人教版七年级数学下全册同步练习、训练+数学下册导学案
人教版七年级数学
下全册同步练习、训练+数学下册导学案
七下数学全册同步练习 第五章 相交线与平行线
1 相交线
学习要求
1．能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、互为邻补角的概念，
掌握对顶角的性质．
2．能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为____________，那么具有这种关系
的两个角叫做互为邻补角．
2．如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________
________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．
3．对顶角的重要性质是_________________．
4．如图，直线 AB、CD 相交于 O 点，∠AOE＝90°．
(1)∠1 和∠2 叫做______角；∠1 和∠4 互为______角；
∠2 和∠3 互为_______角；∠1 和∠3 互为______角；
∠2 和∠4 互为______角．
(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；
∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；
∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．
5．如图，直线 AB 与 CD 相交于 O 点，且∠COE＝90°，则
(1)与∠BOD 互补的角有________________________；
(2)与∠BOD 互余的角有________________________；
(3)与∠EOA 互余的角有________________________；
(4)若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；
∠EOD＝______；∠AOE＝______．
二、选择题
6．图中是对顶角的是( )．
7．如图，∠1 的邻补角是( )．
(A)∠BOC (B)∠BOC 和∠AOF
(C)∠AOF (D)∠BOE 和∠AOF
8．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若 AODAOC
3
1 ，则∠BOD 的度数为( )．
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)135°
9．如图所示，直线 l1，l2，l3 相交于一点，则下列答案中，全对
的一组是( )．
(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°
(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°
(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°
(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°
三、判断正误
10．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ( )
11．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．
( )
12．有一条公共边的两个角是邻补角． ( )
13．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( )
14．对顶角的角平分线在同一直线上． ( )
15．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )
综合、运用、诊断
一、解答题
16．如图所示，AB，CD，EF 交于点 O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，求∠2 的度数．
17．已知：如图，直线 a，b，c 两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°．求∠4 的度数．
18．已知：如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COB，∠AOD∶∠DOE
＝4∶1．求∠AOF 的度数．
19．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB 的度数，但人又不能
进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?
拓展、探究、思考
20．如图，O 是直线 CD 上一点，射线 OA，OB 在直线 CD 的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，试
确定∠AOC 与∠BOD 是否为对顶角，并说明你的理由．
21．回答下列问题：
(1)三条直线 AB，CD，EF 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?
(2)四条直线 AB，CD，EF，GH 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补
角?
(3)m 条直线 a1，a2，a3，…，am－1，am 相交于点 O，则图中一共有几对对顶角(平角除
外)?几对邻补角?
2 垂 线
学习要求
1．理解两条直线垂直的概念，掌握垂线的性质，能过一点作已知直线的垂线．
2．理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．
课堂学习检测
一、填空题
1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一
条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．
2．垂线的性质
性质 1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．
3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．
4．如图，直线 AB，CD 互相垂直，记作______；直线 AB，CD 互相垂直，
垂足为 O 点，记作____________；线段 PO 的长度是点_________到
直线_________的距离；点 M 到直线 AB 的距离是_______________．
二、按要求画图
5．如图，过 A 点作 CD⊥MN，过 A 点作 PQ⊥EF 于 B．
图 a 图 b 图 c
6．如图，过 A 点作 BC 边所在直线的垂线 EF，垂足是 D，并量出 A 点到 BC 边的距离．
图 a 图 b 图 c
7．如图，已知∠AOB 及点 P，分别画出点 P 到射线 OA、OB 的垂线段 PM 及 PN．
图 a 图 b 图 c
8．如图，小明从 A 村到 B 村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，
请作出小明经过的最短路线．
综合、运用、诊断
一、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)
9．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直． ( )
10．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( )
11．一条直线的垂线只能画一条． ( )
12．平面内，过线段 AB 外一点有且只有一条直线与 AB 垂直． ( )
13．连接直线 l 外一点到直线 l 上各点的 6 个有线段中，垂线段最短． ( )
14．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( )
15．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( )
16．在三角形 ABC 中，若∠B＝90°，则 AC＞AB． ( )
二、选择题
17．如图，若 AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC＝，则∠AOD 等于( )．
(A)180°－2 (B)180°－
(C)
2
190 (D)2－90°
18．如图，点 P 为直线 m 外一点，点 P 到直线 m 上的三点 A、B、C
的距离分别为 PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点 P 到直
线 m 的距离为( )．
(A)3cm (B)小于 3cm
(C)不大于 3cm (D)以上结论都不对
19．如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则 AC 的长的取
值范围是( )．
(A)AC＜m (B)AC＞n
(C)n≤AC≤m (D)n＜AC＜m
20．若直线 a 与直线 b 相交于点 A，则直线 b 上到直线 a 距离等于 2cm
的点的个数是( )．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
21．如图，AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，DE⊥BC 于点
E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )．
(A)3 条 (B)4 条
(C)7 条 (D)8 条
三、解答题
22．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3．求∠BOC 的度数．
23．已知：如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于 O，且 CD⊥EF，∠
AOE＝70°，若 OG 平分∠BOF．求∠DOG．
拓展、探究、思考
24．已知平面内有一条直线 m 及直线外三点 A，B，C，分别过这三个点作直线 m 的垂线，
想一想有几个不同的垂足?画图说明．
25．已知点 M，试在平面内作出四条直线 l1，l2，l3，l4，使它们分别到点 M 的距离是 1.5cm．
·M
26．从点 O 引出四条射线 OA，OB，OC，OD，且 AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC 与∠
BOD 的数量关系．
27．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边
构成
7
5 直角，与钝角的另一边构成直
7
3 角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?
3 同位角、内错角、同旁内角
学习要求
当两条直线被第三条直线所截时，能从所构成的八个角中识别出哪两个角是同位角、内
错角及同旁内角．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图，若直线 a，b 被直线 c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪
种特殊位置关系的角?
(1)∠1 与∠2 是_______；(2)∠5 与∠7 是______；
(3)∠1 与∠5 是_______；(4)∠5 与∠3 是______；
(5)∠5 与∠4 是_______；(6)∠8 与∠4 是______；
(7)∠4 与∠6 是_______；(8)∠6 与∠3 是______；
(9)∠3 与∠7 是______；(10)∠6 与∠2 是______．
2．如图 2 所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．
3．如图 3 所示，
(1)∠B 和∠ECD 可看成是直线 AB、CE 被直线______所截得的_______角；
(2)∠A 和∠ACE 可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．
4．如图 4 所示，
(1)∠AED 和∠ABC 可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；
图 2 图 3 图 4
(2)∠EDB 和∠DBC 可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；
(3)∠EDC 和∠C 可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．
综合、运用、诊断
一、选择题
5．已知图①～④，
图① 图② 图③ 图④
在上述四个图中，∠1 与∠2 是同位角的有( )．
(A)①②③④ (B)①②③
(C)①③ (D)①
6．如图，下列结论正确的是( )．
(A)∠5 与∠2 是对顶角 (B)∠1 与∠3 是同位角
(C)∠2 与∠3 是同旁内角 (D)∠1 与∠2 是同旁内角
7．如图，∠1 和∠2 是内错角，可看成是由直线( )．
(A)AD，BC 被 AC 所截构成
(B)AB，CD 被 AC 所截构成
(C)AB，CD 被 AD 所截构成
(D)AB，CD 被 BC 所截构成
8．如图，直线 AB，CD 与直线 EF，GH 分别相交，图中的同旁内角共有( )．
(A)4 对 (B)8 对
(C)12 对 (D)16 对
拓展、探究、思考
一、解答题
9．如图，三条直线两两相交，共有几对对顶角?几对邻补角?几对同位角?几对内错角?几对
同旁内角?
4 平行线及平行线的判定
学习要求
1．理解平行线的概念，知道在同一平面内两条直线的位置关系，掌握平行公理及其推
论．
2．掌握平行线的判定方法，能运用所学的“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平
行．用作图工具画平行线，从而学习如何进行简单的推理论证．
课堂学习检测
一、填空题
1．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线 a 与直线 b 平行，则记作______．
2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．
3．平行公理是：_______________________________________________________________．
4．平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线 a，
b，c，若 a∥b，b∥c，则______．
5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：
(1)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么这两条直线平行．这个判定方
法 1 可简述为：____________，两直线平行．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法
2 可简述为：____________，____________．
(3)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法
3 可简述为：____________，____________．
二、根据已知条件推理
6．已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．
(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
7．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵∠B＝∠3(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(3)∵∠2＝∠A(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
综合、运用、诊断
一、依据下列语句画出图形
8．已知：点 P 是∠AOB 内一点．过点 P 分别
作直线 CD∥OA，直线 EF∥OB．
9．已知：三角形 ABC 及 BC 边的中点 D．
过 D 点作 DF∥CA 交 AB 于 M，再过
D 点作 DE∥AB 交 AC 于 N 点．
二、解答题
10．已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
(1)分析：如图，欲证 AB∥CD，只要证∠1＝______．
证法 1：
∵∠1＝∠2，(已知)
又∠3＝∠2，( )
∴∠1＝_______．( )
∴AB∥CD．(___________，___________)
(2)分析：如图，欲证 AB∥CD，只要证∠3＝∠4．
证法 2：
∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( )
又∠1＝∠2，(已知)
从而∠3＝_______．( )
∴AB∥CD．(___________，___________)
11．绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边
应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它
和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住
尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的
理论依据是什么?
拓展、探究、思考
12．已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试确定射线 DF 与 AE 的位置关系，并说明
你的理由．
(1)问题的结论：DF______AE．
(2)证明思路分析：欲证 DF______AE，只要证∠3＝______．
(3)证明过程：
证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( )
∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定义)
又∠1＝∠2，( )
从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质)
即∠3＝＿＿＿．
∴DF＿＿＿AE．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)
13．已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC．且∠1＝∠3．
求证：AB∥DC．
证明：∵∠ABC＝∠ADC，
.2
1
2
1 ADCABC ( )
又∵BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC，
.
2
12,
2
11 ADCABC ( )
∴∠______＝∠______．( )
∵∠1＝∠3，( )
∴∠2＝∠______．(等量代换)
∴______∥______．( )
14．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线 a 与直线 c 的位置关系，并说
明你的理由．
(1)问题的结论：a______c．
(2)证明思路分析：欲证 a______c，只要证______∥______且______∥______．
(3)证明过程：
证明：∵∠1＝∠2，( )
∴a∥______．(________，________)①
∵∠3＋∠4＝180°，( )
∴c∥______．(________，________)②
由①、②，因为 a∥______，c∥______，
∴a______c．(________，________)
5 平行线的性质
学习要求
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理．
2．了解平行线的判定与平行线的性质的区别．
3．理解两条平行线的距离的概念．
课堂学习检测
一、填空题
1．平行线具有如下性质：
(1)性质 1：______被第三条直线所截，同位角______．这个性质可简述为两直线______，
同位角______．
(2)性质 2：两条平行线__________________，_______相等．这个性质可简述为______
_______，_____________．
(3)性质 3：__________________，同旁内角______．这个性质可简述为_____________，
__________________．
2．同时______两条平行线，并且夹在这两条平行线间的______________叫做这两条平行线
的距离．
二、根据已知条件推理
3．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括
号内注明理由．
(1) 如 果 AB ∥ EF ， 那 么 ∠ 2 ＝ ______ ． 理 由 是
____________________________________．
(2) 如 果 AB ∥ DC ， 那 么 ∠ 3 ＝ ______ ． 理 由 是
____________________________________．
(3)如果 AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．
(4)如果 AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．
4．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵DE∥AB，( )
∴∠2＝______．(__________，__________)
(2)∵DE∥AB，( )
∴∠3＝______．(__________，__________)
(3)∵DE∥AB( )，
∴∠1＋______＝180°．(______，______)
综合、运用、诊断
一、解答题
5．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．
解题思路分析：欲求∠4，需先证明______∥______．
解：∵∠1＝∠2，( )
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠4＝______＝______°．(__________，__________)
6．已知：如图，∠1＋∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______∥______．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，( )
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠3＝∠4．(______，______)
7．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B．
求证：CD 是∠BCE 的平分线．
证明思路分析：欲证 CD 是∠BCE 的平分线，
只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，( )
∴∠2＝______．(____________，____________)
但∠1＝∠B，( )
∴______＝______．(等量代换)
即 CD 是________________________．
8．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：BE∥CF．
证明思路分析：欲证 BE∥CF，只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，( )
∴∠ABC＝______．(____________，____________)
∵∠1＝∠2，( )
∴∠ABC－∠1＝______－______，( )
即______＝______．
∴BE∥CF．(__________，__________)
9．已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A 的度数．
解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD 的大小．
解：∵CD∥AB，∠B＝35°，( )
∴∠2＝∠______＝_______°．(____________，____________)
而∠1＝75°，
∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______°．
∵CD∥AB，( )
∴∠A＋______＝180°．(____________，____________)
∴∠A＝_______＝______．
10．已知：如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求
∠D 的度数．
分析：可利用∠DCE 作为中间量过渡．
解法 1：∵AB∥CD，∠B＝50°，( )
∴∠DCE＝∠_______＝_______°．
(____________，______)
又∵AD∥BC，( )
∴∠D＝∠______＝_______°．(____________，____________)
想一想：如果以∠A 作为中间量，如何求解?
解法 2：∵AD∥BC，∠B＝50°，( )
∴∠A＋∠B＝______．(____________，____________)
即∠A＝______－______＝______°－______°＝______°．
∵DC∥AB，( )
∴∠D＋∠A＝______．(_____________，_____________)
即∠D＝______－______＝______°－______°＝______°．
11．已知：如图，AB∥CD，AP 平分∠BAC，CP 平分∠ACD，求∠APC 的度数．
解：过 P 点作 PM∥AB 交 AC 于点 M．
∵AB∥CD，( )
∴∠BAC＋∠______＝180°．( )
∵PM∥AB，
∴∠1＝∠_______，( )
且 PM∥_______．(平行于同一直线的两直线也互相平行)
∴∠3＝∠______．(两直线平行，内错角相等)
∵AP 平分∠BAC，CP 平分∠ACD，( )
2
11 ______，
2
14 ______．( )
902
1
2
141 ACDBAC ．( )
∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°．( )
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线______．
拓展、探究、思考
12．已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 M 点且 EF 交 CD 于 N 点．求证：EF⊥CD．
13．如图，DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠E 的度数．
14．问题探究：
(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角的大小有何关
系?举例说明．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小有何关系?
举例说明．
15．如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数．
16．如图，AB，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在 A，C 两点，点 E
是橡皮筋上的一点，拽动 E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C 之间具有怎
样的关系并说明理由．(提示：先画出示意图，再说明理由)．
6 命 题
学习要求
1．知道什么是命题，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分构成的．
2．对于给定的命题，能找出它的题设和结论，并会把该命题写成“如果……，那么……”
的形式．能判定该命题的真假．
课堂学习检测
一、填空题
1．______一件事件的______叫做命题．
2．许多命题都是由______和______两部分组成．其中题设是____________，结论是______
_____．
3．命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是______，
“那么”后接的部分是______．
4．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就______的命题．相反，所谓假命题就是：
如果题设成立，不能保证结论______的命题．
二、指出下列命题的题设和结论
5．垂直于同一条直线的两条直线平行．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
6．同位角相等，两直线平行．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
7．两直线平行，同位角相等．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
8．对顶角相等．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
三、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式
9．90°的角是直角．
__________________________________________________________________．
10．末位数字是零的整数能被 5 整除．
__________________________________________________________________．
11．等角的余角相等．
__________________________________________________________________．
12．同旁内角互补，两直线平行．
__________________________________________________________________．
综合、运用、诊断
一、下列语句哪些是命题，哪些不是命题?
13．两条直线相交，只有一个交点．( ) 14．不是有理数．( )
15．直线 a 与 b 能相交吗?( ) 16．连接 AB．( )
17．作 AB⊥CD 于 E 点．( ) 18．三条直线相交，有三个交点．( )
二、判断下列各命题中，哪些命题是真命题?哪些是假命题?(对于真命题画“√”，对于假命
题画“×”)
19．0 是自然数．( )
20．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．( )
21．相等的角是对顶角．( )
22．如果 AC＝BC，那么 C 点是 AB 的中点．( )
23．若 a∥b，b∥c，则 a∥c．( )
24．如果 C 是线段 AB 的中点，那么 AB＝2BC．( )
25．若 x2＝4，则 x＝2．( )
26．若 xy＝0，则 x＝0．( )
27．同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( )
28．邻补角的平分线互相垂直．( )
29．同位角相等．( )
30．大于直角的角是钝角．( )
拓展、探究、思考
31．已知：如图，在四边形 ABCD 中，给出下列论断：
①AB∥DC；②AD∥BC；③AB＝AD；④∠A＝∠C；⑤AD＝BC．
以上面论断中的两个作为题设，再从余下的论断中选一个作为结论，并用“如果……，
那么……”的形式写出一个真命题．
答：_____________________________________________________________________．
32．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
7 平 移
学习要求
了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系
和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，线段 ON 是由线段______平移得到的；线段 DE 是由线段______平移得到的；
线段 FG 是由线段______平移得到的．
2．如图所示，线段 AB 在下面的三个平移中(AB→A1B1→A2B2→A3B3)，具有哪些性质．
图 a
图 b 图 c
(1)线段 AB 上所有的点都是沿______移动，并且移动的距离都________．因此，线段 AB，
A1B1，A2B2，A3B3 的位置关系是____________________；线段 AB，A1B1，A2B2，A3B3 的
数量关系是________________．
(2)在平移变换中，连接各组对应点的线段之间的位置关系是______；数量关系是______．
3．如图所示，将三角形 ABC 平移到△A′B′C′．
图 a 图 b
在这两个平移中：
(1)三角形 ABC 的整体沿_______移动，得到三角形 A′B′C′．三角形 A′B′C′与三角
形 ABC 的______和______完全相同．
(2)连接各组对应点的线段即 AA′，BB′，CC′之间的数量关系是__________________；
位置关系是__________________．
综合、运用、诊断
一、按要求画出相应图形
4．如图，AB∥DC，AD∥BC，DE⊥AB 于 E 点．
将三角形 DAE 平移，得到三角形 CBF．
5．如图，AB∥DC．将线段 DB 向右平移，得到线段 CE．
6．已知：平行四边形 ABCD 及 A′点．将平行四边形 ABCD 平移，使 A 点移到 A′点，得平
行四边形 A′B′C′D′．
7．已知：五边形 ABCDE 及 A′点．将五边形 ABCDE 平移，使 A 点移到 A′点，得到五边形
A′B′C′D′E′．
拓展、探究、思考
一、选择题
8．如图，把边长为 2 的正方形的局部进行如图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积
是( )．
(A)18 (B)16 (C)12 (D)8
二、解答题
9．河的两岸成平行线，A，B 是位于河两岸的两个车间(如图)．要在河上造一座桥，使桥垂
直于河岸，并且使 A，B 间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从 A 到河岸的垂
线，分别交河岸 PQ，MN 于 F，G．在 AG 上取 AE＝FG，连接 EB．EB 交 MN 于 D．在 D
处作到对岸的垂线 DC，那么 DC 就是造桥的位置．试说出桥造在 CD 位置时路程最短的
理由，也就是(AC＋CD＋DB)最短的理由．
10．以直角三角形的三条边 BC，AC，AB 分别作正方形①、②、③，如何用①中各部分面积
与②的面积，通过平移填满正方形③?你从中得到什么结论?
第六章 实数
6.1 平方根
学习要求
1. 理解算术平方根和平方根的含义。
2. 会求平方根与算术平方根。
3. 会用计算器求一个数的算术平方根
课堂学习检测
1、一般地，如果一个正数的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的
记作 读作 ，a 叫做
2、用计算器计算 5 （精确到 0.0001）
3、
4
1 的算术平方根是
4、若一个数的算术平方根等于它本身，这个数是
5、下列数没有算术平方根的是（ ）
A.0 B.-1 C.10 D.102
6、正数有 个平方根，它们 ，0 的平方根是 ，负数
7、0.36 的平方根是 ，±8 是 64 的
8、5 是 25 的 根，-5 是 25 的 根
9、 16 的平方根是
10、不使用计算器，估算 79 的大小应在（ ）
A.7～8 之间 B.8.0～8.5 之间 C. 8.5～9.0 之间 D. 9～10 之间
综合、运用、诊断
11、如果 2a-18=0，那么 a 的算术平方根是 .
12、0.0625 的算术平方根是 ， 256 的算术平方根是 .
13、方程 1 1x 的根是 ．
14、比较大小 ： 15 和 4，
2
15 和 0.5
15、填空找规律（结果精确到 0.0001）
（1）利用计算器分别求
50050 5 5.0
（2）由（1）的结果，你能发现什么规律呢?
16、一个正方形的面积是 24 平方厘米，求这个正方形的周长大约是多少？（精确到 0.01）
17、计算下列各数的算术平方根
（1）144 （2） 810 （3） 26 （4）
225
121
18、下列计算正确的是（ ）
A.
2
1)4
1( 2 B.
4
1116
91 C. 3.09.0 D. 6713 22
19、计算；①
9
71 ② 22 4041 ③ 36.05
109.0
20、解方程：① 0256
812 x ② 2892 2 x
③ 2514 2 x ④ 22 3324 x
拓展、探究、思考
21、已知 2 121 y-2 0x ， ，求 xy 的值。
22、已知一个数的两个平方根分别是 2a-3 和 4-a，求这个数负的平方根是多少
23、已知 12 a 的平方根是±3， 13 ba 的算术平方根是 4，求 ba 2 的值
24、求下列各式中的 x 的值
① 52 x ② 3223 xx ③
2
5
x
x
6.2 立方根
学习要求
1. 理解立方根的含义，理解一个正数的立方根是正数、一个负数的立方根是负数、0 的立
方根是 0；会求一个数的立方根。
2. 理解 3 3a a ，会用计算器求一个数的立方根。
课堂学习检测
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A.8 的立方根是 2 B.－8 的立方根是－2
C.0 的立方根是 0 D. 3 2a 的立方根是 a
2．
64
611 的立方根是（ ）
A.
4
611
3
B.
4
11 C.
4
11 D.
4
11
3．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4．下列说法正确的是（ ）
⑴ 正数都有平方根；⑵ 负数都有平方根，
⑶ 正数都有立方根；⑷ 负数都有立方根；
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5． 3
8 的相反数是（ ）
A． 2 B． 2 C． 1
2
D． 1
2
6. 3 37 的正确结果是（ ）
A.7 B.－7 C.±7 D.无意义
7．下列运算中不正确的是 （ ）
A. 33 aa B. 3273
C. 1323 33 D. 464113
8． 64 的立方根是（ ）
A.-4 B.±2 C.±4 D.-2
9．估计 68 的立方根的大小在（ ）
A ．2 与 3 之间 B．3 与 4 之间
C．4 与 5 之间 D．5 与 6 之间
10．一个正方体的水晶砖，体积为 100cm3，它的棱长大约在（ ）
A. 4cm~5cm 之间 B. 5cm~6cm 之间
C. 6cm~7cm 之间 D. 7cm~8cm 之间
二、填空题
11．64 的平方根是 ，64 的立方根是 .
12.立方根是 3 的数是 ，算术平方根是 3 的数 .
13.一个数的立方根是 m，则这个数是 .[来源:学科网 ZXXK]
14.－216 的立方根是 ，立方根是－0.2 的数是 .
15． 3 27 = ，它的倒数是 ，它的绝对值是 ；[来源:学科网 ZXXK]
16.若 195 x 的立方根是 4，则3 4x 的平方根是 ；
17.若 0278 3 x ，则 x = ；
三、解答题
18.求下列各数的立方根：
⑴ 3 8 ⑵ 3 064.0 ⑶ 3
125
8 ⑷ 33 9
19. 若 8a 与 227b 互为相反数，求 33 ba 的立方根.
综合、运用、诊断
20.⑴ 填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
3 a
⑵ 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律。
⑶ 根据你发现的规律填空：
① 已 知 442.133 ， 则 3 3000 ， 3 003.0 ， ② 已 知
07696.0000456.03 ，则 3 456 ；
拓展、探究、思考
21、在一次设计比赛中，两位参赛者每人可得到 1 立方米的可塑性材料，甲把它塑造成球体，
乙把它塑造成正方体。按照比赛规定，作品高度不超过 1.1m，分析说明他们设计的作品是
否符合要求。
6.3 实数
学习要求
1. 理解无理数、实数的定义与实数的分类.
2. 有理数的运算 法则和运算性质在实数范围内仍然.
课堂学习检测
一、选择题
1．下列命题错误的是（ ）
A、 3 是无理数 B、π＋1 是无理数
C、
2
3 是分数 D、 2 是无限不循环小数
2. 下列各数中，一定是无理数的是（ ）
A、带根号的数 B、无限小数
C、不循环小数 D、无限不循环小数
3．下列实数 31
7
， π ，3.141 59 ， 8 ， 3 27 ， 21 中无理数有（ ）
Ａ． 2 个 Ｂ．3个 Ｃ． 4 个 Ｄ．5个
4．下列各式中，无论 x 取何实数，都没有意义的是（ ）
Ａ． 2 006x Ｂ． 22 006 1x
Ｃ． 22 006x Ｄ． 3 2 006 3x
5．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
Ａ． 2 与 3 8 Ｂ． 4 与 2( 4)
Ｃ． 3 2 与 3 2 Ｄ． 2 与 1
2
6. 在实数范围内，下列判断正确的是 （ ）
A、若 baba 则, B、若 baba 则,2
C、若 22, baba 则 D、若 baba 则,33
[来源:Z&xx&k.Com]
7. 若 x 是有理数，则 x 是 （ ）
A、0 B、正实数 C、完全平方数 D、以上都不对
二、填空题
8.⑴ 一个数的平方等于它的本身的数是
⑵ 平方根等于它的本身的数是
⑶ 算术平方根等于它的本身的数是
⑷ 立方根等于它的本身的数是
⑸ 大于 0 且小于π的整数是
⑹ 满足 21 ＜x ＜ 15 的整数 x 是
9.到原点的距离为 34 的点表示的数是 ；
10.若 32 x ，则 x = ，
11. 实数与数轴上的点
12．写出 3 和 2 之间的所有的整数为____．
13．比较大小： 2 11 ____3 5
14．计算： 22 3 ( 4) 2 3 ____．
15．点 A 的坐标是 ( 2 2 3)， ，将点 A 向下平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长
度，得点 B ，则点 B 的坐标是____．
16．点 A 在数轴上和原点相距3个单位，点 B 在数轴上和原点相距 5 个单位，则 A ，B 两
点之间的距离是____．
17．如果 a 是 15 的整数部分， b 是 15 的小数部分， a b =________．
三、解答题
18．1．把下列各数分别填在 相应的括号内： 5 ， 3 ， 0 ， 3 4 ， 0.3， 22
7
， 1.732 ，
25 ， 3 16 ， 3 1 ， 27 ， π
2
， 3 29 ， 0.101 001 000 1
整数 ；分数 ；
正数 ；负数 ；
有理数 ；无理数 ；
19.如图 1，甲边形 ABCD 是正方形，且点 A B， 在 x 轴上，求顶点C 和 D 的坐标．
20.计算：
（1） 2 3 3 2 5 3 3 2 ；
（2） 3 2 3 1 ；
（3） π2 5 15 2
；（用计算器，保留 4 个有效数字）
综合、运用、诊断
21、有没有最小的正整数？有没有最小的整数？有没有最小的有理数？有没有最小的无理数?
