【数学】2019届一轮复习人教B版（文）第2章第9节函数模型及其应用学案
第九节函数模型及其应用
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.
3.某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )
A．8元/件 B．10元/件
C．12元/件 D．14元/件
解析：选B 设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．∴当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.
4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
5.(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
解析：选C 因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
6．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
7．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______万元．
解析：依题意得
即解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
解得x＝1 024(万元)．
答案：1 024
8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝ek，
所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：1 024
9．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(t∈N*)．
(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)(不要求计算过程)；
(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．
解：(1)P＝f(t)＝
Q＝g(t)＝－＋，t∈[1,40]，t∈N*.
(2)当1≤t＜20时，
S＝＝－2＋.
因为t∈N*，所以t＝10或11时，Smax＝176.
当20≤t≤40时，S＝(－t＋41)＝t2－28t＋为减函数；当t＝20时，Smax＝161.
而161＜176，所以当t＝10或11时，Smax＝176.
故当t＝10或11时，这种商品的销售额S最大，为176.
10．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)．当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：(1)由题意可得，当0＜x＜80时，L(x)＝0.05×1 000x－，当x≥80时，L(x)＝0.05×1 000x－，
即L(x)＝
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值，为950.
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值，为1 000.
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
B级——拔高题目稳做准做
1.如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.
2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C 如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4，排除A、B；
当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，
故选C.
3．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t
的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．
解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上，对称轴t＝－＝＝120，
代入数据解得
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，
最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
答案：(1)120 (2)80
4.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为__________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析：当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.
当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
5.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得0＜x＜150.
设单套丛书的利润为P元，
则P＝x－＝x－－30，
因为0＜x＜150，所以150－x＞0，
所以P＝－＋120，
又(150－x)＋≥2 ＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
6.(2018·山东德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂的质量为m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
解：(1)当m＝5时，y＝当010，显然符合题意；当x>5时，由≥5，解得55时，y′＝<0，
所以函数y＝在(5,9]上单调递减，
所以≤y<3m.综上可知≤y≤3m.
为使5≤y≤10恒成立，只要
解得≤m≤，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为.
