【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第5节椭Բ学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第5节椭Բ学案

第五节　椭　圆 ‎1．椭圆的定义 ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．‎ ‎(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；‎ ‎②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；‎ ‎③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．‎ ‎2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性 质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)，‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 离心率 e＝，且e∈(0,1)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF‎1F2的周长为‎2a＋‎2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)‎ ‎(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A.＋＝1　　　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ D　[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.‎ 又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，‎ 故椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎3．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．9‎ B　[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]‎ ‎4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. B　[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a· ‎，所以e＝＝.]‎ ‎5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________. 【导学号：51062285】‎ ‎3　[直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为‎4a＝8，即a＝2，‎ 此时，|AB|＝2×＝＝3，‎ ‎∴S△FAB＝×2×3＝3.]‎ 椭圆的定义与标准方程 ‎　(1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ 图851‎ A．椭圆　　 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0|OF|.‎ ‎∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．‎ ‎(2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，‎ 则F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎∵AF2⊥x轴，则A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0|F‎1F2|这一条件．‎ ‎(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换．‎ ‎2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.‎ 若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.‎ ‎(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．‎ ‎(1)3　(2)＋＝1　[(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝‎2a，且⊥，‎ ‎∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，‎ ‎∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，‎ ‎∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.‎ ‎∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝9，因此b＝3.‎ ‎(2)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．‎ 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，‎ ‎∴点A必在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1.①‎ 又由c＝1，得1＋b2＝a2.②‎ 由①②联立，得b2＝3，a2＝4.‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.]‎ 椭圆的几何性质 ‎　已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ‎(　　)‎ A. B. C. D. A　[法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.‎ 同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.‎ ‎∵2yN＝yE，∴＝，即2a－2c＝a＋c，‎ ‎∴e＝＝.‎ 法二：如图，设OE的中点为N，由题意知 ‎|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a.‎ ‎∵PF∥y轴，‎ ‎∴＝＝，＝＝.‎ 又＝，即＝，‎ ‎∴a＝3c，故e＝＝.]‎ ‎[规律方法]　1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．‎ ‎2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．‎ ‎[变式训练2]　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. A　[根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为‎4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以 e＝＝＝.因为1≤b<2，所以0b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为.‎ 图852‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图852，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ ‎ [解]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，3分 由d＝c，得a＝2b＝2 ，解得离心率＝.6分 ‎(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，‎ 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.10分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.‎ 从而x1x2＝8－2b2.12分 于是|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝＝.‎ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.15分 角度2　由位置关系研究直线的性质 ‎　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. ‎ ‎【导学号：51062286】‎ ‎[解]　(1)由题意有＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.3分 所以C的方程为＋＝1.6分 ‎(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).8分 将y＝kx＋b代入＋＝1，得 ‎(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.10分 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，‎ 即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.15分 ‎[规律方法]‎ ‎　1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．‎ ‎2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ‎＝(k为直线斜率)．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F‎1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．‎ ‎2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠‎ B)，这种形式在解题中更简便．‎ ‎3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：‎ ‎(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；‎ ‎(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小．‎ ‎2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．‎ ‎3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.‎ 课时分层训练(四十七)　椭　圆 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)‎ A．4　　 B．3‎ C．2 D．5‎ A　[由题意知，在△PF‎1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝‎2a－|PF2|＝10－6＝4.]‎ ‎2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. B　[原方程化为＋＝1(m>0)，‎ ‎∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，‎ 则e2＝，∴e＝.]‎ ‎3．(2017·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ‎(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ D　[设圆M的半径为r，‎ 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，‎ ‎∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，‎ 且2a＝16,2c＝8，‎ 故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]‎ ‎4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) 【导学号：51062287】‎ A．2 B．3‎ C．6 D．8‎ C　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，‎ ‎∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1‎ B.＋y2＝1‎ C.＋＝1‎ D.＋＝1‎ A　[∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.‎ 又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，‎ ‎∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·绍兴质检)已知椭圆：＋＝1(0b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，‎ ‎∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.‎ ‎∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，‎ 解得b2＝2，则a＝2b＝2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎8．如图854，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________. 【导学号：51062288】‎ 图854‎ 　[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，‎ 所以x＝±a，故B，C.‎ 又因为F(c,0)，所以＝，＝.‎ 因为∠BFC＝90°，所以·＝0，‎ 所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]‎ 三、解答题 ‎9．如图855所示，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ 图855‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．‎ ‎【解】　(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，‎ 所以e＝.7分 ‎(2)法一：a2＝‎4c2，b2＝‎3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，‎ 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，10分 所以|AB|＝·＝c.12分 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.15分 法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.10分 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，‎ 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.13分 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，‎ a＝10，b＝5.15分 ‎10．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.‎ ‎[解]　(1)由题设条件知，点M的坐标为，2分 又kOM＝，从而＝.‎ 进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.6分 ‎(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.8分 又＝(－a，b)，‎ 从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2).12分 由(1)的计算结果可知a2＝5b2，‎ 所以·＝0，故MN⊥AB.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为 ‎(　　)‎ A.　　 B．1‎ C．2 D．4‎ C　[圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，‎ 则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，‎ ‎∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．‎ 又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－c.‎ 又∵直线l与圆M相切，‎ ‎∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.]‎ ‎2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点相同，记为F，设点M是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF|＝，则M点的横坐标是________，a＋b＝________. 【导学号：51062289】‎ 　2＋　[设M(xM，yM)．易知F(1,0)，|MF|＝1＋xM＝，∴xM＝.从而y＝.‎ 由解得∴a＋b＝2＋.]‎ ‎3．(2017·舟山调研)如图856，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ 图856‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎[解]　(1)由题设知＝，b＝1，‎ 结合a2＝b2＋c2，解得a＝.3分 所以椭圆的方程为＋y2＝1.6分 ‎(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.8分 由已知Δ>0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.10分 从而直线AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋ ‎＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.15分