有没有最小的实数？有没有绝对值最小的实数？
22、已知 a、b 满足 0382 ba ，解关于 x 的方程 12 2 abxa 。
23、已知 x、y 都是实数，且 3 3 4y x x ，求 xy 的平方根 。
24、如果 A= 32 3 ba ba 为 3a b 的算数平方根，B= 12 21 ba a 为 21 a 的立方根，求 A+B
的平方根。
25 、 实 数 a 、 b 互 为 相 反 数 ， c 、 d 互 为 倒 数 ， X 的 绝 对 值 为 7 ， 求 代 数 式
2 3( )x a b cd x a b cd 的值。
拓展、探究、思考
26、观察
22 5
8
5
4 2
5
22 5
，
即 22 5
22 5
；
33 10
27
10
9 3
10
33 10
即 33 10
33 10
；
猜想：，并通过计算验证 55 26
你的猜想。等于什么
第七章 平面直角坐标系
1 平面直角坐标系
学习要求
认识并能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、
由点的位置写出它的坐标．
(一)课堂学习检测
1．填空
(1)平面内两条互相______并且原点______的______，组
成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为______或
______，习惯上取______为正方向；竖直的数轴称为
______或______，取______为正方向；两坐标轴的交
点叫做平面直角坐标系的______．直角坐标系所在的
______叫做坐标平面．
(2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个
______来表示．如果有序数对(a，b)表示坐标平面内的点 A，那么有序数对(a，b)
叫做______．其中，a 叫做 A 点的______；b 叫做 A 点的______．
(3)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被______分成了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，
如图所示，分别叫做______、______、______、______．注意______不属于任何象限．
(4)坐标平面内，点所在的位置不同，它的坐标的符号特征如下：(请用“＋”、“－”、“0”
分别填写)
点的位置 点的横坐标符号 点的纵坐标符号
在第一象限
在第二象限
在第三象限
在第四象限
在 x 轴的正半轴上
在 x 轴的负半轴上
在 y 轴的正半轴上
在 y 轴的负半轴上
在原点
2．如图，写出图中各点的坐标．
A( ， )；B( ， )；C( ， )；
D( ， )；E( ， )；F( ， )；
G( ， )；H( ， )；L( ， )；
M( ， )；N( ， )；O( ， )；
3．分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连结起来．
(1)A(－6，－4)、B(－4，－3)、C(－2，－2)、D(0，－1)、E(2，0)、F(4，1)、G(6，
2)、H(8，3)．
(2)A(－5，－2)、B(－4，－1)、C(－3，0)、 D(－2，1)、E(－1，2)、 F(0，3)、
G(1，2)、H(2，1)、L(3，0)、M(4，－1)、N(5，－2)．
4．分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各
组内的点，用平滑的曲线依次连结起来．
(1)A(1，4)、 B(2，2)、
C(1，
3
4 )、 D(4，1)、
E(6，
3
2 )、 F(－1，－4)、
G(－2，－2)、 H(－3，－
3
4 )、
L(－4，－1)、 M(－6，－
3
2 )
(2)A(0，－4)、 B(1，－3)、
C(－1，－3)、 D(2，0)、
E(－2，0)、 F(2.5，2.25)、
G(－2.5，2.25)、 H(3，5)、
L(－3，5)．
5．下列各点 A(－6，－3)，B(5，2)，C(－4，3．5)， )4
3,2(D ，E(0，－9)，F(3，0)中，
属于第一象限的有______；属于第三象限的有______；在坐标轴上的有______．
6．设 P(x，y)是坐标平面上的任一点，根据下列条件填空：
(1)若 xy＞0，则点 P 在______象限；
(2)若 xy＜0，则点 P 在______象限；
(3)若 y＞0，则点 P 在______象限或在______上；
(4)若 x＜0，则点 P 在______象限或在______上；
(5)若 y＝0，则点 P 在______上；
(6)若 x＝0，则点 P 在______上．
7．已知正方形 ABCD 的边长为 4，它在坐标系内的位置如图所示，请你求出下列情况下四
个顶点的坐标．
(二)综合运用诊断
8．试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的
位置关系．
(1)在图 1 中，过 A(－2，3)、B(4，3)两点作直线 AB，
则直线 AB 上的任意一点 P(a，b)的横坐标可以取
______，纵坐标是______．直线 AB 与 y 轴______，
垂足的坐标是______；直线 AB 与 x 轴______，AB
与 x 轴的距离是______.
(2)在图 1 中，过 A(－2，3)、C(－2，－3)两点作直
线 AC，则直线 AC 上的任意一点 Q(c，d)的横坐标
是______，纵坐标可以是______．
直线 AC 与 x 轴______，垂足的坐标是______；直
线 AC 与 y 轴______，AC 与 y 轴的距离是______．
(3)在图 2 中，过原点 O 和点 E(4，4)两点作直线 OE，
我们发现，直线 OE 上的任意一点 P(x，y)的横坐
标与纵坐标______，并且直线 OE______∠xOy．
9．选择题
(1)已知点 A(1，2)，AC⊥x 轴于 C，则点 C 坐标为( )．
A．(1，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，1)
(2)若点 P 位于 y 轴左侧，距 y 轴 3 个单位长，位于 x 轴上方，距 x 轴 4 个单位长，则点
P 的坐标是( )．
A．(3，－4) B．(－4，3) C．(4，－3) D．(－3，4)
(3)在平面直角坐标系中，点 P(7，6)关于原点的对称点 P′在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(4)如果点 E(－a，－a)在第一象限，那么点 F(－a2，－2a)在( )．
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
(5)给出下列四个命题，其中真命题的个数为( )．
①坐标平面内的点可以用有序数对来表示；
②若 a＞0，b 不大于 0，则 P(－a，b)在第三象限内；
③在 x 轴上的点，其纵坐标都为 0；
④当 m≠0 时，点 P(m2，－m)在第四象限内．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．点 P(－m，m－1)在第三象限，则 m 的取值范围是______．
图 1
图 2
11．若点 P(m，n)在第二象限，则点 Q(|m|，－n)在第______象限．
12．已知点 A 到 x 轴、y 轴的距离分别为 2 和 6，若 A 点在 y 轴左侧，则 A 点坐标是______．
13．A(－3，4)和点 B(3，－4)关于______对称．
14．若 A(m＋4，n)和点 B(n－1，2m＋1)关于 x 轴对称，则 m＝______，n＝______．
(三)拓广、探究、思考
15．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标
为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①
的坐标应该为______．
16．如图，已知长方形 ABCD 的边长 AB＝3，BC＝6，建立适
当的坐标系并求 A、B、C、D 的坐标．
17．求三角形 ABC 的面积．
(1)已知：A(－4，－5)、B(－2，0)、C(4，0)．
(2)已知：A(－5，4)、B(－2，－2)、C(0，2)．
18．已知点 A(a，－4)，B(3，b)，根据下列条件求 a、b 的值．
(1)A、B 关于 x 轴对称；
(2)A、B 关于 y 轴对称；
(3)A、B 关于原点对称．
19．已知：点 P(2m＋4，m－1)．试分别根据下列条件，求出 P 点的坐标．
(1)点 P 在 y 轴上；
(2)点 P 在 x 轴上；
(3)点 P 的纵坐标比横坐标大 3．
(4)点 P 在过 A(2，－3)点，且与 x 轴平行的直线上．
20．x 取不同的值时，点 P(x－1，x＋1)的位置不同，讨论当点 P 在不同象限或不同坐标轴
上时，x 的取值范围；并说明点 P 不可能在哪一个象限．
2 坐标方法的简单应用
学习要求
能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置．
在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化．
(一)课堂学习检测
1．回答下面的问题．
(1)如图表示赵明同学家所在社区
的主要服务办公网点．点 O 表示赵明
同学家，点 A 表示存车处，点 B 表示
副食店．点 C 表示健身中心，点 D 表
示商场，点 E 表示医院，点 F 表示邮
电局，点 H 表示银行，点 L 表示派出
所，点 G 表示幼儿园．
请以赵明同学家为坐标原点，建立
平面直角坐标系，并用坐标分别表示
社区的主要服务网点的位置．(图中的
1 个单位表示 50m)
(2)利用平面直角坐标系绘制区域
内一些地点分布情况平面图的过程是
① 建 立 ______ 选 择 一 个
____________为原点，确定 x 轴、y
轴的____________；
②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．
2．如图是某乡镇的示意图，试建立直角坐标系，
取 100 米为一个单位长，用坐标表示各地的位置：
3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个
单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC
的顶点均在格点上，点 C 的坐标为(4，－1)．
①把△ABC 向上平移 5 个单位后得到对应的△A1B1C1，
画出△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标；
②以原点 O 为对称中心，再画出与△A1B1C1 关于原点
O 对称的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标；
③写出以 AB、BC 为两边的平行四边形 ABCD 的顶点
D 的坐标．
(二)综合运用诊断
一、填空
4．在坐标平面内平移图形时，平移的方向一般是平行于______或平行于______．
5．将点(x，y)向右或向左平移 a(a＞0)个单位长度，得对应点的坐标为______或______；
将点(x，y)向上或向下平移 b(b＞0)个单位长度，得对应点的坐标为______或______．
6．把一个图形上各点的横坐标都加上或减去一个正数 a，则原图形向______或向______
平移______．把一个图形上各点的纵坐标都加或减去一个正数 b，则原图形向______
或向______平移______．
7．把点(－2，3)向上平移 2 个单位长度所到达位置的坐标为______，向左平移 2 个单位
长度所到达位置的坐标为______．
8．把点 P(－1，3)向下平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所到达位置的坐
标为______．
9．点 M(－2，5)向右平移______个单位长度，向下平移______个单位长度，变为 M′
(0，1)．
10．把点 P1(2，－3)平移后得点 P2(－2，3)，则平移过程是__________________________
_______________________________________________________________________.
二、选择题
11．下列说法不正确的是( )．
A．坐标平面内的点与有序数对是一一对应的
B．在 x 轴上的点纵坐标为零
C．在 y 轴上的点横坐标为零
D．平面直角坐标系把平面上的点分为四部分
12．下列说法不正确的是( )．
A．把一个图形平移到一个确定位置，大小形状都不变
B．在平移图形的过程中，图形上的各点坐标发生同样的变化
C．在平移过程中图形上的个别点的坐标不变
D．平移后的两个图形的对应角相等，对应边相等，对应边平行或共线
13．把(0，－2)向上平移 3 个单位长度再向下平移 1 个单位长度所到达位置的坐标是
( )．
A．(3，－2) B．(－3，－2) C．(0，0) D．(0，－3)
14．已知三角形内一点 P(－3，2)，如果将该三角形向右平移 2 个单位长度，再向下平
移 1 个单位长度，那么点 P 的对应点 P′的坐标是( )．
A．(－1，1) B．(－5，3) C．(－5，1) D．(－1，3)
15．将线段 AB 在坐标系中作平行移动，已知 A(－1，2)，B(1，1)，将线段 AB 平移后，
其两个端点的坐标变为 A(－2，1)，B(0，0)，则它平移的情况是( )．
A．向上平移了 1 个单位长度，向左平移了 1 个单位长度
B．向下平移了 1 个单位长度，向左平移了 1 个单位长度
C．向下平移了 1 个单位长度，向右平移了 1 个单位长度
D．向上平移了 1 个单位长度，向右平移了 1 个单位长度
16．如图在直角坐标系中，下边的图案是由左边的图案
经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，
2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右
眼的坐标是__________.
17．(1)如果动点 P(x，y)的坐标坐标满足关系式试 12
1 xy ，在表格中求出相对应
的值，并在平面直角坐标系里描出这些点：
点的名称 A B C D E
点的横坐标 x －2 2
点的纵坐标 y －1 1 3
(2)若将这五个点都先向右平移五个单位，再向上平移三个单位，至 A1、B1、C1、
D1、E1，试画出这几个点，并分别写出它们的坐标．
(三)拓广、探究、思考
18．如图，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单位长
度．可以利用平面直角坐标系的知识回答以下问题：
1)请在所给的网格内画出以线段 AB、BC 为边的平行四
边形 ABCD；
2)填空：平行四边形 ABCD 的面积等于______．
19．在 A 市北 300km 处有 B 市，以 A 市
为原点，东西方向的直线为 x 轴，南北方向的
直线为 y 轴，并以 50km 为 1 个单位建立平面
直角坐标系．根据气象台预报，今年 7 号台风
中心位置现在 C(10，6)处，并以 40 千米/时
的速度自东向西移动，台风影响范围半径为
200km，问经几小时后，B 市将受到台风影响?
并画出示意图．
第八章 二元一次方程组
1 二元一次方程组
学习要求
理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；会检验一对数是不是某个二元
一次方程(组)的解．
课堂学习检测
一、填空题
1．方程 2xm＋1＋3y2n＝5 是二元一次方程，则 m＝______，n＝______．
2．如果
2
,1
y
x 是二元一次方程 3mx－2y－1＝0 的解，则 m＝______．
3．在二元一次方程组
ymx
yx
32
,4 中有 x＝6，则 y＝______，m＝______．
4．若
2
,1
y
x 是方程组
3
,0
byx
yax 的解，则 a＝______，b＝______．
5．方程(m＋1)x＋(m－1)y＝0，当 m______时，它是二元一次方程，当 m______时，它是一
元一次方程．
二、选择题
6．下列各式中，是关于 x，y 的二元一次方程的是( )．
(A)2x－y (B)xy＋x－2＝0 (C)x－3y＝－1 (D) 02 yx
7．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )．
(A)
.31
,5
2x
yx
(B)
yx
yx
423
,1)(2
(C)
.1
,122
y
yx (D)
.2
,1
yx
xy
8．已知二元一次方程组
�
�
923
,545
yx
yx 下列说法正确的是( )．
(A)适合方程②的 x，y 的值是方程组的解
(B)适合方程①的 x，y 的值是方程组的解
(C)同时适合方程①和②的 x，y 的值是方程组的解
(D)同时适合方程①和②的 x，y 的值不一定是方程组的解
9．方程 2x－y＝3 与 3x＋2y＝1 的公共解是( )．
(A)
.3
,0
y
x (B)
.1
,1
y
x (C)
2
1
,0
y
x
(D)
.2
,2
1
y
x
三、解答题
10．写出二元一次方程 2x＋y＝5 的所有正整数解．
11．已知关于 x，y 的二元一次方程组
23
,4
ynx
myx 的解是
,3
,1
y
x 求 m＋n 的值．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．已知(k－2)x｜k｜－1－2y＝1，则 k______时，它是二元一次方程；k＝______时，它是一元
一次方程．
13．若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则
y
x 的值是______．
14．二元一次方程 4x＋y＝10 共有______组非负整数解．
15．已知 y＝ax＋b，当 x＝1 时，y＝1；当 x＝－1 时，y＝0，则 a＝______，b＝______．
16．已知
1
,2
y
x 是二元一次方程 mx＋ny＝－2 的一个解，则 2m－n－6 的值等于_______．
二、选择题
17．已知二元一次方程 x＋y＝1，下列说法不正确的是( )．
(A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解
(C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解
18．若二元一次方程组
043
,1
ynx
ymx 的解中，y＝0，则 m∶n 等于( )．
(A)3∶4 (B)－3∶4 (C)－1∶4 (D)－1∶12
三、解答题
19．已知满足二元一次方程 5x＋y＝17 的 x 值也是方程 2x＋3(x－1)＝12 的解，求该二元一
次方程的解．
20．根据题意列出方程组：
(1)某班共有学生 42 人，男生比女生人数的 2 倍少 6 人，问男、女生各有多少人?
(2)某玩具厂要生产一批玩具，若每天生产 35 个，则差 10 个才能完成任务；若每天生
产 40 个，则可超额生产 20 个．求预定期限是多少天?计划生产多少个玩具?
拓展、探究、思考
21．若等式 0|2
1|)42( 2 yx 中的 x、y 满足方程组
,165
,84
nyx
ymx
求 2m2－n＋
4
1 mn 的值．
22．现有足够的 1 元、2 元的人民币，需要把面值为 10 元人民币换成零钱，请你设计几种
兑换方案．
2 消元(一)
学习要求
会用代入消元法解二元一次方程组．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知方程 6x－3y＝5，用含 x 的式子表示 y，则 y＝______．
2．若
1
,1
y
x 和
3
,2
y
x 是关于 x，y 的方程 y＝kx＋b 的两个解，则 k＝______，b＝______．
3．在方程 3x＋5y＝10 中，若 3x＝6，则 x＝______，y＝______．
二、选择题
4．方程组
143
,5
yx
yx 的解是( )．
(A)无解 (B)无数解 (C)
.3
,2
y
x
(D)
.2
,3
y
x
5．以方程组
1
,2
xy
xy 的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是( )．
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
6．下列方程组中和方程组
732
,43
yx
yx 同解的是( )．
(A)
.732
,11
yx
x (B)
.732
,5
yx
y
(C)
.7386
,43
yx
yx (D)
.43
,1
yx
x
三、用代入消元法解下列方程
7．
.53
,1
yx
yx
8．
.643
,02
ba
ba
综合、运用、诊断
一、填空题
9．小明用 36 元买了两种邮票共 40 枚，其中一种面值 1 元，一种面值 0.8 元，则小明买了
面值 1 元的邮票______张，面值 0.8 元的邮票______张．
10．已知
.2
,1
y
x 和
.0
,2.
y
x 都是方程 ax－by＝1 的解，则 a＝______，b＝______．
11．若｜x－y－1｜＋(2x－3y＋4)2＝0，则 x＝______，y＝______．
二、选择题
12．用代入消元法解方程组
②
①
52
,243
yx
yx 使得代入后化简比较容易的变形是( )．
(A)由①得
3
42 yx (B)由①得
4
32 xy
(C)由②得
2
5 yx (D)由②得 y＝2x－5
13．已知 x＝3t＋1，y＝2t－1，用含 x 的式子表示 y，其结果是( )．
(A)
3
1 xy (B)
2
1 yx
(C)
3
52 xy (D)
3
12 xy
14．把 x＝1 和 x＝－1 分别代入式子 x2＋bx＋c 中，值分别为 2 和 8，则 b、c 的值是( )．
(A)
4
,3
c
b
(B)
4
,3
c
b
(C)
4
,3
c
b
(D)
4
,3
c
b
三、用代入消元法解下列方程组
15．
.234
,423
xy
yx
16．
.3:4:
,52
yx
yx
拓展、探究、思考
17．如果关于 x，y 的方程组
3
2
1
,734
kyxk
yx
的解中，x 与 y 互为相反数，求 k 的值．
18．研究下列方程组的解的个数：
(1)
.342
,12
yx
yx (2)
.32
,12
yx
yx (3)
.242
,12
yx
yx
你发现了什么规律?
19．对于有理数 x，y 定义新运算：x*y＝ax＋by＋5，其中 a，b 为常数．
已知 1*2＝9，(－3)*3＝2，求 a，b 的值．
3 消元(二)
学习要求
会用加减消元法解二元一次方程组．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知方程组
�
�
138
,447
yx
yx 方程②－①得______．
2．若 x－y＝2，则 7－x＋y＝______．
3．已知
4
,3
y
x 是方程组
256
,7
ya
byax 的解，那么 a2＋2ab＋b2 的值为______．
二、选择题
4．方程组
72
83
yx
yx 的解是( )．
(A)
.1
,3
y
x
(B)
.3
,1
y
x
(C)
.1
,3
y
x
(D)
.1
,3
y
x
三、用加减消元法解下列方程组
5．
.1543
,2525
yx
yx
6．
.05
,1323
nm
nm
综合、运用、诊断
一、填空题
7．用加减消元法解方程组
�235
,623
ba
ba ①
时，把①×3＋②×2，得_______．
8．已知二元一次方程组
②
①
82
72 ,
yx
yx 那么 x＋y＝______，x－y＝______．
9．已知方程 ax＋by＝8 的两个解为
0
,1
y
x 和
4
,1
y
x 则 a＋b＝______．
二、选择题
10．如图，将正方形 ABCD 的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD 比∠BAE 大 48°．设∠BAE 和∠
BAD 的度数分别为 x，y，那么 x，y 所适合的方程组是( )
(A)
.90
,48
xy
xy
(B)
.2
,48
xy
xy
(C)
.902
,48
xy
xy
(D)
.902
,48
xy
yx
11．下列方程组中，只有一组解的是( )．
(A)
.033
,1
yx
yx
(B)
.333
,0
yx
yx
(C)
.333
,1
yx
yx
(D)
.333
,1
yx
yx
12．关于 x，y 的方程组
1935
,023
byax
byax 的解为
.1
,1
y
x 则 a，b 的值分别为( )．
(A)2 和 3 (B)2 和－3 (C)－2 和 3 (D)－2 和－3
三、用加减消元法解下列方程组
13．
.732
,423
ts
ts
14．
.732
,143
nm
nm
15．已知使 3x＋5y＝k＋2 和 2x＋3y＝k 成立的 x，y 的值的和等于 2，求 k 的值．
拓展、探究、思考
16．已知：关于 x，y 的方程组
02254
,53
byax
yx 与
53
,8
yx
byax 的解相同．求 a，b 的
值．
17．已知
②
①
.15232
,25
cba
cba 求 b 的值．
18．甲、乙两人同时解方程组
.23
,2
ycx
byax 甲正确解得
;1
,1
y
x 乙因为抄错 c 的值，错得
.6
,2
y
x 求 a，b，c 的值．
4 消元(三)
学习要求
能选择适当的消元方法解二元一次方程组及相关问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．二元一次方程 x＋y＝4 有______组解，有_______组正整数解．
2．二元一次方程 2x－y＝10，当 x＝______时，y＝5；当 x＝5，y＝______．
3．若
1
,1
y
x 是方程组
124
,2
abyx
byax 的解，则 a＝_______，b＝_______．
二、选择题
4．已知 2ay＋5b3x 与 b2－4ya2x 是同类项，那么 x，y 的值是( )．
(A)
.2
,1
y
x
(B)
.1
,2
y
x
(C)
5
3
,0
y
x
(D)
.0
,7
y
x
5．若 x∶y＝3∶4，且 x＋3y＝－10，则 x，y 的值为( )．
(A)
3
8
,2
y
x
(B)
3
8
,2
y
x
(C)
.3
,1
y
x
(D)
.4
,3
y
x
6．在式子 x2＋ax＋b 中，当 x＝2 时，其值是 3；当 x＝－3 时，其值是 3；则当 x＝1 时，
其值是( )．
(A)5 (B)3 (C)－3 (D)－1
三、选择合适的方法解下列方程组
7．
yx
yx
2113
,23
8．
).3(3)1(2
),3(2)1(5
nm
nm
综合、运用、诊断
一、填空题
9．若 2x－5y＝0，且 x≠0，则
yx
yx
56
56
的值是______．
10．若
2
,2
1
,1
y
x
y
x 和
cy
x ,3 都是方程 ax＋by＋2＝0 的解，则 c＝______．
11．已知方程组
3
,1
yx
yx 与方程组
2
,1
byax
byax 的解相同，则 a＝______，b＝______．
二、选择题
12．与方程组
02
,032
yx
yx 有完全相同的解的是( )．
(A)x＋2y－3＝0 (B)2x＋y＝0
(C)(x＋2y－3)(2x＋y)＝0 (D)｜x＋2y－3｜＋(2x＋y)2＝0
13．若方程组
84
,42
yx
myx 的解为正整数，则 m 的值为( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)－4
三、解下列方程组
14．
.1034
,1353
yx
yx
15．
.92
7
532
,232
yyx
yx
拓展、探究、思考
16．在方程(x＋2y－8)＋(4x＋3y－7)＝0 中，找出一对 x，y 值，使得无论取何值，方程恒
成立．
17．已知方程组
01523
,0172
cab
cba 其中 c≠0，求
cba
cba
的值．
18．当 k，m 分别为何值时，关于 x，y 的方程组
4)12(
,
xky
mkxy 至少有一组解?
5 实际问题与二元一次方程组(一)
学习要求
能对所研究的问题抽象出基本的数量关系，通过列二元一次方程组解实际问题，培养分
析问题和解决问题的能力．
课堂学习检测
一、填空题
1．若载重 3 吨的卡车有 x 辆，载重 5 吨的卡车比它多 4 辆，它们一共运货 y 吨，用含 x 的
式子表示 y 为______．
2．小强有 x 张 10 分邮票，y 张 50 分邮票，则小强这两种邮票的总面值为______．
3．一个长方形周长是 44cm，长比宽的 3 倍少 10cm，则这个长方形的面积是______．
4．如果一个两位正整数的十位上的数字与个位上的数字的和是 6，那么符合这个条件的两
位数的个数是______．
二、选择题
5．用 4700 张纸装订成两种挂历 500 本，其中甲种每本 7 张纸，乙种每本 13 张纸．若甲种
挂历有 x 本，乙种挂历有 y 本，则下面所列方程组正确的是( )．
(A)
.4700713
,500
yx
yx (B)
.4700137
,500
yx
yx
(C)
.4700713
,500
yx
yx (D)
.4700137
,500
yx
yx
6．甲、乙两数和为 42，甲数的 3 倍等于乙数的 4 倍，求甲、乙两数．设甲数为 x，乙数为
y，则下列方程组正确的是( )．
(A)
.34
,42
yx
yx (B)
yx
yx
43
,42
(C)
yx
yx
43
,4234 (D)
yx
yx
34
,4243
三、列方程组解应用题
7．某单位组织了 200 人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的 2 倍少 10
人．到两地参加旅游的人数各是多少?
