所对的边有什么关系？ 画画看，你发现了什么？ 1 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2（角平分线的定义）， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∠B=∠C（已知）， AD=AD（公共边）， ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)， 画∠BAC的平分线交BC于点D.证明： C A B 21 D （ （ 已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC． 想想看，还可以添 加什么辅助线证明这一 结论？ 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简写成“等角对等边”）． 等角对等边 等边对等角 ∴ AC=AB ( ). 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C ( ),已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： B C A ( ( ▼ 【例1】 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC. A B C 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内 角和等于180°）， ∠A=40°，∠B=70°（已知）， ∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质）， =180°-40°-70°=70°， ∴∠C=∠B（等量代换）， ∴AB=AC. 【例2】 如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC. 证明：∵ AB∥CD （已知）, ∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠B= ∠1（等量代换）. ∴ AB=AC（等角对等边）. 1 2 A B C D ( ( 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边 三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定 理吗？ 等边三角形的判定2 A B C 三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 【判定1】 【判定2】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 1 2 动动手 若AB=AC , ∠B= 60°，求证AB=AC=BC. 【例3】 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是 等边三角形. A CB D E 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 【例4】 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角 形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 求证：△ABC是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE ， AD∥BC. 证明：∵AD∥BC(已知)， ∴∠1=∠B（两直线平行,同位角相等）, ∠2=∠C（两直线平行,内错角相等）. ∵ AD平分∠CAE， ∴ ∠1=∠2. ∴∠B=∠C. ∴ △ABC是等腰三角形. A B C D E 1 2 【例5】 如图，在Rt△ABC和Rt △A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°, AB= A'B',AC= A'C',求证： Rt△ABC≌Rt △A'B'C'. ∵ ∠ACB= ∠ A'C'B'=90°(已知）， ∴ ∠BC'B'= ∠ACB+∠ A'C'B'=180°. 即点B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B中， AB= A'B'（已知）， ∴ ∠B= ∠B'（等角对等边）. 在△ABC和 △A'B'C'中， ∠B= ∠B'（已证）， ∠ACB= ∠ A'C'B'（已知）， AC= A'C'（已知）， ∴Rt△ABC≌Rt △A'B'C'（A.A.S.）. 证明：由于直角边AC= A'C',我们移动Rt△ABC使点 A与点A'重合，点C和点C'重合，且使点B和点B'分别位 于A'C'两侧. A B' A' CB C' B （A） （C） 这样我们就 证明了前面 给出的H.L. 判定定理 1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么 三角形，为什么? △ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以 ∠C=65°, ∠B =∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形. 2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°， 则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有 ___________________________. 36° 72° △ABC △DBA △BCD A B C D ( ( 1 2 3.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周 长为______cm.9 4.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC， 则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A CB D EO B C D A E 5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求 ∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°. 6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等 边三角形，求∠AEB的大小. C B OD A E 解：∵△OAB和△OCD是两个 全等的等边三角形， ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A、O、D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(S.A.S.). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 等腰三 角形的 判定 等腰三角形的判定： 等角对等边 等边三角形的判定：三个角 都相等的三角形是等边三角 形；有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形