【数学】广西天等县高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

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【数学】广西天等县高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

广西天等县高级中学2019-2020学年 高二下学期期中考试(理)‎ 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将答案正确填写在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:共12题,每小题5分,共60分。在给出的四个选项中只有一个是符合题意的。‎ ‎1.复数满足(为虚数单位),则的虚部是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在极坐标系中,点到直线的距离是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.在平面直角坐标系中,圆经过伸缩变换后得到曲线,则曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若复数(为虚数单位),其中是实数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若直线的参数方程为,则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的单调递减区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在直角坐标系中,曲线的方程为:,直线的参数方程为(为参数),若直线与曲线相交于两点,且线段的中点为,则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.极坐标方程表示的图形是( )‎ A.两个圆 B.一个圆和一条直线 ‎ C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎10.函数的图象大致是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设复数满足(为虚数单位),在复平面内对应的点为,则( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知是定义在上的偶函数,且,当时,,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若复数(为虚数单位),则的共轭复数______________.‎ ‎14.在极坐标系中,已知两点,,则_____________.‎ ‎15.已知函数,则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.‎ ‎16.如果圆柱轴截面的周长(单位:)为定值,则体积最大值为____________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明及证明过程。‎ ‎17.(10分)设,复数(为虚数单位)是纯虚数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若是方程的一个根,求实数,的值.‎ ‎18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(1)求与的极坐标方程;‎ ‎(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.‎ ‎19.(12分)在直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数),曲线:过点.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若和交于两点,求的值.‎ ‎20.(12分)已知.‎ ‎(1)求的极值;‎ ‎(2)若直线是函数图象的一条切线,求的值.‎ ‎21.(12分)已知曲线的参数方程为(是参数),点是曲线上的动点.‎ ‎(1)求曲线的普通方程;‎ ‎(2)已知点是直线上的动点,若之间的距离最小值为,求实数的值.‎ ‎22.(12分)已知函数,;.‎ ‎(1)求的最大值;‎ ‎(2)若对,总存在使得成立,求的取值范围;‎ 参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B D A C D C B A D 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由题意得......................................2分 解得,............................................... ........4分 所以................................................................5分 由(1)知,是方程的一个根,‎ 所以...........................................6分 即..................................................8分 则,解得...............................................10分 ‎18.解:(1)由消去,得....................1分 根据...........................................................2分 的极坐标方程为................................................4分 的极坐标方程为................................................6分 ‎(2)射线与的交点的极径为...........................8分 射线与的交点的极径为........... ....................10分 所以.........................................................12分 ‎19.解:(1)由曲线:过点,有,解得............2分 所以曲线的方程为................................................... ...3分 ‎(2)曲线的参数方程可化为(为参数)............................5分 代入曲线方程得...........................................7分 设所对应的曲线的参数为,‎ 所以,....................................................9分 则...................................................................10分 所以...............................12分 ‎20.解:(1) ................................1分 令,解得或 .................................................2分 ‎ 令,解得;令,解得......................4分 则的单调递增区间为 单调递减区间为 和..............5分 所以当时,取得极小值.....................................6分 ‎ 当时,取得极大值. .............................................7分 ‎ ‎(2)令,则,解得...............................8分 ‎①当时,,则............................................10分 ‎②当时,,则 所以当直线是函数图象的一条切线时,或................12分 ‎21.解:(1)由得..........................................1分 又...............................................................2分 消去参数,得...................................................... ..4分 ‎(2)点是曲线上的动点,设...................................5分 之间的距离最小值即为点到直线的距离最小值............................6分 根据点到直线的距离公式,点到直线的距离 ‎................8分 因为,所以当时,取得最小值,即.................9分 又之间的距离最小值为,则..........................10分 解得 .故的值为..........................................12分 ‎22.解:(1)......................................... ......1分 当时,;当时,..................................2分 所以函数在上单调递增,在上单调递减............................3分 所以,即的最大值为........................................4分 ‎(2),总存在使得成立,等价于...............................................................5分 由(1)知 当时,在上单调递增,恒为正,符合题意..................6分 当时,,令解得,令解得,所以在上单调递减,在上单调递增............................7分 若,即时,,所以,即;........8分 若,即时,在上单调递减,在上单调递增,而,在为正,在为负,所以;....10分 若,即时,在上单调递减,不符合题意;.....11分 综上,的取值范围是........................................................12分
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