8．一种口服液有大小盒两种包装，3 大盒 4 小盒共 108 瓶；2 大盒 3 小盒共 76 瓶．大盒、
小盒每盒各装多少瓶?
9．某车间工人举行茶话会，如果每桌 12 人，还有一桌空着；如果每桌 10 人，则还差两个
桌子．此车间共有工人多少名?
综合、运用、诊断
一、填空题
10．式子 y＝kx＋b，当 x＝2 时，y＝11；当 x＝－2 时，y＝－17．则 k＝_______，b＝______．
11．在公式 s＝v0t＋
2
1 at2 中，当 t＝1 时，s＝13；当 t＝2 时，s＝42．则 v0＝_______，a＝
______，并且当 t＝3 时，s＝______．
二、选择题
12．出境旅游者问某童：“你有几个兄弟、几个姐妹?”答：“有几个兄弟就有几个姐妹。”再
问其妹有几个兄弟、几个姐妹，她答：“我的兄弟是姐妹的 2 倍。”试问：他们兄弟姐妹
的人数各是( )．
(A)兄弟 4 人，姐妹 3 人 (B)兄弟 3 人，姐妹 4 人
(C)兄弟 2 人，姐妹 5 人 (D)兄弟 5 人，姐妹 2 人
三、列方程组解应用题
13．为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池．第一天收集 1 号电池 4 节，5 号电池 5
节，总重 460 克；第二天收集 1 号电池 2 节，5 号电池 3 节，总重 240 克．试问 1 号电
池和 5 号电池每节分别重多少克?
14．某工厂一车间人数比二车间人数的
5
4 还少 30 人，若从二车间调 10 人去一车间，则一
车间人数为二车间人数的
4
3 ．求两个车间原来的人数．
15．西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改为林地．改还后，林地
面积和耕地面积共有 180km2，耕地面积是林地面积的 25％．求改还后的耕地面积和林
地面积．
拓展、探究、思考
16．某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：如果一户三口之家每月用水量不超过
Mm3，按 1.30 元/m3 计算；如果超过 M m3，超过部分按 2.90 元/m3 收费，其余仍按 1.30
元/m3 计算．小红一家三人，1 月份共用水 12m3，支付水费 22 元，问该市制定的用水
标准 M 为多少?小红一家超标使用了多少水?
17．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租
用两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车数量(单位：辆) 2 5
乙种货车数量(单位：辆) 3 6
累计运货数量(单位：吨) 15.5 35
现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货．如果按每吨运费
30 元，问货主应支付运费多少元?
18．某地生产一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，
每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这
种蔬菜 140 吨，该公司加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨；如果
进行精加工，每天可加工 6 吨，但这两种加工方式不能同时进行．因受季节等条件限制，
公司必须用 15 天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研究出了三种可
行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的到市场直接销售．
方案三：将一部分粗加工，其余部分进行精加工，并恰好用 15 天完成．
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
6 实际问题与二元一次方程组(二)
学习要求
进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．一个两位数，十位上的数字为 x，个位上的数字为 y，这个两位数为______；若将十位与
个位上的数字对调，新的两位数是______．
2．一个两位数，个位数和十位数数字之和为 8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小
18，则这个两位数是______．
3．梯形的面积是 42cm2，高是 6cm，它的下底比上底的 2 倍少 1cm，则梯形的两底分别为
_______．
4．某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用 1 分钟，整列火车全在
桥上的时间为 40 秒钟，则火车的长度为______，火车的速度为______．
二、列方程组解应用题
5．足球比赛的积分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一个队打 14
场比赛负 5 场共得 19 分，那么这个队胜了多少场?
6．某校七年级(2)班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元，捐款情况如下表：
表格中捐款 2 元和 3 元的人数被墨水污染了．问：捐 2 元和 3 元的人数各是多少?
7．一条河流经甲、乙两地，两地相距 280 千米，一船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用
20 小时．求船在静水中的速度和水速．
8．某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓
14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和
螺母刚好配套?
9．学校组织数学知识竞赛，甲班、乙班共 12 人参加，其中甲班学生的平均分是 70 分，乙
班学生的平均分是 60 分，这两班学生的总分为 740 分．问：甲、乙两班各有多少学生参
加竞赛?
综合、运用、诊断
一、填空题
10．甲、乙二人同时从 A 地出发到 B 地，甲的速度是 a 千米/时，乙的速度是 b 千米/时，二
人出发后 2 小时都未到达 B 地，这时他们相距______．
11．工人甲原来每天生产零件 x 个，改进技术后，每天产量提高 25％，这时工人乙每天生
产的零件比甲现在的
3
2 还少 5 个，乙每天生产的零件数是______．
二、选择题
12．一船顺流航行速度为 a 千米/时，逆流航行速度为 b 千米/时(a＞b)，则水流速度为( )．
(A)a＋b 千米/时 (B)a－b 千米/时 (C) 2
ba 千米/时 (D) 2
ba 千米/时
三、列方程组解应用题
13．一、二两班共有 95 人，体育锻炼的平均达标率(达到标准的百分率)是 60％．如果一班
的达标率是 40％，二班的达标率是 78％，则一班、二班各有多少人?
14．一批零件共 1100 个，如果甲先做 5 天后，乙加入合作，再做 8 天正好做完；如果乙先
做 5 天后，甲加入合作，再做 9 天也恰好完成．问两人每天各做多少个零件?
15．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展．某区
2004 年和 2005 年小学入学儿童人数之比为 8∶7，且 2004 年入学人数的 2 倍比 2005
年入学人数的 3 倍少 1500 人．某人估计 2006 年该区入学儿童数将超过 2300 人，请你
通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势．
16．甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按 50％的利
润定价，乙种服装按 40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两种服装均按九
折出售，这样商店共获利 157 元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元?
拓展、探究、思考
17．为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、丙三个水厂．这三个水厂的日供
水量共计 11.8 万 m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍，丙水厂的日供
水量比甲水厂日供水量的一半还多 1 万 m3．
(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万 m3?
(2)在修建甲水厂的输水管道工程中要运走 600 吨土石，运输公司派出 A 型、B 型两种载
重汽车，用 A 型车 6 辆，B 型车 4 辆，分别运 5 次，或者 A 型车 3 辆，B 型车 6 辆，
分别运 5 次，可把土石运空，问每辆 A 型汽车和 B 型汽车各运土石多少吨?
18．某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视机，
出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元．
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场
的进货方案．
(2)若商场每销售一台甲、乙、丙电视机可分别获利 150 元、200 元、250 元，在以上的
方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案?
7 三元一次方程组
学习要求
会解简单的三元一次方程组
课堂学习检测
一、填空题
1．若
.3
,2
,1
zx
zy
yx
则 x＋y＋z＝__________________．
2．方程组
1
,5
,7
zyx
zyx
yx
的解是________________．
3．判断
15
,10
,5
z
y
x
是否是三元一次方程组
402
,152
,0
zyx
zyx
zyx
的解______．
二、解下列三元一次方程组
4．
.52
,14
,1
zyx
zyx
yx
5．
.36
,5:4:3::
cba
cba 6．
.522
,34
,73
zx
zy
yx
综合、运用、诊断
一、填空题
7．方程组
542
,32
mxy
myx 的解满足 x＋y＝0，则 m＝________．
8．若 x＋y＋z≠0 且 k
y
xz
z
yx
x
zy 222 ，则 k＝_________．
9．代数式 ax2＋bx＋c，当 x＝1 时值为 0，当 x＝2 时值为 3，当 x＝－3 时值为 28，则这个
代数式是_________．
二、解下列三元一次方程组
10．
.639
,324
,0
zyx
zyx
zyx
11．
.1
,5
,11
yxz
xzy
zyx
拓展、探究、思考
12．甲、乙、丙三个班的学生共植树 66 棵，甲班植树的棵数是乙班植树棵数的 2 倍，丙班
与乙班植树棵数比为 2∶3，求三个班各植树多少棵?
13．三个数的和是 51，第二个数去除第一个数时商 2 余 5，第三个数去除第二个数时商 3
余 2，求这三个数．
第九章 不等式与不等式组
1 不等式及其解集
学习要求
知道不等式的意义；知道不等式的解集的含义；会在数轴上表示解集．
课堂学习检测
一、填空题
1．用不等式表示：
(1)m－3 是正数______； (2)y＋5 是负数______；
(3)x 不大于 2______； (4)a 是非负数______；
(5)a 的 2 倍比 10 大______； (6)y 的一半与 6 的和是负数______；
(7)x 的 3 倍与 5 的和大于 x 的
3
1 ______；
(8)m 的相反数是非正数______．
2．画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集：
(1)
2
13x (2)x≥－4．
(3)
5
1x (4)
3
12x
二、选择题
3．下列不等式中，正确的是( )．
(A)
4
3
8
5 (B)
5
1
7
2
(C)(－6.4)2＜(－6.4)3 (D)－｜－27｜＜－(－3)3
4．“a 的 2 倍减去 b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )．
(A)2a－b＜－3 (B)2(a－b)＜－3
(C)2a－b≤－3 (D)2(a－b)≤－3
5．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是 1g，则物体 A 的质量 m(g)的取值范围在数轴上
可表示为( )．
三、解答题
6．利用数轴求出不等式－2＜x≤4 的整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
7．用“＜”或“＞”填空：
(1)－2.5______5.2； (2) 11
4 ______
12
5 ；
(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a2＋1______0；
(5)0______｜x｜＋4； (6)a＋2______a．
8．“x 的
2
3 与 5 的差不小于－4 的相反数”，用不等式表示为______．
二、选择题
9．如果 a、b 表示两个负数，且 a＜b，则( )．
(A) 1
b
a (B)
b
a ＜1 (C)
ba
11 (D)ab＜1
10．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
(A)－2＜x＜4 (B)－2＜x≤4
(C)－2≤x＜4 (D)－2≤x≤4
11．a、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．
(A)若 a＞b，则 a2＞b2 (B)若 a2＞b2，则 a＞b
(C)若 a≠b，则｜a｜≠|b| (D)若｜a｜≠|b|，则 a≠b
12．｜a｜＋a 的值一定是( )．
(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零
三、判断题
13．不等式 5－x＞2 的解集有无数个． ( )
14．不等式 x＞－1 的整数解有无数个． ( )
15．不等式
3
242
1 x 的整数解有 0，1，2，3，4． ( )
16．若 a＞b＞0＞c，则 .0
c
ab ( )
四、解答题
17．若 a 是有理数，比较 2a 和 3a 的大小．
拓展、探究、思考
18．若不等式 3x－a≤0 只有三个正整数解，求 a 的取值范围．
19．对于整数 a，b，c，d，定义 bdaccd
ba ，已知 34
11
d
b ，则 b＋d 的值为_________．
2 不等式的性质
学习要求
知道不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知 a＜b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋3______b＋3； (2)a－3______b－3； (3)3a______3b；
(4) 2
a ______
2
b ； (5)
7
a ______
7
b ； (6)5a＋2______5b＋2；
(7)－2a－1______－2b－1； (8)4－3b______6－3a．
2．用“＜”或“＞”填空：
(1)若 a－2＞b－2，则 a______b； (2)若
33
ba ，则 a______b；
(3)若－4a＞－4b，则 a______b； (4)
22
ba ，则 a______b．
3．不等式 3x＜2x－3 变形成 3x－2x＜－3，是根据______．
4．如果 a2x＞a2y(a≠0)．那么 x______y．
二、选择题
5．若 a＞2，则下列各式中错误的是( )．
(A)a－2＞0 (B)a＋5＞7 (C)－a＞－2 (D)a－2＞－4
6．已知 a＞b，则下列结论中错误的是( )．
(A)a－5＞b－5 (B)2a＞2b (C)ac＞bc (D)a－b＞0
7．若 a＞b，且 c 为有理数，则( )．
(A)ac＞bc (B)ac＜bc (C)ac2＞bc2 (D)ac2≥bc2
8．若由 x＜y 可得到 ax＞ay，应满足的条件是( )．
(A)a≥0 (B)a≤0 (C)a＞0 (D)a＜0
三、解答题
9．根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上．
(1)x－10＜0． (2) .62
1
2
1 xx
(3)2x≥5． (4) .13
1 x
10．用不等式表示下列语句并写出解集：
(1)8 与 y 的 2 倍的和是正数；
(2)a 的 3 倍与 7 的差是负数．
综合、运用、诊断
一、填空题
11．已知 b＜a＜2，用“＜”或“＞”填空：
(1)(a－2)(b－2)______0； (2)(2－a)(2－b)______0；
(3)(a－2)(a－b)______0．
12．已知 a＜b＜0．用“＞”或“＜”填空：
(1)2a______2b； (2)a2______b2； (3)a3______b3；
(4)a2______b3； (5)｜a｜______｜b｜； (6)m2a______m2b(m≠0)．
13．不等式 4x－3＜4 的解集中，最大的整数 x＝______．
14．关于 x 的不等式 mx＞n，当 m______时，解集是
m
nx ；当 m______时，解集是
m
nx ．
二、选择题
15．若 0＜a＜b＜1，则下列不等式中，正确的是( )．
,11;11;1;1 babab
a
b
a ④③②①
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
16．下列命题结论正确的是( )．
①若 a＞b，则－a＜－b；②若 a＞b，则 3－2a＞3－2b；③8｜a｜＞5｜a｜．
(A)①②③ (B)②③
(C)③ (D)以上答案均不对
17．若不等式(a＋1)x＞a＋1 的解集是 x＜1，则 a 必满足( )．
(A)a＜0 (B)a＞－1 (C)a＜－1 (D)a＜1
三、解答题
18．当 x 取什么值时，式子
5
63 x 的值为(1)零；(2)正数；(3)小于 1 的数．
拓展、探究、思考
19．若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式(－m2－1)x＞n．
20．解关于 x 的不等式 ax＞b(a≠0)．
3 解一元一次不等式
学习要求
会解一元一次不等式．
课堂学习检测
一、填空题
1．用“＞”或“＜”填空：
(1)若 x______0，y＜0，则 xy＞0；
(2)若 ab＞0，则
b
a ______0；若 ab＜0，则
a
b ______0；
(3)若 a－b＜0，则 a______b；
(4)当 x＞x＋y，则 y______0．
2．当 a______时，式子 15
2 a 的值不大于－3．
3．不等式 2x－3≤4x＋5 的负整数解为______．
二、选择题
4．下列各式中，是一元一次不等式的是( )．
(A)x2＋3x＞1 (B) 03
yx
(C) 55
11
x (D)
3
1
3
1
2
xx
5．关于 x 的不等式 2x－a≤－1 的解集如图所示，则 a 的取值是( )．
(A)0 (B)－3 (C)－2 (D)－1
三、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
6．2(2x－3)＜5(x－1)． 7．10－3(x＋6)≤1．
8．
2
25
3
1 xx 9．
6
1
2
1
3
1 yyy
四、解答题
10．求不等式 36
16
3
3 xx 的非负整数解．
11．求不等式
6
)125(5
3
)34(2 xx 的所有负整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．若 x 是非负数，则
5
231 x 的解集是______．
13．使不等式 x－2≤3x＋5 成立的负整数是______．
14．已知(x－2)2＋｜2x－3y－a｜＝0，y 是正数，则 a 的取值范围是______．
二、选择题
15．下列各对不等式中，解集不相同的一对是(______)．
(A)
7
24
2
3 xx 与－7(x－3)＜2(4＋2x)
(B)
3
9
2
1 xx 与 3(x－1)＜－2(x＋9)
(C)
3
12
2
2 xx 与 3(2＋x)≥2(2x－1)
(D) xx
4
1
4
3
2
1 与 3x＞－1
16．如果关于 x 的方程
5
4
3
2 bxax 的解不是负值，那么 a 与 b 的关系是( )．
(A) ba 5
3 (B) ab 5
3 (C)5a＝3b (D)5a≥3b
三、解下列不等式
17．(1)3[x－2(x－7)]≤4x． (2) .1
7
)10(2
3
83 yyy
(3) .1
5
1)13(
2
1 yyy (4) .15
)2(225
37
3
13 xxx
(5) ).1(3
2)]1(2
1[2
1 xxxx (6)
2
5
03.0
.02.003.0
5.0
9.04.0 xxx
四、解答题
18．x 取什么值时，代数式
4
13 x 的值不小于
8
)1(32 x 的值．
19．已知关于 x 的方程
3
2
3
2 xmxx 的解是非负数，m 是正整数，求 m 的值．
20．已知关于 x，y 的方程组
134
,123
pyx
pyx 的解满足 x＞y，求 p 的取值范围．
21．已知方程组
②
①
myx
myx
12
,312 的解满足 x＋y＜0，求 m 的取值范围．
拓展、探究、思考
一、填空题
22．(1)已知 x＜a 的解集中的最大整数为 3，则 a 的取值范围是______；
(2)已知 x＞a 的解集中最小整数为－2，则 a 的取值范围是______．
二、解答题
23．适当选择 a 的取值范围，使 1.7＜x＜a 的整数解：
(1)x 只有一个整数解；
(2)x 一个整数解也没有．
24．当
3
10)3(2 kk 时，求关于 x 的不等式 kxxk
4
)5( 的解集．
25．已知 A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较 A 与 B 的大小．
4 实际问题与一元一次不等式
学习要求
会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．代数式
2
31 x 与代数式 x－2 的差是负数，则 x 的取值范围为______．
2．6 月 1 日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为 1 元、
2 元和 3 元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 千克、5 千克和 8 千克．6 月 7
日，小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 千克散装大米，他们选
购的 3 只环保购物袋至少．．应付给超市______元．
二、选择题
3．三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )．
(A)13cm (B)6cm (C)5cm (D)4cm
4．商场进了一批商品，进价为每件 800 元，如果要保持销售利润不低于 15％，则售价应不
低于( )．
(A)900 元 (B)920 元 (C)960 元 (D)980 元
三、解答题
5．某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多 6 辆，那么 15 天的产量
就超过了原来 20 天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?
6．某次数学竞赛活动，共有 16 道选择题，评分办法是：答对一题给 6 分，答错一题倒扣 2
分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成
绩才能在 60 分以上?
综合、运用、诊断
一、填空题
7．若 m＞5，试用 m 表示出不等式(5－m)x＞1－m 的解集______．
8．乐天借到一本 72 页的图书，要在 10 天之内读完，开始两天每天只读 5 页，那么以后几
天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读 x 页，列出的不等式为______．
二、选择题
9．九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交 0.70 元．一张彩色底片 0.68 元，扩
印一张相片 0.50 元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最
少有( )．
(A)2 人 (B)3 人 (C)4 人 (D)5 人
10．某市出租车的收费标准是：起步价 7 元，超过 3km 时，每增加 1km 加收 2.4 元(不足 1km
按 1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元，设此人从甲地到乙地
经过的路程是 xkm，那么 x 的最大值是( )．
(A)11 (B)8 (C)7 (D)5
三、解答题
11．某种商品进价为 150 元，出售时标价为 225 元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，
但要保证利润不低于 10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
12．某工人加工 300 个零件，若每小时加工 50 个就可按时完成；但他加工 2 小时后，因事
停工 40 分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加
工多少个零件?
拓展、探究、思考
13．某零件制造车间有 20 名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，
且每制造一个甲种零件可获利 150 元，每制造一个乙种零件可获利 260 元．在这 20 名
工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
(1)若此车间每天所获利润为 y(元)，用 x 的代数式表示 y．
(2)若要使每天所获利润不低于 24000 元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
14．某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费 600 元和每份资料 0.3 元印刷费的前提
下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过
2000 份的，超过部分的印刷费可按 9 折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过 3000 份
的，超过部分印刷费可按 8 折收费．
(1)若该单位要印刷 2400 份宣传资料，则甲印刷厂的费用是______，乙印刷厂的费用是
______．
(2)根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?
5 一元一次不等式组(一)
学习要求
会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集．
课堂学习检测
一、填空题
1．解不等式组
②
①
223
,423
x
x 时，解①式，得______，解②式，得______；于是得到不
等式组的解集是______．
2．解不等式组
②
①
21
,3
212
x
x 时，解①式，得______，解②式，得______；于是得到不等
式组的解集是______．
3．用字母 x 的范围表示下列数轴上所表示的公共部分：
二、选择题
4．不等式组
5312
,243
xx
x 的解集为( )．
(A)x＜－4 (B)x＞2 (C)－4＜x＜2 (D)无解
5．不等式组
023
,01
x
x 的解集为( )．
(A)x＞1 (B) 13
2 x (C)
3
2x (D)无解
三、解下列不等式组，并把解集表示在数轴上
6．
.04
,012
x
x
7．
.074
,03
x
x
8．
.3342
,12
1
xx
xx 9．－5＜6－2x＜3．
四、解答题
10．解不等式组
32
1
),2(352
xx
xx
并写出不等式组的整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
11．当 x 满足______时，
2
35 x 的值大于－5 而小于 7．
12．不等式组
25
12
,9
1
2
xx
xx
的整数解为______．
二、选择题
13．如果 a＞b，那么不等式组
bx
ax , 的解集是( )．
(A)x＜a (B)x＜b (C)b＜x＜a (D)无解
14．不等式组
1
,159
mx
xx 的解集是 x＞2，则 m 的取值范围是( )．
(A)m≤2 (B)m≥2 (C)m≤1 (D)m≥1
三、解答题
15．求不等式组 73
123
x 的整数解．
16．解不等式组
.3273
,4536
,7342
xx
xx
xx
17．当 k 取何值时，方程组
52
,53
yx
kyx 的解 x，y 都是负数．
18．已知
122
,42
kyx
kyx 中的 x，y 满足 0＜y－x＜1，求 k 的取值范围．
拓展、探究、思考
19．已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组
02
,43
x
ax 的解集是 x＞2，求 a 的值．
20．关于 x 的不等式组
123
,0
x
ax 的整数解共有 5 个，求 a 的取值范围．
6 一元一次不等式组(二)
学习要求
进一步掌握一元一次不等式组．
课堂学习检测
一、填空题
1．直接写出解集：
(1)
3
,2
x
x 的解集是______； (2)
3
,2
x
x 的解集是______；
(3)
3
,2
x
x 的解集是_______； (4)
3
,2
x
x 的解集是______．
2．如果式子 7x－5 与－3x＋2 的值都小于 1，那么 x 的取值范围是______．
二、选择题
3．已知不等式组
).23(2)1(53
,1)1(3)3(2
xxx
xx 它的整数解一共有( )．
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
4．若不等式组
kx
x ,21 有解，则 k 的取值范围是( )．
(A)k＜2 (B)k≥2 (C)k＜1 (D)1≤k＜2
三、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来
5．
32
2
,352
xx
xx
6．
.6)2(3)3(2
,1
32
xx
xx
7．
).2(28
,142
xx
x
8． .2
34512 xxx
综合、运用、诊断
一、填空题
9．不等式组
2
3
3
,152
x
x
的所有整数解的和是______，积是______．
10．k 满足______时，方程组
4
,2
yx
kyx 中的 x 大于 1，y 小于 1．
二、解下列不等式组
11．
.1)]3(2[2
1
,3
12
2
33
xx
xxx
12．
24
,2
55
,13
xx
xx
xx
三、解答题
13．k 取哪些整数时，关于 x 的方程 5x＋4＝16k－x 的根大于 2 且小于 10?
14．已知关于 x，y 的方程组
34
,72
myx
myx 的解为正数，求 m 的取值范围．
拓展、探究、思考
15．若关于 x 的不等式组
axx
xx
3
22
,32
15
只有 4 个整数解，求 a 的取值范围．
7 利用不等关系分析实际问题
学习要求
利用不等式(组)解决较为复杂的实际问题；感受不等式(组)在实际生活中的作用．
课堂学习检测
列不等式(组)解应用题
1．一个工程队原定在 10 天内至少要挖掘 600m3 的土方．在前两天共完成了 120m3 后，接
到要求要提前 2 天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?
2．某城市平均每天产生垃圾 700 吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃
圾 55 吨，需花费 550 元；乙厂每小时处理 45 吨，需花费 495 元．如果规定该城市每天
用于处理垃圾的费用的和不能超过 7150 元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?
3．若干名学生，若干间宿舍，若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处；若每间住 8 人，则有
一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?
4．2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失．某中
学全体师生积极捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：
老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元；
信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元；
信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于．．48 元，小于．．51 元．
请根据以上信息，帮助老师解决：
(1)二班与三班的捐款金额各是多少元?
(2)一班的学生人数是多少?
综合、运用、诊断
5．某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车
的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元．
(1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
(2)若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金，
请选择最节省的租车方案．
拓展、探究、思考
6．在“5·12 大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材 24000m2 和乙种板
材 12000m2 的任务．某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建 A，B 两种型号的
板房共 400 间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间 A 型板房和一
间 B 型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号 甲种板材 乙种板材 安置人数
A 型板房 54 m2 26 m2 5
B 型板房 78 m2 41 m2 8
问：这 400 间板房最多能安置多少灾民?
第十章 数据的收集、整理与描述
1 统计调查(一)
学习要求
了解全面调查是一种收集数据的方法，会设计简单的调查问卷收集数据，会用统计表和
扇形图描述数据；能根据问题查找有关资料，获得数据信息。
课堂学习检测
一、填空题
1．做统计调查时，通常先采用问卷调查的方法____________，为此要设计______；为了更
清楚地了解数据所蕴含的规律，经常用表格______；为了更直观
地看出表中的信息，还可以用统计图来____________．
2．在调查中，考察全体对象的调查叫做_____________．
3．某校组织学生开展“八荣八耻”宣传教育活动，其中有 38％的同
学 走 出 校 门 进 行 宣 讲 ， 这 部 分 学 生 在 扇 形 统 计 图 中 应 为
____________部分(选择 A，B，C，D 填空)．
4．2008 年 4 月 16 日至 20 日，在北京奥林匹克公园公共区举办了“好运北京”综合测
试赛．测试期间，公共餐饮售卖点 5 日的营业额如图所示：
测试赛公共区餐饮售卖点 5 日营业额条形图
则营业额最高的是______日，它和营业额最低的那天相比，相差______元．
二、选择题
5．一般常用居民家庭恩格尔系数来衡量居民的生活质量(系数值越小代表生活质量越好)．
下表为我国某几年生活质量统计表：
年份(年) 1989 1997 2001 2002
恩格尔系数(％) 54.5 46.6 38.2 37.7
下列说法正确的是( )．
(A)生活质量稳步提高 (B)生活质量逐步下降
(C)生活质量有升有降 (D)生活质量稳定不变
6．下列调查适合全面调查的是( )．
(A)调查 2009 年 6 月份市场上某品牌饮料的质量
(B)了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况
(C)环保部门调查 5 月份黄河某段水域的水质情况
(D)了解全班同学本周末参加社区活动的时间
7．如图是某班学生最喜欢的球类活动人数统计图，则下列说法不正确．．．的是( )．
(A)该班喜欢乒乓球的学生最多
(B)该班喜欢排球与篮球的学生一样多
(C)该班喜欢足球的人数是喜欢排球人数的 1.25 倍
(D)该班喜欢其他球类活动的人数为 5 人
三、解答题
8．学校食堂的主食主要有：米饭、馒头、花卷、面条，你班的同学最喜欢哪种主食，请设
计一个调查问卷．
综合、运用、诊断
9．下图是根据某乡 2009 年第一季度“家电下乡”产品的购买情况绘制成的两幅不完整的统
计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：
(1)第一季度购买的“家电下乡”产品的总台数为______；
(2)把两幅统计图补充完整．
10．查阅动物百科全书，得到信息：丹顶鹤体长约 140 厘米，营巢于周围环水的浅滩或深草
丛中，每次产卵 2 枚，为国家一级保护动物；绿孔雀体长 100～230 厘米，营巢于灌木
丛、竹丛间的地面，每次产卵 4～8 枚，为国家一级保护动物；鸳鸯体长 38～44 厘米，
营巢于树洞中，每次产卵 7～12 枚，为国家二级保护动物．请用一张统计表表示上述信
息．
11．有一位同学调查了一个月内全校学生的借书情况，数据如下：
借书次数 0 次 1 次 2 次 3 次 3 次以上 总计
学生人数 471 422 71 36 0
对应圆心角度数
(精确到 0.1°)
(1)先完成上面表格，然后根据数据画出扇形统计图；
(2)根据扇形图分析学校图书馆的借书率高吗?
(3)根据以上信息，请你向学校提出一条好的建议．
12．小李通过对某地区 1998 年至 2000 年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公
司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图，解答下列问题：
(1)1999 年该地区共销售盒饭__________万盒；
(2)该地区盒饭销量最大的年份是______年，这一年的年销量是______万盒；
(3)计算出这三年中该地区平均每家快餐公司的年销售盒饭数量(精确到 0.01 万)．
拓展、探究、思考
13．阅读下面材料：
中国人民银行资料显示，到 2001 年底，我国城乡居民银行存款数额为 8.7 万亿人民币．
你想了解居民存款的目的是什么吗?下图是根据中国人民银行提供的资料制作的统计
图，图中的百分比是受访者中选择不同存款的目的(每人只选一项)人数的百分比．
(资料来源：中国人民银行 2002 年 1 月 20 日)
观察上图后，研究下面问题：
(1)选择人数最多的前四类的存款目的分别是______、______、______、______，这四
类人数的百分比之和是______．
(2)图中的各个百分比是如何得到的?所有百分比之和是多少?
(3)假如总共调查了 1000 人，请你把不同存款目的的人数填写在下表中：
存款
目的
买房
装修
购买
汽车
生意
周转
教育
费
养老
费
预防
意外
得利
自
购买
资产
购买
大件
其他
人数(人)
(4)谈谈对上述数据调查、分析后的体会．
2 统计调查(二)
学习要求
1．了解通过抽样调查收集处理数据的方法，明确用样本估计总体是统计的基本思想．
2．通过实例理解总体、样本和样本容量的概念．
3．会用折线图表示经过整理的数据，直观地反映数据规律．
课堂学习检测
一、填空题
1．抽样调查是只从总体中抽取___________进行调查，然后根据___________推断全体对象
的情况；要考察的全体对象称为___________，组成其的每一个考察对象称为______
_____，被抽取的那些___________组成一个___________．
2．为了了解一批手表的防水性能，从中抽取 10 只手表进行防水性能测试，在这个问题中，
总体是________________，个体是________________，抽取的样本是___________，样本
容量是_________．
3．抽样调查具有____________的优点，它的缺点是不如全面调查得到的结果___________，
它得到的只是____________．比如为了解某牛奶公司生产的酸奶的质量情况作调查，这
个调查适合作___________．
4．下列调查的样本中不缺乏代表性的有哪几个___________．(填序号)
①为了了解你校七年级学生期中考试数学成绩，抽取七 1 班 50 名学生的成绩进行分析；
②为了了解我国 18 岁青年的身高，从不同的地区随机抽取 1000 名 18 岁青年的身高；
③为了了解一批洗衣粉的质量情况，从中抽取 50 袋进行调查；
④为了了解某公园的每天游园人数，从中抽查一年中每个星期天的游园人数．
二、选择题
5．为了了解某校九年级学生的视力，从中抽取 60 名学生进行视力检查，在这个问题中，总
体是( )．
(A)每名学生的视力 (B)60 名学生的视力
(C)60 名学生 (D)该校九年级学生的双眼视力
6．为了反映某地区的天气变化趋势，最好选择( )．
(A)扇形统计图 (B)条形统计图
(C)折线统计图 (D)以上三种都不行
7．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是( )．
(A)选取一个班级的学生 (B)选取 50 名男生
(C)选取 50 名女生 (D)随机选取 50 名七年级学生
三、解答题
8．某学校为丰富大课间自由活动的项目，随机选取本校 100 名学生进行调查，调查内容是
“你最喜欢的自由活动项目是什么”，整理收集的数据，绘制成如图．
(1)学校采用的调查方式是___________________________________________________．
(2)选择喜欢“踢毽子”的学生有多少人，并在图中将“踢毽子”部分的图形补充完整．
(3)该校共有 800 名学生，请通过计算估计出喜欢“跳绳”的学生人数．
9．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，让若干名学
生从足球、乒乓球、篮球、排球四种球类运动中选择自己最喜欢的一种，并将调查的结
果绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图 1，图 2，要求每位同学只能选择一种自己喜
欢的球类运动；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢该项目的学生人数)．
图 1 图 2
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次研究中，一共调查了多少名学生?
(2)喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的扇形圆心角是多少度?
(3)补全折线统计图．
综合、运用、诊断
一、填空题
10．在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法
是一种__________抽样；通常样本容量越大，估计精度就会越______(填“高”或“低”)．
11．为了让大家感受丢弃塑料袋对环境的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一
周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33，25，28，26，25，31．如果该班
有 45 位学生，那么根据提供的数据估计本周全班各家平均丢弃塑料袋数量约为______．
12．甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图：
甲公司 乙公司
从 2003 年到 2007 年，这两家公司中销售量增长较快的是____________．
13．为了解 09 届本科生的就业情况，某网站对 09 届本科生的签约状况进行了网络调查，至
3 月底，参与网络调查的 12000 人中，只有 4320 人已与用人单位签约．在这个网络调
查中，样本容量是______．
二、选择题
14．某烟花爆竹厂从 20 万件同类产品中随机抽取了 100 件进行质检，发现其中有 5 件不合
格，那么你估计该厂这 20 万件产品中合格品约为( )．
(A)1 万件 (B)19 万件 (C)15 万件 (D)20 万件
15．如图为某产品产量增长情况统计图，下列说法正确的是( )．
(A)产量持续增长 (B)产量有增有减
(C)开始产量不变 (D)条件不足，无法判断
三、解答题
16．一面粉厂生产面粉，规定每袋标准质量为 50kg．采用自动装袋工艺后，每袋面粉的实
际质量和标准质量有一定的误差．任选 50 袋称质量结果如下：(单位：kg)
48.5×1 袋 49.0×4 袋 49.5×10 袋 50.0×19 袋
50.5×9 袋 51.0×5 袋 51.5×2 袋
(1)计算每袋面粉的质量与标准质量的误差，对误差进行分类，统计各类误差的面粉袋
数，并填写统计表：
误差(kg) －1.5 －1.0 －0.5 0 0.5 1.0 1.5
袋数(袋)
百分比(％)
(2)画出条形统计图，表示出各类误差的面粉袋数，说一说误差的分布有什么特点．
拓展、探究、思考
17．为了解某地区 30 万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，按照老年人、
成年人、青少年各年龄段实际人口 3∶5∶2 的比例，随机抽取一定数量的观众进行调查，
得到如下统计图：
(1)上面所用的调查方法是______(填“全面调查”或“抽样调查”)；
(2)写出折线统计图中 A、B 所代表的值；
A：_________ B：__________
(3)求该地区喜爱娱乐节目的成年人的人数．
18．台州素有“七山一水两分田”之说，据此画成统计图 1．图 2 是台州市 2004～2008 年
的人口统计图(单位：万人)．
图 1 图 2
资 料
◆自 1997 年以来，台州市已连续 12 年实现耕地总面积基本不变．
◆台州市 2008 年人均耕地面积 0.4 亩，不到全国人均耕地的
3
1 ，相当于联合国粮农组
织确定的人均 0.8 亩耕地警戒线的
2
1 ．
(1)请你计算扇形统计图中表示“田”的扇形圆心角的度数；
(2)请你指出台州市 2004～2008 年的人口变化趋势，并据此推断台州市 2004～2008 年
人均耕地面积是不断增加还是不断减少?(人均耕地面积＝耕地总面积÷人口)
(3)结合统计图和资料的信息，计算台州市 2008 年耕地总面积约是多少万亩?
3 直方图(一)
学习要求
1．初步认识直方图，能分析简单的频数分布情况．
2．会制作频数分布直方图，并根据统计图作出分析和判断．
课堂学习检测
一、填空题
1．分析数据的频数分布，首先计算出这组数据中__________的差，参照这个差值对数据进
行__________，然后利用___________给出数据的分布情况，进而用___________来描述
数据的分布情况．
2．对某中学同年龄的 70 名女学生的身高进行测量，得到一组数据，其中最大值是 170cm，
最小值是 147cm，对这组数据进行整理时，打算把它分成 8 组，则组距是_________．
3．如图是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布直方图(每组数据含最小值，不含最大值)，
根据图形直接回答下列问题：
(1)该单位共有职工_________人；
(2)______年龄段的职工人数最多，该年龄段职工人数占职工总人数的______％；年龄不
小于 38 岁，但小于 44 岁的职工人数占职工总人数的______％；(结果均精确到 0.1％)
(3)如果 42 岁的职工有 4 人，则年龄在 42 岁以上的职工有_______人．
4．如图是某班学生的一次考试成绩的频数分布直方图(每组数据含最小值，不含最大值)，
由图可知：
(1)该班有______名学生；
(2)该班不及格的学生共有________名，占全班人数的________％；
(3)该班成绩优秀(分数在 85 分或 85 分以上)的学生最多________人，最少______人．
二、解答题
5．网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对 12～35 岁(不含
35 岁)的网瘾人群进行了抽样调查．下图表示在调查的样本中不同年龄段的网瘾人数，
其中 30～35 岁(不含 35 岁)的网瘾人数占样本总人数的 20％(每组数据含最小值，不含最
大值)．
(1)被抽样调查的样本总人数为______人．
(2)请把统计图中缺失的数据、图形补充完整．
(3)据报道，目前我国 12～35 岁(不含 35 岁)网
瘾人数约为 200 万人，那么其中 12～18 岁
(不含 18 岁)的网瘾人数约有多少人?
综合、运用、诊断
一、选择题
6．一个有 80 个样本的数据组中，样本的最大值是 145，最小值是 50，取组距为 10，那么
可以分成( )．
(A)10 组 (B)9 组 (C)8 组 (D)7 组
7．某校对 1200 名学生的视力进行了检查，其值在 5.0～5.1 这一小组的百分比为 25％，则
该组的人数为( )．
(A)150 人 (B)300 人 (C)600 人 (D)900 人
二、解答题
8．为了了解中学生的身高情况，对某中学同年龄的若干名女生的身高进行了测量，整理数
据后画出频数分布直方图(如图)．(每组数据含最小值，不含最大值，且身高均为整数)
(1)参加这次测试的学生人数是__________；
(2)身高在__________范围内的学生人数最多，这一范围的学生占______％；
(3)如果身高在 155cm 以上(含 155cm)者为良好，试估计该校女学生身高的良好率是
________．
9．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为 11 月 1 日至
30 日，评委会把同学们上交作品的件数按 5 天
一组分组统计，绘制了直方图如下(从左至右依
次为第一组至第六组)．已知从左至右各长方形
的高度之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频
数为 12，请回答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)第几组上交的作品数量最多?有多少件?
(3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖，问这两组哪组的获奖率较高?
拓展、探究、思考
10．某中学为了了解本校学生的身体发育情况，对同年龄的 40 名女学生的身高进行了测量，
结果如下：(数据均近似为正整数，单位 cm)
167，154，159，166，169，159，156，162，158，159，160，164，160，157，161，
158，153，158，164，158，163，158，x，157，162，159，165，157，151，146，151，
160，165，158，163，162，154，149，168，164．
统计人员将上述数据整理后，画出了频数分布直方图，并列出了频数分布表如下：
身高(cm) 频数
144.5
5
3 A
知识要点：
1、掌握理解不等式的性质，并能运用不等式的性质解简单的一元一次不等式。
2、通过探索学习，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、让学生体验数学活动中的探索性、趣味性，激发学生学习数学的热情和兴趣。
本节测试：
1．下列说法中正确的个数是（ ）
（1）若－a＞－b，则 a＞b （2）若 2x＞－2y，则 x＞－y
（3）若 ax＞ay，则 x＞y （4）若 a－1＞b－1，则 a＞b
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由 6m－1＜2，得 6m＜1 B．由πx＞3，得 x＞1
C．由 3
x
＞0，得 x＞3 D．由－4a＜12，得 a＞－3
3．（1）用“＞”号或“＜”号填空
16＋2________－3＋2 26×（－2）________－3×（－2）
36÷2________－3÷2 46÷（－2）________－3÷（－2）
（2）如果 a＞b，则
1a＋c________b＋c 2a－c________b－c
3ac________bc（c＞0）
4 c
a
________ c
b
（c＜0）
答案：
1．B （1）若－a＞－b，根据不等式的基本性质 3，应得 a＜b，故不正确；
（2）根据不等式的基本性质 2，若 2x＞－2y，在不等式的两边都除以 2，得 x
＞－y，所以是正确的；（3）若 ax＞ay，不明确 a＞0 还是 a＜0，所以不能得 x
＞y，故不正确；（4）根据不等式的基本性质 1，若 a－1＞b－1，在不等式的两
边都加上 1，得 a＞b，所以是正确的．
2．D 不等式的两边都除以－4，根据不等式的基本性质 3，得 a＞－3．
3．（1）＞ ＜ ＞ ＜ （2）＞ ＞ ＞ ＜
本节知识要点：
1、掌握理解不等式的性质，并能运用不等式的性质解简单的一元一次不等式。
2、通过探索学习，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
随堂测试：
1.不等式 13
2 x 的解集是__________________.
2.用不等号填空：若
3_____3;4______4;5______5, babababa 则 .
3.当 x_________时，代数代 x32 的值是正数.
答案：
1. 5x ；2.>，<，>；3.
3
2x ；
本节知识要点：
1、掌握一元一次不等式的解法。
2、培养学生利用类比方法学习的能力。
本节测试：
1．比较大小，填上相应的不等号：
（1）若 a＞b，则 2
a
＋1______ 2
b
＋1；
（2）若－ 4
3
x＜6，则 x______－8；
（3）若 a＜b，且 c＜0，则 ac＋c______bc＋c；
（4）若 a＞0，b＜0，c＜0，则（a－b）c______0．
2．已知 m＞n，下面四个不等式中不正确的是（ ）
A．4m＞4n B．－4m＞－4n
C．m＋4＞n＋4 D．m－4＞n－4
3．若 a＜b，以下不等式不一定成立的是（ ）
A．a＋m＜b＋m B．a－m＜b－m
C．am2≤bm2
D． a
m
＜ b
m
答案：
1．（1）＞ 2）＞ （3）＞ （4）＜
提示：（1）题先运用基本性质 2，再运用基本性质 1；（2）题运用基本性质
3；（3）题先运用基本性质 3，再运用基本性质 l；（4）先求得 a－b＞0，再运用
基本性质 3．
说明：在解这类问题时，要注意不等式的三个基本性质的使用顺序．
2．B 根据不等式的基本性质 1，由 m＞n，可得 m＋4，n＋4，m－4＞n－
4，所以 C、D 都正确；根据基本性质 2，由 m＞n，所以 A 正确；根据基本性质
3，由 m＞n，可得－4m＜－4n，所以 B 不正确．
3．D 由 a＜b，根据不等式的基本性质 1、2，可得 a＋m＜b＋m，a－m＜
b－m，am2≤bm2（当 m＝0 时取等号），故 A、B、C 一定成立；因 a、b、m 的
正、负不明确，所以 D 不一定成立．
本节知识要点：
1 不等式的运用
2 ： 寻找不等关系
本节测试：
1．用不等式表示图 9-6 中不等式的解集，其中正确的是（ ）
A．x＞－2 B．x＜－2 C．x≥－2 D．x≤－2
2．如果 3－2x≤－3x，则 x 的取值范围是______．
3．2x－1＜5 的正整数解是______．
本节知识要点：
1 运用不等式解决有关的问题
2 初步认识一元一次不等式的应用价值
本节测试：
1．如图 9-7 所示，用实线将不等式和不等式的解集连结起来．
（1）3x≤－4 （2） 3
2
4
xx＞－
（3）－ 5
3
x＞0
（4）－2x≥5
2．先根据文字语言列出不等式（未知数均用 x 表示），再在数轴上表示出其
解集．
（1）小于 3 的数；
（2）不大于 2 的数；
（3）不小于－1 的数；
（4）绝对值小于 2 的数．
3．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件．
（1）它的正整数解为 1，2，3；
（2）它的整数解为－1，0，1．
答案：
1．解：本题的实质是求不等式的解集，所用的理论根据是不等式的基本性
质．
（1）根据不等式的性质 2，在不等式 3x≤－4 的两边同除以 3，得 x≤ 3
4－
．
（2）根据不等式的基本性质 1，在不等式的两边都加上 3
2x
，得 x＞0．
（3）根据不等式的基本性质 3，在不等式两边都乘以 3
5－
，并改变不等号
的方向，得 x＜0．
（4）根据不等式的基本性质 3，在不等式两边都除以－2，并：改变不等号
的方向，得 x≤ 2
5－
．
∴ （1）对应题图乙，（2）对应题图丙，（3）对应题图甲，（4）对应题图
丁．
2．解：解答时，首先要理解“不大于”，“不小于”，“绝对值”等的含义，
其次要懂得数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数小；再者，画出在数
轴上的表示图时，要注意方向和端点．
（1）x＜3
（2）x≤2
（3）x≥－1
（4）｜x｜＞3，x＞3 或 x＜－3，
3．解：（1）根据题意，把不等式的正整数解在数轴上表示为
∴ 满足条件的其中一个不等式为 0＜x＜4．
（2）根据题意，把不等式的整数解在数轴上表示为
∴ 满足条件的其中一个不等式为－2＜x＜2．
本节知识要点：
1 一元一次不等式的解法；
2 不等式性质 3 在解不等式中的运用。
本节测试：
1．如果 m＜n＜0，下列结论错误的是（ ）
A．m－9＜n－9 B．－m＞－n
C． n
1
＜ m
1
D． n
m
＞1
2．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如
图 9-9 所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排应为（ ）
A．■、●、▲ B．■、▲、●
C．▲、●、■ D．▲、■、●
3．说出下列不等式变形的依据：
（1）若 a－2＞3，则 a＞5；
（2）若 2a＞－3，则 a＞－ 2
3
；
（3）若－4x＞3，则 x＜－ 4
3
；
（4）若－ 5
a
＞2，则 a＜－10
答案：
1．C 因为 m＜n＜0，根据不等式的性质 1，可得 m－9＜n－9，故 A 正确；
根据不等式的基本性质 3，可得－m＞－n，故 B 正确；因 mn＞0，在 m＜n 两边
都除以 mn，可得 mn
11 ＜
故 C 错误；在 m＜n 的两边都除以 n（n＜0），可得
1＞
n
m
，
所以 D 正确．
2．B 由题图甲可得“■”＞“▲”，由题图乙可得“▲”＞“●”，
3．解：（1）两边同时加上 2 （2）两边同时除以 2 （3）两边同时除以－
4 （4）两边同时乘以－5
本节知识要点：
1 培养学生利用类比方法学习的能力。
2 培养学生准确的计算能力
1．说出下列不等式变形的依据：
（1）若 a－2＞3，则 a＞5；
（2）若 2a＞－3，则 a＞－ 2
3
；
（3）若－4x＞3，则 x＜－ 4
3
；
（4）若－ 5
a
＞2，则 a＜－10
2．根据不等式的基本性质，把下列不等式表示为 x＞a 或 x＜a 的形式．
（1）10x－1＞9x； （2）2x＋2＜3；
（3）5－6x＞2 （4）－5x＋6＜2x＋1
11．比较下列各题两式的大小：
（1） 3
a
－3 与 3
a
－4
（2）a＋b 与 a－b
3．盒子里有红、白、黑三种球．若白球的个数不少于黑球的一半，且不多
于红球的 3
1
，又白球和黑球的和至少是 55．问盒中红球的个数最少是多少个？
答案：
9．解：（1）两边同时加上 2 （2）两边同时除以 2 （3）两边同时除以－
4 （4）两边同时乘以－5
10．解：（1）x＞1 （2） 2
1＜ x （3） 2
1＜ x （4） 7
5＞x
11．解：（1）由
4333014333
－＞ －知 ＞＝－－ － aaaa
；
（2）（a＋b）－（a－b）＝a＋b－a＋b＝2b．
故当 b＞0 时，2b＞0，a＋b＞a－b；
b＝0 时，a＋b＝a－b；b＜0 时，a＋b＜a－b．
三、探究题
12．解：设盒中的红、白、黑三种球的个数分别为 a、b、c，且 a、b、c 都
是正整数
③＋
②
①
则
55
3
2
cb
ab
cb
由①得 c≥2b，∴ b＋c≤b＋2b＝3b
由②得 a≥3b，∴ a≥3b≥b＋c＝55
又 a、b、c 都是正整数
检验，得
38
19
57
38
18
56
3
110
3
55
55
c
b
a
c
b
a
c
b
a ＝
，
＝
，
＝
＝
＝
又 2
cb
，∴ a＝57 满足题意
∴ 盒中红球的个数最少是 57 个．
知识要点：
1、掌握一元一次不等式组的不同形式，理解不等式组的解集的涵义。
2、会利用数轴准确的确定一元一次不等式组的解集。体会数形结合的思想。
本节测试
（基础题）解下列不等式组：
（1）
②＜－
①＞－
xx
x
827
0153
（2）
②－＞＋－
①－－
243
213
xx
xx
（3）
②＋＋
①＋－
xx
xx
3627
5245
（4）
②＞－
①－＞－
343
421
x
xx
答案 解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴
找它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．
（1）解不等式①，得 x＞5
解不等式②，得 x＞－2
在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集如图 9-12 所示：
∴ 这个不等式组的解集是 x＞5
（2）解不等式①，得 x≤－ 2
1
，解不等式②，得 x＜ 2
3
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图 9-13 所示：
∴ 这个不等式组的解集是 x≤－ 2
1
（3）解不等式①，得 x≤3
解不等式②，得 x≥1
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图 9-14 所示：
∴ 这个不等式组的解集是 1≤x≤3
（4）解不等式①，得 x＜－3
解不等式②，得 x＞ 3
7
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图 9-15 所示：
∴ 这个不等式组无解．
说明：（1）用数轴表示不等式组的解集，要时刻牢记：大于向右画，小于向
左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．
（2）对于由两个一元一次不等式组成的不等式组，熟练以后，可直接根据
它的四种基本情况确定不等式的解集．
本节知识要点：
1 会从实际问题中抽象出数学模型
2 会用一元一次不等式解决具有不等关系
本节测试：
1．下列不等式是一元一次不等式的为（ ）
A．2（1－y）＋y＞4y＋2 B．x（x－2）≥1
C． 2
1
＋ 3
1
＞ 6
1 D．x＋1＜x2＋2
2．不等式 2x－3≤5 的非负解有（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．无限个
3．不等式（1－9x）＜－7－ 2
3
x 的解集为（ ）
A．全体有理数 B．全体正数 C．全体负数 D．无解
答案：
1．A 2．D 3．D
本节知识要点
1 会解一元一次不等式组，并在数轴上确定其解集．
2 能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式组；
本节测试：
1（能力题）求同时满足 6x＋3＞4x＋7 和 8x－3≤5x＋12 的整数解．
2（能力题）解不等式组－1＜ 3
12 －x
≤5；
3（应用题）某校在一次课外活动中，把学生编为 9 个组，若每组比预定的
人数多 1 人，则学生总数超过 200 人；若每组比预定的人数少 1 人，则学生总数
不到 190 人，求预定每组学生的人数．
答案
1“同时满足”说明要求两个不等式组成的不等式组的解集，再确定它的整
数解．
由题意，得
②＋－
①＋＞＋
12538
7436
xx
xx
由①得 x＞2，由②得 x≤5
∴ 不等式组的解集为 2＜x≤5，在数轴上表示如图 9-16 所示
∴ 整数 x 为 3，4，5．
说明：确定不等式组解集的关键是应用数轴找各不等式解集的公共部分，这
体现了数与形的有效结合．
2 本题可以看做是把两个不等式－1＜ 3
12 －x
和 3
12 －x
≤5 连写在一起，所以可
以解这两个不等式组成的不等式组求出 x 的取值范围；也可以利用不等式的基本
性质变形得出不等式的解集．
解法一：原不等式可以化成下面的不等式组
②－
①－＜－
53
12
3
121
x
x
解不等式①，得 x＞－1，解不等式②，得 x≤8
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图 9-18 所示
所以不等式组的解集为－1＜x≤8，原不等式组的解集为－1＜x≤8．
解法二：－1＜ 3
12 －x
≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8．
说明：对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式，也可以按照解不
等式的步骤两边求解．
3 借鉴列方程组解应用题的方法，抓不等关系，列不等式．本题中的两个不
等关系是：（1）9 组中每组比预定的人数多 1 人，学生总数超过 200 人；（2）9
组中每组比预定的人数少 1 人，学生总数不到 190 人．
设预定每组学生有 x 人，根据题意，得
190)1(9
2001)(9
＜－
＞＋
x
x
解这个不等式组，得
9
199
9
199
＜
＞
x
x
所以不等式组的解集为 9
191
＜x＜ 9
199
即 21
＜＜x9
2
22 9
1
，其中符合题意的整数解只有一个，x＝22
所以预定每组学生的人数为 22 人
说明：列不等式或不等式组解应用题，当求得未知数的值后，必须检验，一
是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解集；二是检验所求的值是否与实际
意义相符，如人数、数位上的数字皆为整数，速度、路程、时间等皆为非负数等．
本节知识要点：
1. 通过解决一个实际问题，让学生经历收集数据、整理数据、描述数据、得出结论的过程，
初步感受统计调查的基本过程.
2.了解用调查问卷收集数据，会用表格整理数据，会用条形图、
扇形图描述数据，
能力测试
1．条形统计图能清楚地看出（ ）
A．数量增减变化的情况 B．数量的多少
C．各部分与总数之间的关系 D．各组频数之间的关系
2．不但可以表示出数量的多少，而且能清楚地表示出数量增减变化情况的
是（ ）
A．扇形统计图 B．复式条形图
C．折线统计图 D．条形统计图
3．要想中国奥运代表队在最近五届奥运会获得奖牌数的变化趋势，应该选
用（ ）
A．扇形统计图 B．复式条形图
C．折线统计图 D．条形统计图
4．五次全国人口普查资料显示，2005 年海南省总人口为 786.75 万，图 12-6
中显示海南省 2005 年接受初中教育这一类别的数据丢失了，那么结合图中信息，
可推知 2005 年我省接受初中教育的人数为（ ）
A．24.94 万 B．255.69 万 C．270.64 万 D．137.21 万
5．在一次调查数学作业布置情况的意见：（1）特别满意（2）比较满意（3）
满意（4）不满意（5）比较不满意（6）特别不满意，选比较满意的频数是 14，
频率为 5％，则被调查学生的总数为______人；
6．在某次英语竞赛中，有一道比较难的选择题，共有 A、B、C、D 四个选项，
而且每个同学都进行了选择，经过初二（7）班英语老师统计，初二七班选 A 的
频率为 14％，选 B 的频率为 48％，选 C 的频率为 24％，则选 D 的频率为______．
7．为了了解北京市初二男同学的身体生长情况，随机对 200 名北京初二男
同学进行抽查，为了比较直观给出统计情况，最好选用（ ）
A．复合条形图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．频数直方图
8．在一次调查中，某个数据的频数是 a，频率是 m％，另一个数据的频数是
b，则频率是______．
9．图 12-7 是小明画出的雨季某地某星期降雨量的条形图．
（1）这个星期的总降雨量约有______mm；
（2）如果日降雨量在 25 毫米以上为大雨，那么这个星期哪几天在下大雨？
__________．
10．扇形统计图中扇形占圆的 30％，则此时扇形所对的圆心角为（ ）
A．120° B．108° C．90° D．60°
11．将 100 个数据分成 8 个组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 11 14 12 13 13 x 12 10
则第六组的频数为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．甲校女生占全校总人数的 50％，乙校男生占全校总人数的 50％，比较
两校女生人数（ ）
A．甲校多于乙校 B．甲校与乙校一样多
C．甲校少于乙校 D．不确定
13．图 12-8 是某地区用水量与人口数情况统计图，日平均用水量为 400 万
吨的那一年，人口数大约是（ ）
A．180 万 B．200 万 C．300 万 D．400 万
14．已知一组数据 63、65、67、69、66、64、66、64、65、68，在 64.5～
66.5 之间的数据出现的频率是（ ）
A．0.4 B．0.5 C．5 D．4
15．2005 年第一季度，钢铁及新材料、轿车等机械制造、烟草及食品、光
电子信息、石化、环保等十大行业的快速发展，带动了武汉市国民经济的快速增
长．其中，规模居前的 6 个行业第一季度的生产规模占这十大行业同期生产总规
模的百分比依次是 27％、18％、10％、16％、9％、6.25％（如图 12-9）．已知
环保第一季度的生产规模约 27 亿元，则此次统计中第一季度十大行业生产总规
模及其中规模超过 40 亿元的行业个数分别为（ ）
A．约 432 亿元，3 B．约 432 亿元，4
C．约 372.6 亿元，3 D．约 372.6 亿元，4
16．如图 12-10 是小刚一天中的作息时间分配的扇形统计图，如果小刚希望
把自己每天的阅读时间调整为 2 小时，那么他的阅读时间需增加（ ）
A．15 分 B．48 分 C．60 分 D．105 分
参考答案与点拨
1．B 2．C 3．C 4．B 5．280 6．14％ 7．D
8． a
bm%
（提示：频数为 a，频率为 m％，则总数为 ％m
a
，频数为 b，则它
的频率为 b÷ ％m
a
）9．150，星期二，三 10．B 11．D 12．D 13．A 14．A
15．B 16．C
本节知识要点：
1. 经历由实际问题进行统计调查解决问题的过程，会用分好组的频数分布表整
理数据，会根据表格画简单的频数分布直方图，会利用频数分布的图表解释数
据中蕴含的信息，培养统计观念.
2.了解组距、组数、频数、频数分布等概念.
本节测试
一、选择题
1．考察 50 名学生的年龄，列频数分布表时，这些学生的年龄落在 5 个小
组中，第一、二、三、五组的数据个数分别是 2，8，15，5，则第四组的频率
是（ ）
A．20 B．0.4 C．0.6 D.30
2．有 40 个数据，其中最大值为 35，最小值为 15，若取组距为 4，则应该
分的组数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
3．绘制频数折线图时，通常要求出各个小组两个端点的平均数，这些平均
数称为_________．
4．利用频数分布直方图画频数折线图时，若组距为 4，第一个小组的范
围是 138≤x<142，最后一个小组的范围是 154≤x<158．则折线上最左边的点
的坐标是_______，最右边的点的坐标是________．
三、解答题
5．某班同学参加环保知识竞赛，将学生成绩（得分都是整数）进行整理
后分成 5 组，绘成频数分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的高的
比为 1：3：6：4：2，最后一组的频数为 6，结合直方图提供的信息解答下列
问题：
（1）该班有多少名同学参赛？
（2）成绩落在哪组数据范围内的人数最多？是多少？
（3）求成绩在 60 分以上（含 60 分）的学生占全班参赛学生人数的百分率．
（4）请你直接在直方图的基础上绘制频数折线图．
60
(每组含最低分数但不含最高分数)
频数
(学生人数)
分数/分
100
90
80
70
50
0
6．储蓄所太多必将增加银行支出，太少又难以满足顾客的需求．为此，
银行在某储蓄所抽样调查了 50 名顾客，他们的等待时间（进入银行到接受受
理的时间间隔，单位：分）如下：
22 14 33 17 24 17 12 14 24 11 15 20 18 3 25 24 34
37 42 35 30 23 34 22 13 34 8 22 31 24 25 0 1 21
28 33 32 23 14 4 31 42 34 26 14 25 40 14 42 6
（1）将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图；
（2）这 50 名顾客的平均等待时间是多少？根据这个数据，你认为应该给
银行提什么建议？
答案:
1．B 2．C 3．组中值 4．（136，0）；（160，0）
5．①48 人；
②大于等于 70 分而小于 80 分的范围内的人数最多；
③93.75%；④略
6．①略（答案不唯一）；
②平均等待的时间是 22.74 分．顾客平均等待的时间过长，应控制在 12分钟左右．为
此，银行可以在高峰期增加办事人员，提高工作效率，加强业务训练，优化服务质量，同
时可以适当的增加营业网点．
本节测试
1. 经历由实际问题进行统计调查解决问题的过程，会用分好组的频数分布表整
理数据，会根据表格画简单的频数分布直方图，会利用频数分布的图表解释数
据中蕴含的信息，培养统计观念.
2.了解组距、组数、频数、频数分布等概念.
综合练习
1．在统计应用中，会用到频数分布表和频数分布直方图，但更多的情况下
会应用到频率分布表和频率分布直方图．未成年人思想道德建设越来越受到社会
的关注．某青少年研究所随机调查了大连市内某校 100 名学生寒假中花零花钱的
数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了
频率分布表．
分组 频数 频率
0.5～50.5 ______ 0.1
50.5～______ 20 0.2
100.5～150.5 ______ _____
______200.5 30 0.3
200.5～250.5 10 0.1
250.5～300.5 5 0.05
合计 100 ______
（1）补全频率分布表；
（2）根据上面的频率分布表，作出相应的频率分布图；
（3）研究所认为，应对消费 150 元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估
计应对该校 1 000 名学生中约多少名学生提出这项建议？
2．初中学生的视力状况已受到全社会广泛关注．某市有关部门对全市 20
万名初中学生视力状况进行了一次抽样调查，从中随机抽查了 10 所中学全体初
中学生的视力，图 12-29、图 12-30 是 2004 年抽样情况统计图．请你据图解答
以下问题：
（1）2004 年这 10 所中学初中学生的总人数有多少人？
（2）2004 年这 10 所中学的初中学生中，视力在 4.75 以上的学生人数占全
市初中学生总人数的百分比是多少？
（3）2004 年该市参加中考的学生达 66 000 人，请你估计 2004 年该市这 10
所中学参加中考的学生共有多少人？
3．初三（1）班某一次数学测验成绩如下：
63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，
94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，
95，53，65，74，77．
数学老师按 10 分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布
表，并绘制频数分布直方图．
（1）请把频数分布表及频数分布直方图补充完整；
（2）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？
（3）请你帮老师统计一下这次数学考试的及格率（60 分以上含 60 分为及
格）及优秀率（90 分以上含 90 分为优秀）．
成绩段 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～
79.5 79.5～89.5 89.5～99.5
频数记录 丅 正正 正
频数 2 9 14 5
频数 0.050 0.225 0.250 0.350
4．如图 12-32 所示，A、B 两个旅游点从 2001 年至 2005 年五一的旅游人数
变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求 A、B 两个旅游点从 2001 到 2005 年旅游人数的平均数和方差，并从
平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安
全，A 旅游点的最佳接待人数为 4 万人，为控制游客数量，A 旅游点决定提高门
票价格．已知门票价格 x（元）与游客人数 y（万人）满足函数关系 y＝5－100
x
若
要使 A 旅游点的游客人数不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多少？
5．下表数据来源于国家统计局《国民经济和社会发展统计公报》．
2001～2004 年国内汽车年产量统计表
2001 年 2002 年 2003 年 2004 年
汽车（万辆） 233 325.1 444.39 507.41
其中轿车（万
辆） 70.4 109.2 202.01 231.40
（1）根据上表将下面的统计图补充完整：
（2）请你写出三条从统计图中获得的信息；
（3）根据 2004 年汽车年产量和目前销售情况，有人预测 2006 年国内汽车
年产量应上升至 650 万辆．根据这一预测，假设这两年汽车年产量平均年增长率
为 x，则可列出方程__________．
6．2005 年 1 月 6 日《东亚经贸》报道，我国人口已达到 13 亿．请你根据
右边的统计图回答下列问题：
（1）哪个阶段人口增加的最快？
（2）按照统计图的规律，请你估计 2010 年我国人口总数？
（3）从近几年人口增长的情况看，你还能获得哪些有效信息？
7．查阅动物百科全书可以知道，喜鹊体长 41～52 cm，营巢于高大乔木的
中上层，每次产卵 5～8 枚；丹顶鹤体长约 140 cm，营巢于周围环水的浅滩、深
草丛中，每次产卵 2 枚；绿孔雀体长 100～230 cm，营巢于灌木丛、竹丛间的地
面，每次产卵 4～8 枚；鸳鸯体长 38～44 cm，营巢于树洞中，每次产卵 7～12
枚．请用统计表整理上述信息，并根据表中信息回答下列问题：
（1）绿孔雀体长的极差是__________．
（2）丹顶鹤成为国家一级保护动物的原因之一是__________．
参考答案与点拨
1．（1）
分组 频数 频率
0.5～50.5 10 0.1
50.5～100.5 20 0.2
100.5～150.5 25 0.25
150.5～200.5 10 0.1
200.5～250.5 10 0.1
250.5～300.5 5 0.05
合计 100 1
（2）
（3）450
2．（1）10 000 （2）2.75％ （3）3 300 人
3．（1）
成绩段 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5
频数记录 正正 正
频数 2 9 10 14 5
频数 0.050 0.225 0.250 0.350 0.125
（2）从图中可以清楚地看出 79.5 分到 89.5 分这个分数段的学生数最多，
49.5 分到 59.5 分这个分数段的学生数最少．
（3）及格率： 40
240－
＝95％，优秀率： 40
5
＝12.5％．
4．解：（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2004 年．
（2） 5
54321 ＋＋＋＋＝AX
＝3（万人）
5
54321 ＋＋＋＋＝BX
＝3（万人）
S2
A＝ 5
1
[（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22]＝2
S2
B＝ 5
1
[02＋02＋（－1）2＋12＋02]＝ 5
2
从 2001 至 2005 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万，但 A
旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动大．
（3）由题意，得 5－100
x
≤4
解得 x≥100 100－80＝20
答：A 旅游点的门票至少要提高 20 元．
5．（1）如图答-15，
（2）①汽车年产量逐年递增；②轿车年产量逐年递增；
③汽车年产量 2003 年增长量最大；④轿车年产量 2003 年增长量最大；
⑤汽车年产量相对于上一年的增长速度 2004 年减缓；
⑥轿车年产量相对于上一年的增长速度 2004 年减缓；
⑦轿车的年产量在汽车中所占的比重逐年加大；
⑧轿车的年产量 2004 年是 2001 年的 3 倍多；……
（3）507.41×（1＋x）2＝650．
6．（1）60～70 年代（增长人数为 16 785 万人）；或答 60 年代到二十世纪
末也可
以；
（2）大约 135 000 万人左右（答案接近此数即可）；
（3）从 2000 年以来增长速度渐缓，每年不到 1 000 万人．
（如有其他答案只要合理亦可）
7．
鸟名 喜鹊 丹顶鹤 绿孔雀 鸳鸯
营巢环境 高大乔大 浅滩、深草丛 灌木丛 树洞
体长（cm） 41～52 140 100～230 38～44
产卵枚数 5～8 2 4～8 7～12
（表格中营巢环境、体长、产卵枚数每缺一行扣 2 分）
（1）极差是 130 cm．（不写单位不扣分）
（2）①丹顶鹤产卵很少；②营巢环境要求较高（写出一条即可）
七下数学全册导学案
第五章 相交线与平行线
课题：5.1.1 相交线
学习目标：
1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质.
2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算.
3.通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力.
学习重点：
邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质.
学习难点：
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.
学习过程：
一．自主学习(5-7 分钟)
1.阅读课本 P1 图片及文字，了解本章要学习哪些知识?应学会哪些数学方法?
培 养 哪 些 良 好 习
惯? .
2.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时,
随 着 两 个 把 手 之 间 的 角 逐 渐 变 小 , 剪 刀 两 刀 刃 之 间 的 角 引 发 了 什 么 变
化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀
刃之间的角又发生什么了变化? .
3.如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交
直线所成的角的问题, 阅读课本 P2 内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有
什么特征?
二．合作探究(5-8 分钟)
1.画直线 AB、CD 相交于点 O,并说出图中 4 个角,两两相配共能组成
几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类?
例如:
(1). ∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC，它们的另一边互为 ，称
这两个角互为 .用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量
关系是
(2). ∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD
两边的 ，称这两个角互为 .用量角器量一量这两个角的度
数，会发现它们的数量关系是 .
2.根据观察图形和度量角度完成下表:
两直线相交 所形成的角有 对顶角有 邻补角有 数量关系式有
4
3
2
1
O
D
C
B
A
3.用语言概括邻补角、对顶角概念.
的两个角叫
邻补角.
的两个角叫
对顶角.
4.探究对顶角性质.
在图 1 中,∠AOC 的邻补角有两个，是 和 ,根据“同角的补角相
等”,可以得出 = ,而这两个角又是对顶角，由此得到对顶角性质:对顶角相．．．．
等．.
注意：对顶角概念与对顶角性质不能混淆，对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶
角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.
你能利用“对顶角相等”这条性质解释剪刀剪纸过程中所看到的现象吗？
三.巩固运用(人人完成,分组展示 10-15 分钟)
1.例题:如图,直线 a,b 相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4 的度数.
提示：未知角与已知角有什么关系？通过什么途径去求这些未知角的度数？,规范地写
出求解关键过程，并写明理由.
2.练习:完成课本 P3 练习.
四.反思总结(1-3 分钟)
本节课你学到了什么？重点是什么？难点是什么？困惑是什么?（小组交流，互助解决）
五.达标检测(5-8 分钟)
1.如图所示,∠1 和∠2 是对顶角的图形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.如图(1),三条直线 AB,CD,EF 相交于一点 O, ∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是
1
21
2
1
2
21
_______，若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______，∠AOE+∠DOB+∠COF=_____.
O
F
E D
C
BA
3.如图，直线 AB,CD 相交于 O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,求∠EOB 的度数.
OE
D
C
B
A
4.如图,直线 a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=68°,求∠4 的度数
c
b
a 3
4
1
2
六.布置下一课时预习任务 P3-5 垂线(1)
课题：5.1.2 垂线（1）
学习目标：
1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
学习重点：垂线的定义及性质.
学习难点：垂线的画法
学具准备相交线模型，三角尺，量角器
学习过程：
一．自主学习
1．如图，若∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______
2．改变上图中∠1 的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，
并求出此时∠2、∠3、∠4 的大小.
二．合作探究
1.阅读课本 P3 的内容，回答上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直
线互相________是两条直线相交的特殊情况.
2. 用语言概括垂直定义
两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一
条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____.
3．垂直的表示方法：
垂 直 用 符 号 “⊥” 来 表 示 ， 若 “ 直 线 AB 垂 直 于 直 线 CD ， 垂 足 为 O” ， 则 记 为
E
(3)
O
D
C
B
A
(2)
O
D
C
B
A
(1)
O
D
C
B
A
O
D
C
B
A
__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图.
4.垂直的推理应用：
（1）∵∠AOD=90° （ ）
∴AB⊥CD （ ）
（2）∵ AB⊥CD （ ）
∴ ∠AOD=90°（ ）
5．垂直的生活应用
观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么
印象?找一找：在你身边，还能发现哪些“垂直”的实例？
三．巩固运用
1．用三角尺或量角器画已知直线 L 的垂线.
(1)已知直线 L，画出直线 L 的垂线，能画几条? L
小组内交流,明确直线 L 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
(2)怎样才能确定直线 L 的垂线位置呢?
在直线 L 上取一点 A,过点 A 画 L 的垂线, 能画几条?再经过直线 L 外一点 B 画直线 L 的垂
线,这样的垂线能画出几条?
B ．
A． L L
从中你能得出什么结论? ____________________________________________
2．变式训练,请完成课本 P5 练习第 2 题的画图.
画完图后，归纳总结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在______的垂线.
四.反思总结
本节课你有那些收获？还有什么疑难需要帮助解决？
五.达标检测
（一）判断题.
1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )
2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )
4.两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ).
（二）填空题.
1.如图 1,OA⊥OB,OD⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
2.如图 2,AO⊥BO,O 为垂足,直线 CD 过点 O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
3.如图 3,直线 AB、CD 相交于点 O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线 OE 与直线 AB
的 位 置
关系是_________.
（三）解答题.
1.已知钝角∠AOB,点 D 在射线 OB 上.
(1)画直线 DE⊥OB (2)画直线 DF⊥OA,垂足为 F.
2.已知:如图,直线 AB,射线 OC 交于点 O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断 OD 与 OE 的
位置关系.
六.布置下一课时预习任务 P5-6 垂线（2）
课题：5.1.2 垂线（2）
学习目标：
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念, 培养学生用几何
语言准确表达的能力.
2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到
直线的距离.
自制学具：硬纸板上和木条,在硬纸板上固定木条 L，L 外有一点 P，另一根可以绕点 P 转动
的木条 m.
学习过程：
一．自主学习
1.上学期我们学习过“什么什么最短”的几何知识,还记得吗? .
2.思考课本 P5 图 5.1-8 中提出问题:要把河中的水引到农田 P 处, 如何挖渠能使渠道最
短?
3.自学课本 P5-6 页的内容后，你能解决 2 中提出的问题吗？若不能，有哪方面的困惑？
二．合作探究
1．问题转化
如果把小河看成是直线 L，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田
P，另一个端点就是直线 L 上的某个点.那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？
E
O
D
C
B
A
E
D
C
B
A
（提示：用数学眼光思考:在连接直线 L 外一点 P 与直线 L 上各点的线段中,哪一条最
短?）
2.学具感受
自制学具：在硬纸板上固定木条 L，L 外有一点 P，另一根可以绕点 P 转动的木条 a 一
端固定在点 P，使木条 a 与 L 相交，左右摆动木条 a，会发现它们的交点 A 随之变化,线段
PA 长度也随之变化.观察：当 PA 最短时,直线 a 与 L 的位置关系如何?用三角尺检验一下。
3.画图验证
(1)画直线 L,在 L 外取一点 P;
(2)过 P 点出 PO⊥L,垂足为 O;
(3)点 A1,A2,A3……在 L 上,连接 PA、PA2、PA3……;
(4)用度量法比较线段 PO、PA1、PA2、PA3……的大小，.得出线段 最小。
4.归纳结论.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .
5.知识类比
(1)垂线段与垂线有何区别联系？
(2)垂线段与线段有何区别与联系？
6.解决问题：
此时你会解决课本 P5 图 5.1-8 中提出的问题吗？在图形中画出“最短渠道”的位置。
7.探究“点到直线的距离”？定义:
(1) 学习课本 P6 第二段内容回答什么叫“点到直线的距离”？默写一遍：
叫做点到直线的距离。．．．．．．．．
(2)对照课本 P5 图 5.1-9，回答线段 PO、PA1、PA2、PA3、……中，哪一条或几条线段的长度
是点 P 到直线 L 的距离？
(3) 如果课本 P5 图 5.1-8 中比例尺为 1:100000,试计算农田 P 到小河的距离有多远？
三．巩固运用
例 1：判断对错，并说明理由：.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段 AE 是点 A 到直线 BC 的距离.
(3)如图,线段 CD 的长是点 C 到直线 AB 的距离.
例:2：已知直线 a、b,过点 a 上一点 A 作 AB⊥a,交 b 于点 B,过 B 作 BC⊥b 交 a 于点 C.
b
a
C
B
A
请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离? 并且用刻度尺测量这个距离.
完成 P6 练习题
四．反思总结
本节课你学到了哪些知识或方法？还有什么困惑？相互交流一下.
五.达标检测
1.如图,AC⊥BC,C 为垂足,CD⊥AB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,
那么点 C 到 AB 的距离是_______,点 A 到 BC 的距离是________,点 B 到 CD
的距离是_____,A、B 两点间的距离是_________.
2.如图,在线段 AB、AC、AD、AE、AF 中 AD 最短.小明说垂线段最短, 因此线段 AD 的长是点
A 到 BF 的距离,对小明的说法,你认为对吗？
3.用三角尺画一个是 30°的∠AOB,在边 OA 上任取一点 P,过 P 作 PQ⊥OB, 垂足为 Q,量一量 OP
的长,你发现点 P 到 OB 的距离与 OP 长的关系吗?
六.布置下一课时预习任务 P6-7 同位角、内错角、同旁内角
课题：5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
学习目标：
1. 理解三线八角中没有公共顶点的角的位置关系 ，知道什么是同位角、内错角、同旁内角.
毛
2. 通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征，能正确识别图形中的同位角、
内错角和同旁内角.
学习重点：同位角、内错角、同旁内角的识别.
学习难点：较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别.
学具准备：用三根木条自制三线八角用具.
学习过程：
一.自主学习
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
1.指出右图中所有的邻补角和对顶角？
2. 右图中的∠1 与∠5，∠3 与∠5，∠3 与∠6 是邻补角或对顶角吗?
若都不是，请自学课本 P6 内容后回答它们各是什么关系的角?
二.合作探究
1.如图（1），将木条 a ，b 与木条 c 钉在一起，若把它们看成三条直线
则该图可说成“直线 和直线 与直线 相交” 也可以说成“两条
直线 ， 被第三条直线 所截”.构成了小于平角的角共有 个，
通常将这种图形称作为“三线八角”.其中直线 ， 称为两被截线，
直线 称为截线.
2. 如图（3）是“直线 ， 被直线 所截”形成的图形
（1）∠1 与∠5 这对角在两被截线 AB,CD 的 ，在截线 EF
的 ，形如“ ” 字型.具有这种关系的一对角叫同位角.
（2）∠3 与∠5 这对角在两被截线 AB,CD 的 ，在截线 EF
的 ，形如“ ” 字型.具有这种关系的一对角叫内错角.
（3）∠3 与∠6 这对角在两被截线 AB,CD 的 ，在截线 EF
的 ，形如“ ” 字型.具有这种关系的一对角叫同旁内角.
3.找出图（3）中所有的同位角、内错角、同旁内角.
4.讨论与交流：
（1）“同位角、内错角、同旁内角”与“邻补角、对顶角”在识别方法上有什么区别？
（2）归纳总结同位角、内错角、同旁内角的特征:
同位角：“F” 字型，“同旁同侧”
“三线八角” 内错角：“Z” 字型，“之间两侧”
同旁内角：“U” 字型，“之间同侧”
三.巩固运用
例 1.如图（2）中∠1 与∠2，∠3 与∠4, ∠1 与∠4 分别是哪两条直线被哪一条直线所
截形成的什么角？
例 2.课本 P7 的例 2
练习:课本 P7 练习 1，2
四. 反思总结
在复杂图形中如何辨认同位角、内错角、同旁?
五. 达标检测
1.如图（4），下列说法不正确的是（ ）
A.∠1 与∠2 是同位角 B.∠2 与∠3 是同位角
C.∠1 与∠3 是同位角 D.∠1 与∠4 不是同位角
2.如图（5），直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠A 和 是同位角，∠A 和 是内错角,
∠A 和 是同旁内角.
3.如图（6）, 直线 DE 截 AB, AC, 构成八个角:
1 指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.
②∠A 与∠5, ∠A 与∠6, ∠A 与∠8, 分别是哪一条直线截哪两条直线而成的什么角？
4.如图（7），在直角 ABC 中，∠C＝90°，DE⊥AC 于 E,交 AB 于 D .
①指出当 BC、DE 被 AB 所截时，∠3 的同位角、内错角和同旁内角.
②试说明∠1＝∠2＝∠3 的理由.（提示：三角形内角和是 1800）
六.布置下一课时预习任务 P11-12 平行线
课题：5.2.1 平行线
学习目标：
1.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平
行公理的推论.
2.会用符号语言表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平
行线.
学习重点：探索和掌握平行公理及其推论.
学习难点：对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.
学前准备：分别将木条 a、b 与木条 c 钉在一起,做成图示的教具.
学习过程：
一．自主学习
1.两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?
2.在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?请同学门观察黑板相对的两条横及
格本中两条横线，若把他们向两方延长，看成直线，他们还是相交直线吗？
3．把三根木条看成三条直线，观察三根木条之间的关系，有几种可能性？
4．自我演示.
顺时针转动木条 b 两圈,然后思考:把 a、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时
c
b
a
B
A
a
C
B
针转动 b 时,直线 b 与直线 a 的交点位置将发生什么变化?在这个过程中, 有没有直线 b 与 a
不相交的位置?
5.同学交流并形成共识.
转动 b 时,直线 b 与 c 的交点从在直线 a 上 A 点向左边距离 A 点很远的点逐步接近 A 点,
并垂合于 A 点,然后交点变为在 A 点的右边,逐步远离 A 点.继续转动下去,b 与 a 的交点就会
从 A 点的右边又转动 A 点的左边……可以想象一定存在一个直线 b 的位置,它与直线 a 左右
两旁都 如下图
c
b
a
6.平行线定义、表示法
结合演示的结论,用自己的语言描述平行线的认识:
①平行线是同一 的两条直线
②平行线是 交点的两条直线
7．尝试用数学语言描述平行定义
特别注意：直线 a 与 b 是平行线,记作“ ”,这里“ ”是平行符号.
思考： 如何确定两条直线的位置关系？.
二.合作探究
1.在转动教具木条 b 的过程中,有几个位置能使 b 与 a 平行?
2.用直线和三角尺画平行线.
已知:直线 a,点 B,点 C.
(1)过点 B 画直线 a 的平行线,能画几条?
(2)过点 C 画直线 a 的平行线,它与过点 B 的平行线平行吗?
3.观察画图、归纳平行公理及推论.
(1)对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.平行公理:
(2)比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点:都是“ ”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是
的.
不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线 ,两垂线性质中对“一点”没有限
制,可在直线 ,也可在直线 .
4.探索平行公理的推论.
(1)直观判定过 B 点、C 点的 a 的平行线 b、c 是互相 .
(2)从直线 b、c 产生的过程说明直线 b∥直线 c.
(3)用三角尺与直尺用平推方法验证 b∥c.
(4)用数学语言表达这个结论
用符号语言表达为:如果 那么
三.巩固运用
将一张长方形纸片对折两次，得到三条折痕，这三条折痕有什么关系，请说明理由.
四. 反思总结
c
b
a
你学到了什么?还有什么疑惑?还想知道什么?
五.达标检测
一、填空题.
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有_________
2.两条直线 L1 与 L2 相交点 A，如果 L1//L，那么 L2 与 L（ ），这是因为
（ ）.
3.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一
边必__________.
4.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.
二、判断题.
1.不相交的两条直线叫做平行线.( )
2.如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行, 那么它与另一条直线也互相平行.( )
3.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.( )
三、解答题.
1.读下列语句,并画出图形后判断.
(1)直线 a、b 互相垂直,点 P 是直线 a、b 外一点,过 P 点的直线 c 垂直于直线 b.
(2)判断直线 a、c 的位置关系,并借助于三角尺、直尺验证.
2.试说明三条直线的交点情况,进而判定在同一平面内三条直线的位置情况.
六.布置下一课时预习任务 P12-13 平行线的判定
课题：5.2.2 平行线的判定
学习目标：
1、使学生掌握平行线的四种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。
2、初步学会简单的论证和推理，认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。
学习重点：在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导
学习难点：定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。
学具准备：三角板
学习过程：
一.自主学习
1.预习中的疑难： .
2.填空：经过直线外一点,_____ ___与这条直线平行.
二.合作探究
（一）平行线判定方法 1：
1.观察思考：过点 P 画直线 CD∥AB 的过程，三角尺起了什么作用？
图中，∠1 和∠2 什么关系？
2.判定方法 1： 应用格式：
. ∵∠1＝∠2（已知）
简单说成： . ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
G
H
P
F
E
2
1
D
C
B
A
c
b
a
2
1
87
6 5
c
b
a3
4 1
2
（二） 平行线判定方法 2、3：
1.思考：教材 14 页（试着写出推理过程）
判定方法 2： 应用格式：
. ∵∠2＝∠3（已知）
简单说成： . ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
2.将上题中条件改变为∠2＋∠4＝180°，能得到 a∥b 吗？（试写出推理过程）
判定方法 3： 应用格式：
. ∵∠2＋∠4＝180°（已知）
简单说成： . ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
三.巩固运用
（一）教材 14 页例题
思考:木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？
（二）练一练：教材 P14-15 页练习 1、2、3
四.反思总结
直线平行的判定方法
方法 1：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。即两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平
行.
方法 2：如图 1，若∠1＝∠3，则 a∥c 即 .
方法 3：如图 1，若 .
方法 4：如图 1，若 .
方法 5：如图 2，若 a⊥b，a⊥c,则 b∥c。即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行.
五.达标检测
（一）选择题
1.如图 1 所示,下列条件中,能判断 AB∥CD 的是( )
A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2; C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD
(1) (2) (3) （4）
2.如图 2 所示,如果∠D=∠EFC,那么( )
A.AD∥BC B.EF∥BC C.AB∥DC D.AD∥EF
3.下列说法错误的是( )
3
4
D
CB
A
2
1
FE
D
CB
A
8
7
6
5
4
3
2
1
9
6
5
4
3
2
1
D
C
B
A
A.同位角不一定相等 B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等 D.同旁内角互补,两直线平行
4.如图 5,直线 a,b 被直线 c 所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠-5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明
a∥b 的条件序号为( ) （5）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
（二）填空题
1.如图 3,如果∠3=∠7,那么______,理由是_____ _____;
如果∠5=∠3,那么________, 理由是____ __________;
如果∠2+ ∠5= ______ 那么 a∥b,理由是___ _____.
2.如图 4,若∠2=∠6,则______∥______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥
_______,
如果∠9=_____,那么 AD∥BC;如果∠9=_____,那么 AB∥CD.
3.在同一平面内,若直线 a,b,c 满足 a⊥b,a⊥c,则 b 与 c 的位置关系是______.
4.如图所示,BE 是 AB 的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A 可以判断______∥______,根据是_________.
(2)由∠CBE=∠C 可以判断______∥______,根据是_________.
三.解答题
1.已知直线 a、b 被直线 c 所截,且∠1+∠2=180°,
试判断直线 a、b 的位置关系,并说明理由.
2.如图，已知 DGNAEM ， 21 ，试问 EF 是否平行 GH，并说明理由.
3.如图所示,已知∠1=∠2,AC 平分∠DAB,试说明 DC∥AB.
4.如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=30°,试说明
AB∥CD.
c
b
a
3
2
1
E
D C
BA
D C
BA
2
1
G
H
K
F
E
DC
BA
5.提高训练:
如图所示,已知直线 a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则 a 与 c 平行吗?为什么?
d e
c
b
a
3
4
1
2
六.布置下一课时预习任务 P18-19 平行线的性质
课题：5.3.1 平行线的性质
学习目标：
1.使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算．
2.通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的探索方法，培养学生
的辩证思维能力和逻辑思维能力．
3.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．
学习重点：平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点．
学习难点正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点．
学习过程
一.自主学习
1.预习 P18-19 的疑难：
2.平行线的 3 个判定方法：
二.合作探究
（一）平行线性质
1.观察思考三线八角图：你能得到哪些结论?
2.探索活动：学生分小组展示小组的探究成果.
3.归纳性质：
同位角 .
两条平行线被第三条直线所截， .
.
DC
B A
O
FE DC
BADC
BA 1
∵a∥b（已知）
同位角 . ∴∠1＝∠5（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
简单说成：两直线平行 . ∴∠3＝∠5（ ）
∵a∥b（已知）
. ∴∠3＋∠6＝180°（ ）
（二）对 3 个性质的思考
1.性质 1→性质 2：如右图，∵a∥b（已知）
∴∠3＝∠2（ ）
又∵∠3＝∠1（对顶角相等）
∴∠2＝∠1（等量代换）
2.性质 1→性质 3：如右图，∵a∥b（已知）
∴∠3＝∠2（ ）
又∵ （ ）
∴
三.巩固运用
（一）例如图是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°,∠B=115°, 梯形另外两个角分别是
多少度?
1. ①梯形这个条件说明 ∥ .
②∠A 与∠D、∠B 与∠C 的位置关系是 ,数量关系是 .
（二）练一练：教材 20 页练习 1、2
四.反思小结
1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2、预习时的疑难解决了吗？
五.达标检测
（一）选择题:
1.如图 1 所示,AB∥CD,则与∠1 相等的角(∠1 除外)共有( )
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
(1) (2) （3）
2.如图 2 所示,CD∥AB,OE 平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF 为( )
E
2
1
D
C
B
NM
G
F
E D
CB
A
8
7
6
5
4
3
2
1
D
C
B
A
56
北
乙
甲
北
GF
E
DC
BA
1 2
A.35° B.30° C.25° D.20°
3.∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截而成的内错角,那么∠1 和∠2 的大小关系是( )
A.∠1=∠2 B.∠1>∠2; C.∠1<∠2 D.无法确定
4.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进, 这两次拐弯的角度是( )
A.向右拐 85°,再向右拐 95°; B.向右拐 85°,再向左拐 85°
C.向右拐 85°,再向右拐 85°; D.向右拐 85°,再向左拐 95°
（二）填空题:
1.如图 3 所示,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=_______.
2.如图 4,若 AD∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,
∠ABC+∠_______=180°; 若 DC∥AB,则∠______=∠_______,
∠________=∠__________,∠ABC+∠_________=180°.
（ 4 ） （ 5 ） （6）
3. 如 图 5, 在 甲、乙两 地
之间要修一条笔直的公路, 从甲 地 测 得 公 路 的走向是
南偏西 56°,甲、乙两地同时开工, 若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走
向是_________,因为____________.
4.(2002.河南)如图 6 所示,已知 AB∥CD,直线 EF 分别交 AB,CD 于 E,F,EG平分∠B-EF,若
∠1=72°,则∠2=_______.
（三）解答题
1．如图，AB∥CD，∠1＝102°，求∠2、∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？
2．如图，EF过△ABC的一个顶点A，且EF∥BC，
如果∠B＝40°，∠2＝75°，那么∠1、∠3、∠C、
∠BAC＋∠B＋∠C各是多少度，并说明依据？
3.如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD 平分∠ECB.
4.如图所示,把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG 的度数.
5.如图所示，已知：AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且 AB∥CD．求证：∠1+∠2=90°．
证明：∵ AB∥CD，（已知）
∴∠BAC+∠ACD=180°，（ ）
又∵ AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，（ ）
∴ 11 2 BAC ， 12 2 ACD ，( )
∴ 0 01 11 2 ( ) 180 902 2BAC ACD ．
即 ∠1+∠2=90°．
结论：若两条平行线被第三条直线所截,则一组同旁内角的平分线互相 .
推广：若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相 .
六.布置下一课时预习任务 P20-22 命题、定理、证明
课题：5.3.2 命题、定理、证明
学习目标
1.掌握命题的概念,并能分清命题的组成部分.
2.经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解.
3.初步培养不同几何语言相互转化的能力。
学习重点命题的概念和区分命题的题设与结论
学习难点区分命题的题设和结论
学习过程
一．自主学习
1.预习疑难： .
2.填空： ①平行线的 3 个判定方法的共同点是 .
②平行线的判定和性质的区别是 .
（一）命题：
1.阅读思考：①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③对顶角相等;
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断
2.定义： 的语句,叫做命题
3.练习：下列语句,哪些是命题?哪些不是?
(1)过直线 AB 外一点 P,作 AB 的平行线.
(2)过直线 AB 外一点 P,可以作一条直线与 AB 平行吗?
c
b
a
2
1
(3)经过直线 AB 外一点 P, 可以作一条直线与 AB 平行.
请你再举出一些例子.
（二）命题的构成：
1.许多命题都由 和 两部分组成.
是已知事项, 是由已知事项推出的事项.
2.命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分．．．．．是 ,
"那么"后接的的部分．．．．．．是 .
（三）命题的分类 真命题： .
（定理： 的真命题）
假命题： .
二.合作探究
1.指出下列命题的题设和结论:
(1)如果两个数互为相反数,这两个数的商为-1;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)同旁内角互补,两直线平行;
(4)等式两边乘同一个数,结果仍是等式;
(5)绝对值相等的两个数相等.
(6)如果 AB⊥CD，垂足是 O，那么∠AOC＝90°
2.把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:
（1）互补的两个角不可能都是锐角： .
（2）对顶角相等： .
（3）垂直于同一条直线的两条直线平行： .
3.判断下列命题是否正确:
(1)同位角相等
(2)如果两个角是邻补角,这两个角互补;
(3)如果两个角互补,这两个角是邻补角.
4.完成教材 P21 练习题
三.巩固运用
1.例 如图已知：直线 b//c,a⊥b. 求证：a⊥c
证明：
2.判断一个命题是假命题举出反例就行，例如“相等的角是对顶角”是假例题.
3.完成 P22 练习 1、2.
四.反思小结
1.本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2.预习时的疑难解决了吗？
五.达标检测
1.判断下列语句是不是命题
（1）延长线段 AB（ ）
（2）两条直线相交，只有一交点（ ）
（3）画线段 AB 的中点（ ）
（4）若|x|=2，则 x=2（ ）
（5）角平分线是一条射线（ ）
2.选择题
（1）下列语句不是命题的是（ ）
A.两点之间，线段最短
B.不平行的两条直线有一个交点
C.x 与 y 的和等于 0 吗？
D.对顶角不相等.
（2）下列命题中真命题是（ ）
A.两个锐角之和为钝角
B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角
D.锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶
角；④同位角相等.其中假命题有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3.分别指出下列各命题的题设和结论
（1）如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c
（2）同旁内角互补，两直线平行
4.分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等.
5.如图,已知直线 a、b 被直线 c 所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的
根据:
(1)∵a∥b,∴∠1=∠3(_________________);
(2)∵∠1=∠3,∴a∥b(_________________);
(3)∵a∥b,∴∠1=∠2(__________________);
(4) ∵a∥b,∴∠1+∠4=180º (_____________________)
(5)∵∠1=∠2,∴a∥b(__________________);
(6)∵∠1+∠4=180º,∴a∥b(_______________).
6.已知：如图 AB⊥BC，BC⊥CD 且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴ = =90°（ ）
∵∠1=∠2（已知）
a
b
1
2
3
c
4
C
A
B
D
E
F
1
2
∴ = （等式性质）
∴BE∥CF（ ）
7.已知：如图，AC⊥BC，垂足为 C，∠BCD 是∠B 的余角.
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD 是∠ACD 的余角
∵∠BCD 是∠B 的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
六.布置下一课时预习任务 P28 平移
课题：5.4 平移
学习目标
1.了解平移的概念，会进行点的平移。
2.理解平移的性质，能解决简单的平移问题
学习重点平移的概念和作图方法.
学习难点平移的作图.
学习过程
一.自主学习
预习课本 P27—P29，并完成练习
你在预习中的疑难是： .
二.合作探究
1.观察思考：观察上面图形,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,
你能复制他们吗?
2.探索活动：
如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如图的雪人？
3.思考：在所画的相邻的两个图案中，找出三组对应点，连接它们，观察它们的位置、长短
有什么关系？
4.平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向＿＿＿一定的距离，这样的图形运动称为平
移，平移改变的是图形的＿＿＿＿＿.
注意：①图形的平移是由＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿决定的.
②平移的方向不一定水平。
5.平移性质：①平移不改变图形的＿＿＿＿和＿＿＿＿.
②经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段＿＿＿＿＿＿＿，对应角＿＿＿＿，对应
B D A
C
A
B
C
E
F
G
A
B
C
E
D
F
图 3
图 2
图 1
F
E
D
C
B
A
A
B
C
E
F
G
A
B
C
E
D
F
图 3
图 2
图 1
F
E
D
C
B
A
点所连的线段＿＿＿＿.
6. 一个图形________________________叫做平移变换，简称平移.
三.巩固运用
1.如图 1，△ABC 平移到△DEF，图中
相等的线段有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，
相等的角有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，
平行的线段有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
2.把一个△ABC 沿东南方向平移 3cm，则 AB 边上的中点 P 沿＿＿＿方向平移了＿＿cm.
3.如图，△ABC 是由四个形状大小相同的三角形拼成的，则可以看成是△ADF 平移得到的小
三角形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4.如图，△DEF 是由△ABC 先向右平移＿＿格，再向＿＿＿平移＿
＿＿格而得到的.
5.如图，有一条小船，若把小船平移，使点 A 平移到点 B，请你在图中画出平移后的小船.
6. 平移的性质:平移后的图形与原图形_____、______完全相同，新图形中的每一个点，都是
由___________________移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段______
且________或__________.对应线段______且________或__________.对应角_______.
7.如图，将梯形 ABCD 的腰 AB 沿 AD 平移，平移长度等于 AD 的长，则下列说法不正确的是
（ ）
A AB∥DE 且 AB＝DE B ∠DEC＝∠B
C AD∥EC 且 AD＝EC D BC＝AD＋EC
8.平移作图:△ABC 在网格中如图所示，请根据下列提示作图
(1)向上平移 2 个单位长度.
(2) 再向右移 3 个单位长度.
9.作图,平移三角形 ABC,使点 A 运动到 A`
,画出平移后的三角形 A`B`C`.
F
E
D
C
B
A
B
A
B
C
E
D
A
A
B C
四.反思小结
五.达标检测
（一）选择题
1.下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）
A B C D
2.如图所示,△FDE 经过怎样的平移可得到△ABC.( )
A.沿射线 EC 的方向移动 DB 长;
B.沿射线 EC 的方向移动 CD 长
C.沿射线 BD 的方向移动 BD 长;
D.沿射线 BD 的方向移动 DC 长
3.下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到-另一个,这组图形是( )
4.如图所示,△DEF 经过平移可以得到△ABC,那么∠C
的对应角和 ED 的对应边分-别是( )
A.∠F,AC B.∠BOD,BA; C.∠F,BA D.∠BOD,AC
5.在平移过程中,对应线段( )
A.互相平行且相等; B.互相垂直且相等
C.互相平行(或在同一条直线上)且相等
（二）填空题
1.在平移过程中,平移后的图形与原来的图形________和_________都相同,因-此对应线段
和对应角都________.
2.如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,
∠C=60°,那么∠E=____-度,∠EDF=_______度,
∠F=______度,∠DOB=_______度.
3.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在 AC 的中点 O 处，
则移动前后两个图形的重叠部分的面积是原正方形面积的＿＿＿＿。
4.直角△ABC 中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，将△ABC 沿 CB 方向平移 3cm，则边 AB
所经过的平面面积为＿＿＿＿cm2。
F
E
D
C
B
A
O
F
E
C
B
A
D
A
B
C
D
O
F
E
C
B
A
D
E
C
B
A
（三）解答题
1. 如图所示,将△ABC 平移,可以得到△DEF,点 B 的对应点为点 E,
请画出点 A 的对-应点 D、点 C 的对应点 F 的位置.
2. 如图所示,请将图中的“蘑菇”向左平移 6 个格,再向下平移 2 个格.
3.如图所示,画出平行四边形 ABCD 向上平移 1 厘米后的图形.
4.如图，将△ABC 沿东北方向平移 3cm。
六．布置下一课时预习任务：相交线与平行线(复习课)
第五章 相交线与平行线(复习课)
学习目标：复习巩固相交线与平行线的有关概念和性质，使学生会用这些概念和性质进行简
单的推理或计算；能用直尺、三角板、量角器画垂线和平行线；
加深理解推理证明，提高学生分析问题解决问题能力。
学习重点：使学生形成知识结构，并运用所学的知识进行简单的推理证明。
学习难点：证明题的思考分析过程
学习方法：自主探索 合作交流
一.知识框架图
D
C
B
A
二．本章知识梳理
1.邻补角的定义： ．
对顶角的定义： ．
对顶角的性质： ．
2.当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条
直线叫 ，它们的交点叫 ．
如图，用几何语言表示：
方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD，垂足是_____
方式⑵∵ AB⊥CD 于 O ∴ ∠AOC=______
3.在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．
注意：垂线是是一条 图形，垂线段是一条 图形.点到直线的
距离是 的长度，长度是一个数量，不能说“垂线段”是距离.
4.识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，
只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；
位置 1 位置 2 结论
∠1 和∠5 处于直线 c 的同侧 处于直线 a、b 的同一方 这样位置的一对角
就称为（ ）
∠3 和∠5 这样位置的一对角
就称为（ ）
∠4 和∠5 这样位置的一对角
就称为（ ）
5. 现在所说的两条直线的位置关系，是两条直线在“ ”的前提下提出来的，
它们的位置关系只有两种：一是 （有一个公共点），二是 （没有公共点）.
6.平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线.
平行公理：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
平行线的传递性：平行于同一直线的两直线 .
7.两条直线平行的判定方法：⑴平行线的定义，⑵平行线的传递性，
⑶平行线的判定方法 1：
C D
A
B
O
a
b
c
⑷平行线的判定方法 2：
⑸平行线的判定方法 3：
⑹平行线的判定推论：
8.两条直线平行的性质：⑴根据平行线的定义
⑵平行线的性质 1：
⑶平行线的性质 2：
⑷平行线的性质 3：
9.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
每个命题都是由_______和______组成.每个命题都可以写成.“如果……，那么……”的
形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是 ，正确的命题叫
做______，错误的命题叫做______.从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做 ，
通过正确的推理得出的真命题叫做 .
10.平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图
形的形状和大小 ；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到
的，这两个点是 ；(3)连接各组对应的线段 .即，在
平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简
称 .图形平移的方向，不一定是水平的.图形经过平移后，_______图形的位置，
________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)
三.自主完成
1.对顶角、邻补角。
①两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角？指出图(1) 中具有这两种位置的角.
O
D
C
B
A
O
D
C
B
A
c
b
a
4
3
2
1
(1) (2) (3)
②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线 AB,CD 的位置关系如何?
③如图(3)中,∠1 与∠2,∠2 与∠3,∠3 与∠4 是怎么位置关系的角?
2.垂线及其性质.
①如图(4),直线 AB、CD、EF 相交于点 O,CD⊥EF,∠1=35°,求∠2 的度数.
F
E
2
1
D
C
B
A
l
C
B
A
D
C
B
A
(4) (5) (6)
②如图(5),AB⊥L,BC⊥L,B 为重足,那么 A、B、C 三点在同一条直线上吗?为什么?
③如图(6),四边形 ABCD,AD∥BC,AB∥CD,过 A 作 AE⊥BC,过 A 作 AF⊥CD,垂足分别是 E、
F,量出点 A 到 BC 的距离和 AB、CD 平行线间的距离.
④请归纳一下与垂直有关的知识中,有哪些重要结论?
3.同位角、内错角、同旁内角.
如图(7),找出∠1、∠2、∠3 中哪两个是同位角、内错角、同旁内角?
4.平行线判定与性质
学生练习:①填空:如图(8),当_______时，a∥c, 理由是________;当______时,b∥c,理由
是_________;当 a∥b, b∥c 时,______∥______,理由是_________.
c
b
d
a
4
3
2
1
D
C
B
A
B
'
D
C
B
A
(8) (9) (10)
②如图(9),AB∥CD,∠A=∠C,试判断 AD 与 BC 的位置关系?为什么?
5.关于平移,让学生思考:
(1)图形平移时,连接对应点有什么关系?
(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离?
练习:如图(10),平移四边形 ABCD,使点 B 移动到点 B′,画出平移后的四边形 A′B′C′D′.
三．自主学习
1.如图，直线 AB、CD 相交于 O 点，∠AOE＝90°．
(1)∠1 和∠2 互为______角；∠1 和∠4 互为______角；∠2 和∠3 互为______角；
∠1 和∠3 互为______角；∠2 和∠4 互为______角．
(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠____＝____°－____°＝_____°；
∠4＝∠____－∠1＝____°－____°＝_____°．
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）
2．如图所示, AC⊥BC, C 为垂足, CD⊥AB, 点 D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么
点 C 到 AB 的距离是_______,点 A 到 BC 的距离是 ,点 B 到 CD 的距离是 ,A、
B 两点的距离是 ；
3.若直线 a，b 被直线 c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊
位置关系的角?
(1)∠1 与∠2 是_______；(2)∠5 与∠7 是______；(3)∠1 与∠5 是_______；
(4)∠5 与∠3 是______；(5)∠5 与∠4 是_______；(6)∠8 与∠4 是______；
(7)∠4 与∠6 是_______；(8)∠6 与∠3 是______；(9)∠3 与∠7 是______；
(10)∠6 与∠2 是______．
D
C
B
A
（第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）
4.如图所示，图中用数字标出的角中，
同位角有______ ；
内错角有______ ；
同旁内角有______ ．
5.如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________ ，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________ )
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．(____________，____________)
6.如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)如果 AB∥EF，那么∠2＝______．理由是____________________________________．
(2)如果 AB∥DC，那么∠3＝______．理由是____________________________________ ．
(3)如果 AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________ ．
(4) 如 果 AF ∥ BE ， ∠ 4 ＝ 120 ° ， 那 么 ∠ 5 ＝ ______ ． 理 由 是
_______________________ ．
四．合作探究
1.在下列四个图中，∠1 与∠2 是同位角的图是( )．
图① 图② 图③ 图④
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
2.同一平面内的四条直线满足 a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
3.已知点 P 在直线 m 外，点 A、B、C 均在直线 m 上，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点 P 到直
线 m 的距离是（ ）A 等于 2cm B 小于 2 cm C 大于 2cm D 不大于 2cm
4.(选作)如图，直线 AB、CD 相交于 O，如果∠AOC＝2x°，
∠BOC＝(x＋y＋9)°，∠BOD＝(y＋4)°，则∠AOD 的度数为＿＿＿＿．
（ 第 4
题）
5.如图，DC∥EF∥AB，EH∥DB，则图中与∠DGE
相等的角有________________________________．
（第 5 题）
6.在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC 且∠3＝∠4；④∠BAD
＋∠ABC＝180°，能判定 AB∥CD 的有( )．
(A)3 个 (B)2 个
(C)1 个 (D)0 个
（第 6 题） （第 7 题）
7.如图，AB∥CD，若 EM 平分∠BEF，FM 平分∠EFD，EN 平分∠AEF，则与∠BEM 互余的角
有( )．(A)6 个 (B)5 个 C)4 个 (D)3 个
8.以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有( )．
①对顶角的平分线②邻补角的平分线③平行线截得的一组同位角的平分线
④平行线截得的一组内错角的平分线⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
9.把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论正确
的有( )．
(1)∠C′EF＝32° (2)∠AEC＝148°
(3)∠BGE＝64° (4)∠BFD＝116°
(A)1 个 B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
10.如图，直线 l1，l2 被 l3 所截得的同旁内角为，，要使 l1∥l2，只要使( )．
(A)＋＝90° (B) 603
1
3
1 (C)＝(D)0°＜≤90°，90°≤＜180°
（第 10 题） （第 11 题）
11.如图，AB∥CD，FG⊥CD 于 N，∠EMB＝，则∠EFG 等于( )．
(A)180°－ (B)90°＋(C)180°＋ (D)270°－
12. 把 命 题 “ 对 顶 角 相 等 ” 写 成 “ 如 果 … ， 那 么 … ” 的 形 式
为： ；
13. 把 命 题 “ 等 角 的 补 角 相 等 ” 写 成 “ 如 果 … ， 那 么 … ” 的 形 式
为： ；
四.反馈检测
1.如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于 O，且 CD⊥EF，∠AOE＝70°，若 OG 平分∠BOF．求
∠DOG 的度数．
2.如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠E＝∠EMC；求证：CD 是∠ACB 的平分线．
3.已知：如图，CD⊥AB 于 D，DE∥BC，EF⊥AB 于 F，求证：∠FED＝∠BCD．
4.已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC．且∠1＝∠3．求证：AB
∥DC．
5.如图，∠E=∠3，∠1=∠2，求证：∠BAP 与∠4 互补
6.已知 AD 与 AB、CD 交于 A、D 两点,EC、BF 与 AB、CD 交于 E、C、B、F,且∠1=∠2,
∠B=∠C．
试判断∠A 与∠D 的数量关系并说明原因。
7.已知∠ABE+∠CEB= 180 ，∠1=∠2，则∠F 与∠G 相等吗？为什么？
8.试讨论下列各种情况下∠A、∠C、∠E 三者之间的关系。
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；
五.能提升
1．如图所示，直线 L1∥L2，AB⊥L1，垂足为点 O，BC 与 L2 相交于点 E，若∠
1＝43°，则∠2＝＿＿＿＿
2．如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2＝＿
＿＿＿＿
3．把一副三角板按如图所示的方式摆放，则两条斜边所成的钝角 x 为＿＿＿
＿＿＿＿
4.如图，已知∠1=∠2，∠DAB=∠CBA，且 DE⊥AC，BF⊥AC，
问：（1）AD∥BC 吗？（2）AB∥CD 吗？为什么？
5.如图，在四边形 BFCD 中，点 E、A 两点在 FC 上，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠
5=∠6，试判断 ED 与 FB 的位置关系，并说明为什么？
第五章 相交线与平行线单元测试
A C
DB
F E
1 5 3 2
4 6
A B
CD
E
F1
2
（时间 60 分钟，满分 100 分）
一．耐心填一填，一锤定音！（每小题 3 分，共 24 分）
1．平行线的性质： 平行线的判定：
（1）两直线平行， ；（4） ，两直线平行；
（2）两直线平行， ；（5） ，两直线平行；
（3）两直线平行， ；（6） ，两直线平行。
2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……那么……”的形式
是
3．如图 1，直线 a、b 相交，∠1=36°，则∠2=__________。
4.如图 2，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B 的度数为________．
5.如图 3，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3 的同位角等于______，∠3 的内错角等于
______，∠3 的同旁内角等于______．
6.如图 4，△ABC 平移到△ CBA ，则图中与线段 AA 平行的有 ；
与线段 AA 相等的有 。
7.如图 5，直线 a∥b，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC＝___ ____
8.如图 6,已知 AB∥CD,直线 EF 分别交 AB,CD 于 E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,
则∠2=____ ___.
二．精心选一选慧眼识金！（每小题 3 分，共 30 分）
9.如图 7，以下说法错误的是（ ）
Ａ. 1∠ 与 2∠ 是内错角 Ｂ. 2∠ 与 3∠ 是同位角
Ｃ. 1∠ 与 3∠ 是内错角 Ｄ. 2∠ 与 4∠ 是同旁内角
10.如图 8，能表示点到直线的距离的线段共有（ ）
Ａ. 2 条 Ｂ.3 条 Ｃ. 4 条 Ｄ.5 条
11.平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕
A.1 个或 3 个 B.2 个或 3 个
C.1 个或 2 个或 3 个 D.0 个或 1 个或 2 个或 3
12.两条平行线被第三条直线所截，则（ ）
A.一对内错角的平分线互相平行 B.一对同旁内角的平分线互相平行
b
a
3
2
1
图 1
图 7
图 8
GF
E
DC
BA
1 2
图 2
图 3
图 4 图 5 图 6
C.一对对顶角的平分线互相平行 D.一对邻补角的平分线互相平行
13.三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（ ）
A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对
14.下列所示的四个图形中， 1 和 2 是同位角．．．的是（ ）
A.②③ B. ①②③ C.①②④ D. ①④
15.下列说法中，正确．．的是（ ）
A.图形的平移是指把图形沿水平方向移动 B.平移前后图形的形状和大小都没有发生
改变
C.“相等的角是对顶角”是一个真命题 D.“直角都相等”是一个假命题
16.点 P 为直线 l 外一点，点 A、B、C 为直线 l 上三点，PA = 4 cm，PB = 5 cm，
PC = 2 cm，则点到直线 l 的距离是（ ）
A.2cm B.小于 2cm C.不大于 2cm D.4cm
17.如图 9， BE 平分 ABC ， BCDE // ，图中相等的角共有（ ）
A.3 对 B. 4 对 C. 5 对 D.6 对
18.如图 10，直线 a、b 都与直线 c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；
②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°。
其中能判断 a∥b 的条件是（ ）
A.①② B.②④ C.①③④ D.①②③④
三．作图题（每小题 8 分，共 16 分）
19.读句画图：如图，直线 CD 与直线 AB 相交于 C，根据下列语句画图
（1）过点 P 作 PQ∥CD，交 AB 于点 Q
（2）过点 P 作 PR⊥CD，垂足为 R
20.在下图中平移三角形 ABC，使点 A 移到点 A ，点 B
和点 C 应移到什么位置？请 在 图 中 画 出
平移后图形（保留作图痕 迹）.
P
D
C BA
①
2
1
2
1
②
1
2
③
1
2
④
ED
CB
A
图 9
图 10
·
A·
四．解答题用心做一做，马到成功！
21.填空完成推理过程：（每空 1 分，共 20 分）
[1] 如图，∵AB∥EF（ 已知 ）
∴∠A + =1800（ ）
∵DE∥BC（ 已知 ）
∴∠DEF= （ ）
∠ADE= （ ）
[2] 如图，已知 AB BC⊥ ， BC CD⊥ ， 1 2∠ ∠ ．试判断 BE 与CF 的关系，并说明你
的理由．
解:BE∥CF.
理由：∵ AB BC⊥ , BC CD⊥ (已知)
∴__________ = ___________= o90 ( )
∵ 1 2∠ ∠ ( )
∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2 ，即∠EBC=∠BCF
∴________∥________ ( )
[3]如图，E 点为 DF 上的点，B 为 AC 上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D。试说明：AC
∥DF。
解：∵ ∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠3（ ）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴ ∠C＝∠ABD （ ）
又∵ ∠C＝∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（ ）
∴ AC∥DF（ ）
22.（本小题 8 分）如图所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC 的度数.
D
CB
A
1
2
A
B C
23.（本小题 12 分）如图， 46BAF ∠ ， 136ACE ∠ ，
CE CD⊥ ．问CD AB∥ 吗？为什么？
24.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）∠1＋∠2＝___ ___； （2 分）
（2）∠1＋∠2＋∠3＝___ __；（2 分）
（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；（2 分）
（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝ ；（4 分）
第六章 实 数
6.1 平方根（第 1 课时）
一、教学目标
1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念.
2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示.
二、重点和难点
1.重点：算术平方根的概念.
2.难点：算术平方根的概念.
三、自主探究
学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.他想裁出一块面积为 25 平方分米的正方形画
布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？
（一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？
答：因为 52＝25，所以这个正方形画布的边长应取 5 分米。
（二） （自主完成下表）
正方形的面积 9 16 36 1
4
25
边长
这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积
求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.
正数 3 的平方等于 9，我们把正数 3 叫做 9 的算术平方根.
正数 4 的平方等于 16，我们把正数 4 叫做 16 的算术平方根.
说说 6 和 36 这两个数？说说 1 和 1 这两个数？
同桌之间互相说一说 5 和 25 这两个数.（同桌互相说）
说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先
在小组里讨论讨论，说说自己的看法.
（三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于 a，那么这个正数叫做 a 的算术平方
根
请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读）
如果一个正数的平方等于 a，那么这个正数叫做 a 的算术平方
根.为了书写方便，我们把 a 的算术平方根记作 a （板书：a 的
算术平方根记作 a ）.
（指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a 叫做被开方数， a 表示 a 的算
术平方根.
四、精讲精练
1、 求下列各数的算术平方根：
(1) 49
64 ； (2)0.0001.
（要注意解题格式，解题格式要与课本第 40 页上的相同）
精练
2、填空：
根号
被开方数
a
(1)因为_____2=64，所以 64 的算术平方根是______，即 64 ＝______；
(2)因为_____2=0.25，所以 0.25 的算术平方根是______，即 0.25 ＝______；
(3)因为_____2= 16
49 ，所以 16
49 的算术平方根是______，即 16
49 ＝______.
3、求下列各式的值：
(1) 81 ＝______； (2) 100 ＝______； (3) 1 ＝______；
(4) 9
25 ＝______； (5) 0.01 ＝______； (6) 23 ＝______.
4、根据 112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝
324，192＝361，填空并记住下列各式：
121 ＝_______， 144 ＝_______， 169 ＝_______，
196 ＝_______， 225 ＝_______， 256 ＝_______，
289 ＝_______， 324 ＝_______， 361 ＝_______.
（学生记住没有，教师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟）
5、辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以 16 的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对
吗？为什么？
五、课堂小结：
六、我的收获
6.1 平方根（第 2 课时）
一、教学目标
1.通过由正方形面积求边长，让学生经历 2 的估值过程，加深对算术平方根概念的理解，
感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点.
2.会用计算器求算术平方根.
二、重点和难点
1.重点：感受无理数. 2.难点：感受无理数.
三、自主探究
1.填空：如果一个正数的平方等于 a，那么这个正数叫做 a 的_______________，记作_______.
2.填空：
(1)因为_____2＝36，所以 36 的算术平方根是_______，即 36 ＝_____；
(2)因为(____)2＝ 9
64 ，所以 9
64 的算术平方根是_______，即 9
64 ＝_____；
(3)因为_____2＝0.81，所以 0.81 的算术平方根是_______，即 0.81 ＝_____；
(4)因为_____2＝0.572，所以 0.572 的算术平方根是_______，即 20.57 ＝_____.
（二）（看下图）
这个正方形的面积等于 4，它的边长等于多少？
谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？
这个正方形的面积等于 1，它的边长等于多少？
用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？
（指准图）这个正方形的边长等于面积 1 的算术平方根，也就是边长＝ 1 ， 1 等于多少？
（看下图）这个正方形的面积等于 2，它的边长等于什么？
因为边长等于面积的算术平方根，所以边长等于 2
（板书：边长＝ 2 ）.（上面三个图的位置如下所示）
4 ＝2， 1 ＝1，那么 2 等于多少呢？求 2 等于多少，怎么求？
在 1 和 2 之间的数有很多，到底哪个数等于 2 呢？我们怎么才能找到这个数呢？我们可以
这样来考虑问题，等于 2 的那个数，它的平方等于多少？
第一条线索是那个数在 1 和 2 之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于 2.根据这两条线
索，我们来找等于 2 的那个数.
我们在 1 和 2 之间找一个数，譬如找 1.3，（板书：1.32＝）1.3 的平方等于多少？（师生共
同用计算器计算）
1.69 不到 2，说明 1.3 比我们要找的那个数小.1.3 小了，那我们找 1.5，1.5 的平方等于多
少？（师生共同用计算器计算）2.25 超过 2，说明 1.5 比我们要找的那个数大.找 1.3 小了，
找 1.5 又大了，下面怎么找呢？大家用计算器，算一算，找一找，哪个数的平方恰好等于 2？
2 等于 1.41421356 点点点，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比有点
不同，有什么不同呢？第一，这个小数是无限小数（板书：无限）. 2 是无限小数，又是
不循环小数，所以 2 是一个无限不循环小数.
除了 2 ，还有别的无限不循环小数吗？无限不循环小数还有很多很多， 3 、 5 、 6 、
面积＝4
面积＝1
面积＝2
边长＝
4
＝2
边长＝
2
边长＝
1
＝1
面积＝2
面积＝1
面积＝4
7 都是无限不循环小数（板书： 3 、 5 、 6 、 7 都是无限不循环小数）.
那怎么求 3 、 5 、 6 、 7 这些无限不循环小数的值呢？我们可以利用计算器来求.
四、精讲精练
1、 用计算器求下列各式的值：
(1) 3 （精确到 0.001）； (2) 3136 .
（按键时，教师要领着学生做；解题格式要与课本上的相同）
2、填空：
(1)面积为 9 的正方形，边长＝ ＝ ；
(2)面积为 7 的正方形，边长＝ ≈ （利用计算器求值，精确到 0.001）.
3、用计算器求值：
(1) 1849 ＝ ；(2) 86.8624 ＝ ；(3) 6 ≈ （精确到 0.01）.
4、选做题：
(1)用计算器计算，并将计算结果填入下表：
… 0.625 6.25 62.5 6250 62500 …
… 25 …
(2)观察上表，你发现规律了吗？根据你发现的规律，不用计算器，直接写出下列各式的
值：
62500 ＝ ， 6250000 ＝ ，
0.0625 ＝ ， 0.000625 ＝ .
五、课堂小结
6.1 平方根（第 3 课时）
一、教学目标
1、经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的平方
根.
2、经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方
根是 0，负数没有平方根.
二、重点和难点
1、重点：平方根的概念.
2、难点：归纳有关平方根的结论.
三、自主探究
（一）基本训练，巩固旧知
1、填空：如果一个 的平方等于 a，那么这个 叫做 a 的算术平方根，a 的算
术平方根记作 .
2、填空：
(1)面积为 16 的正方形，边长＝ ＝ ；
(2)面积为 15 的正方形，边长＝ ≈ （利用计算器求值，精确到 0.01）.
3、填空：
(1)因为 1.72＝2.89，所以 2.89 的算术平方根等于 ，即 2.89 ＝ ；
(2)因为 1.732＝2.9929，所以 3 的算术平方根约等于 ，即 3 ≈ .
（二）什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题.
（三） 如果一个正数的平方等于 9，这个正数是多少？
如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，（指准 32＝9）我
们把 3 叫做 9 的平方根，（指准(-3)2＝9）把－3 也叫做 9 的平方根，也就是 3 和－3 是 9
的平方根。
我们再来看几个例子.
x2 16 36 49 1
4
25
x
同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用
一句话概括什么是平方根？
平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？
四、精讲精练
1、 求下面各数的平方根：
(1)100； (2)0.25； (3)0； (4)－4；
(1)因为
（±10）2＝100），所以 100 的平方根是＋10 和－10
0 的平方是 0，正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等
于－4.这说明什么？
从这个例题你能得出什么结论？正数有几个平方根？0 有几个平方根？负数有几个
平方根？
小组讨论： 正数有 平方根。 平方根有什么关系？
0 的平方根有 个，平方根是 .负数 平方根
五、精练
1.填空：
(1)因为（ ）2＝49，所以 49 的平方根是 ；
(2)因为（ ）2＝0，所以 0 的平方根是 ；
(3)因为（ ）2＝1.96，所以 1.96 的平方根是 ；
2.填空：
(1)121 的平方根是 ，121 的算术平方根是 ；
(2)0.36 的平方根是 ，0.36 的算术平方根是 ；
(3) 的平方根是 8 和－8， 的算术平方根是 8；
(4) 的平方根是 3
5 和 3
5 ， 的算术平方根是 3
5 .
3.判断题：对的画“√”，错的画“×”. (1)0 的平方根是 0 （ ）
(2)－25 的平方根是－5； （ ） (3)－5 的平方是 25； （ ）
(4)5 是 25 的一个平方根； （ ） (5)25 的平方根是 5； （ ）
(6)25 的算术平方根是 5； （ ） (7)52 的平方根是±5； （ ）
(8)(-5)2 的算术平方根是－5. （ ）
六、课堂小结：
七、我的收获
6.2 立方根（1）
一、学习目标：
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.
3、体会一个数的立方根的惟一性， 分清一个数的立方根与平方根的区别。
二、重点难点
重点：立方根的概念和求法。
难点：立方根与平方根的区别。
三、自主探究
1.平方根是如何定义的 ? 平方根有哪些性质?
2、问题：要制作一种容积为 27 m3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是
3、思考：(1) 的立方等于-8？
(2)如果上面问题中正方体的体积为 5cm3，正方体的边长又该是
4、立方根的概念：
如果一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的 .（也叫做数的 ）.
换句话说,如果 ,那么 x 叫做 a 的立方根或三次方根. 记作： .
读作“ ”，
其中 a 是 ，3 是 ，且根指数 3 省略（填能或不能），否
则与平方根混淆.
5、开立方
求一个数的 的运算叫做开立方， 与开立方互为逆运算
（小组合作学习）
6、立方根的性质 （1）教科书 49 页探究
（2）总结归纳： 正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0
的立方根是 .
（3）思考：每一个数都有立方根吗？ 一个数有几个立方根呢？
（4）平方根与立方根有什么不同？
被开方数 平方根 立方根
正数
负数
零
四、精讲精练
例 1、 求下列各式的值：
（1） 3 64 ； （2） 3
27
102
例 2、求满足下列各式的未知数 x：
（1） 3x 0.008
练习
1. 判断正误:
（1）、25 的立方根是 5 ；（ ）
（2）、互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；（ ）
（3）、任何数的立方根只有一个；（ ）
（4）、如果一个数的平方根与其立方根相同，则 这个数是 1；（ ）
（5）、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；（ ）
（6）、一个数的立方根不是正数就是负数.（ ）
（7）、–64 没有立方根.( )
2、(1) 64 的平方根是________立方根是________.
(2) 的立方根是________. (3) 3 7 是_______的立方根.
(4) 若 ,则 x=_______, 若 ,则 x=________.
(5) 若 , 则 x 的取值范围是__________, 若 有意义，则 x 的取值范围是
_______________.
3、计算：（1） 3
8
321
4、已知 x-2 的平方根是 4 ， 2x y 12 的立方根是 4，求 x yx y 的值.
五、课堂小结：
六、我的收获
13.2 立方根（2）
一、引入
1. 立方根及开立方的概念
2. 平方根与立方根有什么不同？
被开方数 平方根 立方根
正数
负数
零
3、(1) 64 的平方根是________立方根是________.
(2) 的立方根是________. (3) 3 7 是_______的立方根.
(4) 若 ,则 x=_______, 若 , 则 x=________.
(5) 若 , 则 x 的取值范围是__________
二、自主探究
1、完成教科书 78 页探究，总结规律
3 27
92 x 93 x
xx 2 3 x
3 27
92 x 93 x
xx 2
求负数的立方根，可以先求出这个负数的 的立方根，再取其 ，即
思考:立方根是它本身的数是 ，平方根是它本身的数是
2、一些计算机设有 键，用它可以求出一个立方根（或其近似值）。有些计算器需要用
键求一个数的立方根。
三、精讲精练
例 1、 求下列各式的值：
（1） 3 125 ； （2） 3
11
102 （3） 3
1000
1 ；
例 2、求满足下列各式的未知数 x： 364x 125 0
四、练习
1.完成 79 页练习
2、计算： 3
27
102 3、计算：
2
3 2 3 33 12 4 4 272
.
五、课堂小结：求负数的立方根，可以先求出这个负数的 的立方根，再取
其 ，即
思考:立方根是它本身的数是 ，平方根是它本身的数是
2、一些计算机设有 键，用它可以求出一个立方根（或其近似值）。有些计算器需要用
键求一个数的立方根。
六、我的收获
6．3 实数（第一课时）
一、学习目标：
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。
3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。
二、重点与难点
学习重点：理解实数的概念。
学习难点：正确理解实数的概念。
1、 自主探究
1、填空：（有理数的两种分类）
有 理 数 有理数
2、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， 3
5
， 47
8
， 9
11
，11
9
， 5
9
（二）、探究新知
1、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何
______小数或____________小数也都是有理数
观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________
小数， ____________小数又叫无理数， 3.14159265 也是无理数
结论： _______和_______统称为实数
你能举出一些无理数吗？
2、试一试 把实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。
例如 2 ，3 3 ， 是____无理数， 2 ，
3 3 ， 是____无理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，
所以实数也可以这样分类： 实数
3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理
数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1）如图所示，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点
到达点 O′，点 O′的坐标是多少？
从图中可以看出 OO′的长时这个圆的周长______，点 O′的坐标是_______
这样，无理数 可以用数轴上的点表示出来
（2）
总 结 ① 事 实
上，每一个无
理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，
有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用
数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
2 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的
实数______
3 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结 数 a 的相反数是______，这里 a 表示任意____________。一个正实数的绝对值是
______；一个负实数的绝对值是它的______；0 的绝对值是______
四、精讲精练
例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：
33 22 78, 3, 3.141, , , , 2,0.1010010001 ,1.414, 0.0202 02 , 73 7 8
正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
2、下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. 3.5 C. 2 D. 9
3 、 的相反数是 ，绝对值
4、绝对值等于 的 数 是 ， 的平方是
5、
6、求绝对值
练习
(一)、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。 （ ）
3.无理数都是无限小数。 （ ）
4.带根号的数都是无理数。 （ ）
5.两个无理数之和一定是无理数。 （ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
(二)、填空 1、
2、
3、比较大小
4、 10 13 _________
五、课堂小结
这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？
无理数的特征:
1．圆周率 及一些含有 的数
2．开不尽方的数
3．无限不循环小数
注意:带根号的数不一定是无理数
六、作业
1、 把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ } 无理数集合{ }
整数集合{ } 分数集合{ }
实数集合{ }
2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. 1.732 B. 1.414 C. 3 D. 3.14
3、已知四个命题，正确的有（ ）
⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数
⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个
4、若实数 a 满足 1a
a
，则（ ）
A. 0a B. 0a C. 0a D. 0a
5、下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数
⑸非负实数中最小的数是 0
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.5 个
6、⑴ 3 2 的相反数是_________ ，绝对值是_________
⑵ ⑶若 22 3x ，则 x _________
⑷ 23 4 _______
7、 2 4 4 2x x 是实数，则 x _________
6.3 实数（第 2 课时）
一、学习目标
1、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。
2、会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算。
二、重点与难点
重点：在实数内会求一个数的相反数、倒数、绝对值。
难点：简单的无理数计算。
三、自主探究
㈠ 学前准备
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3、有理数的混合运算顺序
㈡自主探索 独立阅读，自习教材
总结 当数从有理数扩充到实数以后，
1、数 a 的相反数是 ；
2、一个正实数的绝对值是它 ；一个负实数的绝对值是它的 ；0 的绝对
值是 。
3、实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以
进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法
则及运算性质等同样适用。
讨论 下列各式错在哪里？
1、 2 13 3 9 9 3 3 93
2、 2
1 2 1 2
3、 5 6 5 6 4、当 2x 时，
2 2 02
x
x
四、精讲精练
例 1、计算下列各式的值：
⑴ 3 2 2 ⑵ 3 3 2 3
解：⑴ 3 2 2
3 2 2
3 0 3
（加法结合律）
⑵ 3 3 2 3
3 2 3
5 3
（分配律）
总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
练习 1 5 （精确到 0.01） 2 3 · 2 （结果保留 3 个有效数字）
总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确
度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
计算
⑴ 2 2 —3 2 ⑵︳︱ 3 2 +2 2 ⑶ 2
2 1
㈢应用迁移，巩固提高
例 2⑴求 5 的算术平方根于的平方根之和（保留 3 位有效数字）
⑵ 2 5 5 2 （精确到 0.01）
⑶ 2a a （ 2 a ）（精确到 0.01）
例 3 已知实数 a b c、 、 在数轴上的位置如下，化简 2 22a b a b c a c
例 4 计算
2 0 22 3 2
2 2 3
五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律。 2、实数的相反数和绝对值的意义
六、作业
1、 3 2 的相反数是 ， 的相反数是 3 9
2、当 17a 时， 17 a ， 2
17 a
3、已知 a 、b 、 c 在数轴上如图，化简 22a a b c a b c
6、 10 在两个连续整数 a 和b 之间，即 10a b ，那么 a 、b 的值是
7、计算下列各题
1 11 2 2 1111 22 3 111111 222 4 11111111 2222
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？
根据这个规律先写出下面的结果，并说明理由
解得 1 3 2 33 3 333 4 3333
2 1 2 3
111 11 22 2 33 3
n n n
个 个 个
c aOb
ca Ob
课题：实数复习
一、知识结构
乘方 互为逆运算 开方
立方根
平方根
开立方
开平方
实数无理数
有理数
二、知识回顾
算术平方根的定义：
平方根的定义：
平方根的性质：
立方根的定义：
立方根的性质：
练习：1、—8 是 的平方根； 64 的平方根是 ； 64 ；
—64 的立方根是 ； 9 ； 9 的平方根是 。
2、大于 17 而小于 11 的所有整数为
几个基本公式：（注意字母 a 的取值范围）
2)( a = ； 2a =
3 3a = ； 33 )( a = ； 3 a =
练习： 的值求、若 3 32,01 aaa ； 的值）（，求、若 3 32 )(2 mnnmnm
无理数的定义：
实数的定义：
实数与 上的点是一一对应的
练习：1、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。 （ ）
3.无理数都是无限小数。 （ ）
4.带根号的数都是无理数。 （ ）
5.两个无理数之和一定是无理数。 （ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，
数轴上所有的点都表示有理数。 （ ）
7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。（ ）
2、把下列各数中，有理数为 ；无理数为
3737737773.08509
4
3
2022
52 33 、、、、、、、、、 (相邻两个 3 之间的 7 逐渐加 1 个)
三、知识巩固 1、 x 取何值时，下列各式有意义
（1） x4 ： ；（2） 3 4 x ： ；（3）
2
12
x
x ：
2、（1） 4)3(9 2 y （2） 0125327 3 x （3） 3232223
四、知识提高
1、已知 732.13 ， 477.530 ，（1） 300 ；（2） 3.0 ；
（3）0.03 的平方根约为 ；（4）若 77.54x ，则 x
练习：已知 442.133 ， 107.3303 ， 694.63003 ，求（1） 3 3.0 ；
（2）3000 的立方根约为 ；（3） 07.313 x ，则 x
2、若 xx 22 2 ，则 x 的取值范围是
3、已知 cba 、、 位置如图所示，
________
________________
_______
______________
_______
_______
_______
_______
________
实数
试化简 ：（1） 22 cbacbaa （2） 22 abcbcba
4、已知 115 的小数部分为 m ， 115 的小数部分为 n ，则 nm
五、当堂反馈
1、下列说法正确的是( )
A、 16 的平方根是 4 B、 6 表示 6 的算术平方根的相反数
C、 任何数都有平方根 D、 2a 一定没有平方根
2、若 33 5 m ，则 m
3、若 0 xx ，则 x 的取值范围是 ； xx 443 3 ，则 x 的取值范围是
4、已知 xxy 21121 ，求 yx 32 的平方根
5、已知等腰三角形的两边长 ba, 满足 01332532 2 baba ，求三角形的周长
6、如果一个数的平方根是 1a 和 72 a ，求这个数
（选作）1、若 ba, 为实数，则下列命题正确的是（ ）
A、 22, baba 则若 B、 22, baba 则若
C、 22, baba 则若 D、 22,0 babaa 则且若
2、已知 aaa 43 ，求 a 的值。
第六章平面直角坐标系导学案
课题：7.1.1 有序数对
（一）学习目标：
1.经历用有序数对表示位置的过程，理解有序数对的意义.
2.通过学习用有序数对表示位置，发展符号感及抽象思维能力.
（二）学习重点和难点：
1.重点：用有序数对表示位置.
2.难点：对有序数对中的有序的理解.
1.任务导读单：阅读 P64—65 页回答下列问题：
1.阅读本章彩页,说明类似于用“_____________________”来确定同学的位置,
从而建立平面直角坐标系.
2. 观 察 分 析 P64 页 彩 图 , 说 明 座 位 上 的 “7 排 9 号 ” 的 含
意:______________________
“7 排 9 号”的含意是:____________________________.这说明在影剧院里,第
个座位上必需用“_____个数字”来确定座位的位置.
3.在教室里你跟同学说明你的位置是: __________________________________
2.互动探究,合作求解：
A.阅读 P65 页中“思考” 排数和列数先后顺序对位置是否有影响?__________,
B. 按 教 材 中 约 定 , 观 察 图 7.1-1, 并 在 图 中 标 注 位 置 ,
(1,5),(2,4),(4,2),(3,3),(5,6)分别用:A.B.C.D.E. 其中(2,4)和(4,2)是表示
___同的位置,这说明交换数对的两个数的顺序，数对所表示的座位就______了，
也就说明数对的两个数是有序的
C.归纳：有序数对:我们把这种________的两个数 a 和 b 组成的数对,叫做有序数
对,记作(a,b).其中这两个数各自表示____________.举例说明生活中利用有序
数对表示位置的例如:__________________________________________________
3、达标训练：
1. 如图，甲处表示 2 街与 5 巷的十字路口，乙处表示 5 街与 2 巷的十字路口，
如果用（2，5）表示甲处的位置，那么“（2，5）
（3，5） （4，5） （5，5） （5，4） （5，3）
（5，2）”表示从甲处到乙处的一条路线，请你画出这条从甲处到乙处的
路线.
2. 我们规定向东和向北方向为正，如向东走 4 米，再向北走 6 米，记作（4，
6），则向西走 5 米，再向北走 3 米，记作___________；数对（－2，－6）表示
_________________________________.
3.如图，点 A 表示 3 街与 5
大道的十字路口，点 B 表
示 5 街与 3 大道的十字路
口，如果用（3，5）→
（4，5）→（5，5）→（5，
4）→（5，3）表示由 A 到
B 的一条路径，那么你能用
同样的方法写出由 A 到 B
的其他几条路径吗？
分析：图中确定点用前一
个数表示_____，后一个数
表示______。
解：其他的路径可以是：
（3，5）→（___，__）→（___，__）→（___，__）→（5，3）；
（3，5）→（___，__）→（___，__）→（___，__）→（5，3）；
（3，5）→（ ）→（ ）→（ ）→（5，3）；
（3，5）→（ ）→（ ）→（ ）→（5，3）；
（3，5）→（ ）→（ ）→（ ）→（5，3）；
5
大道
A
4
大道
3
大道
B
2
大道
1
大道
1
街
2
街
3
街
4
街
5
街
6
街
乙
甲
6街
5街
4街
3街
2街
1街
6巷
5巷
4巷
3巷
2巷
1巷
四、下节问题生成单：
课题：7.1.2 平面直角坐标系（1）
（一）学习目标：
1.知道平面直角坐标系的构成，知道横轴、纵轴、原点、横坐标、纵坐标、坐
标等概念.
2.在给定的平面直角坐标系中，能由点的位置写出点的坐标.
（二）学习重点和难点：
1.重点：由点的位置写出点的坐标.
2.难点：领会建立直角坐标系的作用.
1.任务导读单：阅读 P65—66 页回答下列问题：
1.填空：规定了原点、方向、单位长度的直线，叫___________.
2.如图，(1)点 A 所表示的数是______，点 B 所表示的数是_______.
(2)在图中画出点 C、点 D、点 E，分别表示-2、0、5.
3.仔细阅读分析 P66 页的“思考”的问题，说明图 7.1-4 是两条________、
__________的________,组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）.
水平的数轴称为 x 轴（x-axis）或横轴，习惯上取向___为正方向；竖直的数轴为
y 轴（y-axis）或纵轴，取向___方向为正方向;两坐标轴的______为平面直角坐标
系的原点. 原点一般用大写字母 O 表示.
4. 如图 7.1-4 中, 我们把有序数对（3，4）叫做点 A 的坐标,点 A 的坐标是（3，
4），其中第一个数 3 叫点 A 的___坐标，其中第二个数 4 叫点 A 的____坐标.记作
A(3,4),点 B 的横坐标__纵坐标__,记作 B(__,__).点 C 的横坐标___纵坐标___,
记作______，点 D 的横坐标___纵坐标___,记作______.自己在图上点出不同的几
点并标明各点坐标.真正体会到坐标的含意与确定的方法.
2. 互动探究,合作求解：
A. 横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴之间的关系是什么？
B. 横（或纵）坐标为 0 的点位于哪个坐标轴上？
3、达标训练单：
1.用直角坐标系表示点的坐标,点的坐标实质是________.其中第一数表示某点
的_________,其中第二数表示某点的___________.
2.如课本 68 页练习图，填空：
(1)点 A 的坐标是（ ， ）,点 A 横坐标是____，纵坐标是____；
(2)点 B 的坐标是（ ， ）,点 B 横坐标是____，纵坐标是____；
(3)点 C 的坐标是（ ， ）,点 C 横坐标是____，纵坐标是____；
(4)点 D 的坐标是（ ， ）,点 D 横坐标是____，纵坐标是____；
(5)点 E 的坐标是（ ， ）,点 E 横坐标是____，纵坐标是____；
(6)点 F 的坐标是（ ， ）,点 F 横坐标是____，纵坐标是____.
3.想一想，再填空：
(1)原点 O 的横坐标等于______，纵坐标等于_______；
(2)x 轴上的点的纵坐标等于_______；
(3)y 轴上的点的横坐标等于______.
_H
_G
_.F
_.
_C
_.
_B
_A
_.
_.
_.
_.
_.
_o
_y
_x_-5 _-4 _-3 _-2 _-1_-1 _5
_5
_4
_4
_3
_3_2
_2
_1
_1
4.如图，填空：（写出各点的坐标）
(1)点 A 的坐标是（____，___）
横坐标是_____，纵坐标是_____；
(2)点 B 的坐标是（____，___）
横坐标是_____，纵坐标是_____；
(3)点 C 的坐标是（____，___）
横坐标是_____，纵坐标是_____；
(4)D(___,___）横坐标是_____，纵坐标是_____；
(5)E(___,___）横坐标是_____，纵坐标是_____；
(6)F(___,___）横坐标是_____，纵坐标是_____；
(7)G(___,___）横坐标是_____，纵坐标是_____；
(8)H(___,___）横坐标是_____，纵坐标是_____；
(9)I(___,___）横坐标是_____，纵坐标是_____.
三、下节问题生成单：
五、谈本节课收获和体会：
课题 7.1.2 平面直角坐标系（2）
（一）学习目标：
1.能在给定的直角坐标系中,根据坐标描出点的位置.
2.知道四个象限、坐标轴上的点的坐标特点.
（二）学习重点和难点：
1.重点：根据坐标描出点的位置.
2.难点：四个象限、坐标轴上的点的坐标特点.
1.任务导读单：(阅读 P67—68 页回答下列问题)
1.如图，填空：(写出各点坐标并说明横、纵坐标)
(1)A(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(2)B(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(3)C(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(4)D(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(5)E(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(6)F(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(7)G(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(8)H(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____；
(9)I(____，___）横坐标:_____,纵坐标:_____.
2. 建立直角坐标系以后,坐标平面就被两条
坐标轴把这个平面分成了__、__、__、__等___部。
分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.
坐标轴上的点___________象限.
(在图上用文字标明各象限名称)
说明上题中 A、B、C、D、E、F、G、H、I 各点，
属于第一象限:_______________
属于第二象限:_______________
属于第三象限:_______________
属于第四象限:_______________
另外点__________在_____上,点________在______上.
3.阅读 P67 页例题，同组同学说明如何确定各点的坐标，
并分别说明 A、B、C、D、E 各点根据坐标如何找到点的位置的。
4.P68 页中“探究”建立直角坐标系过程:如图 7.1-7 以点___为原点,__________
直线为x轴,建立平面直角坐标系.那么y 轴是__________直线.各点坐标分别为:
A( ), B( ),C( ),D( ).
2.互动探究，合作求解：
A:各象限内点的坐标特征？
B:坐标轴上点的坐标特征？
3.达标训练单：
1.如图，在所给的平面直角坐标系
中描出下列各点，并写出它们的坐标：
(1) 点 A 在 x 轴上方，y 轴左侧，距离 x 轴
4 个单位长度，距离 y 轴 2 个单位长度；
(2)点 B 在 x 轴下方，y 轴右侧，距离每条
坐标轴都是 3 个单位长度；
(3)点 C 在 y 轴上，位于原点下方，
距离原点 2 个单位长度；
(4)点 D 在 x 轴上，位于原点右侧，距离原点 4 个单位长度.
A（______）点 A 位于_____象限内. B（_____）点 B 位于___________
C（_____）点 C 位于___________. D（_____）点 D 位于___________
2.填空：
(1)点 A（2，-3）在第_____象限； (2)点 B（-2，3）在第_____象限；
(3)点 C（2，3）在第_____象限； (4)点 D（-2，-3）在第_____象限；
(5)点 E(0,3)在__轴上,而且在__半轴上；(6)点 F(0,-3)在__轴上,而且在__半轴
上；
(7)点 G(4,0)在__轴上,而且在__半轴上；(8)点 H(-4,0)在__轴上,而且在__半轴
上；
(9)点 O（0，0）在___轴上,又在___轴上.
4.作业布置：
课本 P68—2,3,4
课题 7.2.1 用坐标表示地理位置
（一）学习目标：
1.会通过建立适当的直角坐标系描述地理位置.
2.培养学生的空间观念.
（二）学习重点和难点：
1.重点：建立适当的直角坐标系描述地理位置.
2.难点：建立适当的直角坐标系.
二、教学过程：
1．任务导读单：(阅读 P73—75 页回答下列问题)
1.阅读 P74 页“思考”分析回答问题并在图中画出你建立的直角坐标系（叙述如
何建立的）
2.试着完成 P75 页“探究”，在提供的方格中画出题目中的学校、家等，在我们
画图中看做_____(填:点或面)
3.归纳：利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程．
（1）建立坐标系，选择一个适当的______为原点，确定_____、_____的正方向；
（2）根据具体问题确定适当_________；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的_____和各个地点的______．
应注意的问题：用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，
这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中
的位置；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北
的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度．
2.互动探究，合作求解：
A. 如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？
B.如何确定 x 轴、y 轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？
3.达标训练单：
如图（配练习题），图中标出了学校的位置，图中每个小正方形的边长为 50m，
扎西家、平措家、卓玛家的位置是：
扎西家：出校门向东走 150m，再向北走 200m.
平措家：出校门向西走 200m，再向北走 350m，最后向东走 50m.
卓玛家：出校门向南走 100m，再向东走 300m，最后向南走 75m.
(1)请在图中标出扎西家、平措家、卓玛家的位置；
(2)选扎西家所在位置为原点，建立平面直角坐标系，并在图中标明学校、平措
家、卓玛家的坐标.
(3)选学校所在位置为原点，建立平面直角坐标系，并在图中标明扎西家、平措
家、卓玛家的坐标
4.作业布置：
课本 P75 练习—1、2
三、下节问题生成单：
四、谈本节课收获和体会：
课题：7.2.2 用坐标表示平移（1）
（一）学习目标：
1.经历探究过程，知道点的平移引起的点的坐标变化规律.
2.经历探究过程，知道图形的平移引起的点的坐标的变化规律.
3.培养学生观察、概括能力.
（二）学习重点和难点：
1.重点：点或图形的平移引起的点的坐标的变化规律.
2.难点：探究规律的过程.
1.任务导读单：阅读 75—77 页回答下列问题：
1. 按 要 求 完 成 P76 页 “ 探 究 ”， 说 出 你 得 到 的 规 律 ：
______________________________
2.由探究归纳: 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移 a 个单位
长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（ ， ））；将点（x，y）向上
（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（ ， ））．
3. 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都_________________；反过
来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了
___________．
2.互动探究，合作求解：
A.在直角坐标系中，点的平移引起的点的坐标变化的规律是什么？
B.关于原点对称的点的坐标之间的关系是怎样的？
3.达标训练单：
4.如图，
(1)把点 A（-2,-3）向右平移 5 个单位长度，得
到点 A1,在图上标出这个点,点 A1 的坐标是（ ， ）；
(2) 把点 A（-2,-3）向左平移 5 个单位长度,得到
点 A2,在图上标出这个点,点 A2 的坐标是（ ， ）；
(3) 把点 A(-2,-3）向上平移 4 个单位长度,得到点
A3，在图上标出这个点,点 A3 的坐标是（ ， ）；
(4) 把点 A（-2,-3）向下平移 4 个单位长度,得到点
A4，在图上标出这个点，点 A4 的坐标是（ ， ）；
(5)经过上面的探究，你发现点平移后坐标变化有什么规律？在平面直角坐标系
中：把点（x，y）向右平移 a 个单位长度，得到对应点，对应点的坐标是（ ， ）；
把点（x，y）向左平移 a 个单位长度，得到对应点，对应点的坐标是（ ， ）；
把点（x，y）向上平移 a 个单位长度，得到对应点，对应点的坐标是（ ， ）；
把点（x，y）向下平移 a 个单位长度，得到对应点，对应点的坐标是（ ， ）.
5.填空：
(1)点 A（2，3）向右平移 6 个单位长度，得到点 A1，点 A1 的坐标是（ ， ）；
(2)点 A（2，3）向左平移 6 个单位长度，得到点 A2，点 A2 的坐标是（ ， ）；
(3)点 A（2，3）向上平移 3 个单位长度，得到点 A3，点 A3 的坐标是（ ， ）；
(4)点 A（2，3）向下平移 3 个单位长度，得到点 A4，点 A4 的坐标是（ ， ）.
6.填空：点 A（-2，3）向右平移 3 个单位长度，得到点 B，点 B 的坐标是（ ， ）；
点 B 又向下平移 2 个单位长度，得到点 C，点 C 的坐标是（ ， ）.
7.填空：点 P（2，-3）向左平移 4 个单位长度，又向上平移 3 个单位长度，得
到点 Q，点 Q 的坐标是（ ， ）.
8. 如图,三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A（4，3），B（3，1），C（1，2）.
(1)把三角形 ABC 向左平移 6 个单位长度，则点 A 的对应点 A1 的坐标是
（ ， ），点 B 的对应点 B1 的坐标是（ ， ），点 C 的对应点 C1 的坐标是
（ ， ），在图中画出平移后的三角形 A1B1C1；
(2)把三角形 ABC 向下平移 5 个单位长度，则点 A 的对应点 A2 的坐标是（ ， ），
点 B 的对应点 B2 的坐标是（ ， ），点 C 的对应点 C2 的坐标是（ ， ），
在图中画出平移后的三角形 A2B2C2.
4.作业布置：
课本 P78 练习
四、问题生成单：
课题：7.2.2 用坐标表示平移（2）
（一）学习目标：
1.掌握坐标变化与图形平移的关系； 能 利 用
点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形
的移动过程．
2.发展同学的形象思维能力，和数形结合的意识．
3.培养同学探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化．
（二）学习重点和难点：
1.重点：掌握坐标变化与图形平移的关系．
1.任务导读单：阅读 P75—77 页回答下列问题：
1.仔细研读 P76 页例题有关内容，说明：三角形 A1B1C1 是由三角形 ABC 向_____
平移______单位长度等到的.同样三角形 A2B2C2 是由三角形 ABC 向_____平移
______单位长度等到的.
2.体会例题中的作法和变换意义,完成 P77 页“思考”。（在右图中画出来）
3.归纳：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都_____(或____)
一个正数 a,相应的新图形就是把原图形向_____(或向_____)平移_____个单位长
度; 如果把一个图形各个点的纵坐标都_____(或
____)一个正数 a,相应的新图形就是把原图形向
_____(或向_____)平移_____个单位长度.
2.互动探究，合作求解：
A.平移一个图形和平移一个点有何关系？
B.怎样通过平移一个点来平移图形？
G
F
E
D
-2
x
y
2
3
4
1
-1
-3
-4
0
-4
-3
-2
-1
2
1
4
3
(1)
C
B
A
C
'
B
'
A
'
P
'
(
x
1
+6,
y
1
+4)
P(
x
1
,
y
1
)
-2
x
y
2
3
5
4
1
-5
-1
-3
-4
0
-4
-3
-2
-1
2
1
4
3
C
B
A
3.达标训练单：
1.如图 1 所示,将点 A 向右平移向（ ）个单位长度可得到点 B A.3 个单位
长度 B.4 个单位长度;
C.5 个单位长度 D.6 个单位长度
2.如图 1 所示,将点 A 向下平移 5 个单位长度后,将重合于图中的 ( )
A.点 C B.点 F C.点 D D.点 E
3.如图 1 所示,将点 A 行向右平移 3 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度,得到 A′,
将点 B 先向下平移 5 个单位长度,再向右平移 3 个单位长度,得到 B′,则 A′与 B′相距
( )
A.4 个单位长度 B.5 个单位长度; C.6 个单位长度 D.7 个单位长度
4.如图 1 所示,点 G(-2,-2),将点 G 先向右平移 6 个单位长度,再向上平移 5 个单位
长度,得到 G′,则 G′的坐标为( ) A.(6,5) B.(4,5) C.(6,3) D.(4,3)
5.已知△ABC,A(-3,2),B(1,1),C(-1,-2),现将△ABC 平移,使点 A 到点(1,-2) 的位置上,
则点 B,C 的坐标分别为______,________.
6.已知点 A(-4,-6),将点 A 先向右平移 4 个单位长度,再向上平移 6 个单位长度,得到
A′,则 A′的坐标为________.
7. 正 方 形 的 四 个 顶 点 中 ,A(-1,2),B(3,2),C(3,-2), 则 第 四 个 顶 点 D 的 坐 标 为
_________.
8. 如图所示,△A′B′C′是△ABC 经过平移得到的,△ABC 中任
意一点 P(x1,y1)平移后的对应点为 P′(x1+6,y1+4),
求 A′,B′,C′的坐标.
4.作业布置：
课本 P78 习题 7.2—1、2、3、4.
四、问题生成单：
五、谈本节课收获和体会：
8.1 二元一次方程组
一、学习内容：教材课题 二元一次方程组 P 93-94
二、学习目标：1、认识二元一次方程和二元一次方程组；
2、了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数
解.
三、自学探究
1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，
某队为了争取较好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多
少？
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x，负的场数是 y，
你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程-----------------------；----------------------------表
示.
观察上面两个方程可看出，每个方程都含有 未知数（x和y），并且未知数的 都
是 1，像这样的方程叫做二元 一次 方程. （P 93）
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22 ①
2x＋y＝40 ②
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94）
2、探究讨论：
满足方程①，且符合问题的实际意义的 x、y 的值有哪些？把它们填入表中.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
思考：上表中哪对 x、y 的值还满足方程②
x=18 y=4 既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共
解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
四、自我检测
1、 教材 P94 练习
2、已知方程：①2x+ 1
y
=3；②5xy-1=0；③x2+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，
其中是二元一次方程的有______．（填序号即可）
3、下列各对数值中是二元一次方程 x＋2y=2 的解是（ ）
A
0
2
y
x B
2
2
y
x C
1
0
y
x D
0
1
y
x
变式：其中是二元一次方程组
22
22
yx
yx 解是( )
五、学习小结：
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？
x
y
（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？）
六、反馈检测
1、 方程（a＋2）x +(b-1)y = 3 是二元一次方程，试求 a、 b 的取值范围.
2、 若方程 75 2312 nm yx 是二元一次方程.求 m 、n 的值
3、 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1） 哪几对数值使方程
2
1 x －y＝6 的左、右两边的值相等？
（2） 哪几对数值是方程组 的解？
4、 求二元一次方程 3x＋2y＝19 的正整数解.
（选做）5、（1）当 a______时，方程组 2 1
3 2
ax y
x y
有唯一解．
（2）当 a_______时，方程组 2 1
3 3
ax y
x y
无解．
（3）当 m=______时，方程组 2 1
2 2
x y
x my
有无穷多解
8.2 消元----二元一次方程组的解法（一）
一、学习内容：教材课题 P96-97 消元----二元一次方程组的解法
二、学习目标：1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探究精神
三、自学探究
1、复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争
取较好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
如果只设一个末知数：胜 x 场，负(22－x)场，列方程为： ，解
得 x= .
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是 x，负的
场数是 y，
x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？
2、思考：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第 1 个方程 x＋y＝22 写成 y＝22－x，将第 2 个方程 2x
＋y＝40 的 y 换为 22－x，这个方程就化为一元一次方程 40)22(2 xx .
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化
为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这
种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
3、归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子
表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做
代入消元法，简称代入法.
例 1 用代入法解方程组
x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
解后反思：(1)选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？
(2)为什么能代？
(3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里
的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
四、自我检测
教材 P98 练习 1、2
五、学习小结
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未
知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确
定方程组的解.
六、反馈检测
1.已知 x＝2，y＝2 是方程 ax－2y＝4 的解，则 a＝________.
2.已知方程 x－2y＝8，用含 x 的式子表示 y，则 y =_________________，用含 y
的式子表示 x，则 x =________________
3．解方程组 2 1,
3 2 8
y x
x y
把①代入②可得_______
4.若 x、y 互为相反数，且 x＋3y＝4，,3x－2y＝_____________.
5．解方程组 y =3x－1 6 . 4x－y=5
2x＋4y=24 3(x－1)=2y－3
7.已知
1
2
y
x 是方程组
54
abyx
byax 的解.求 a 、b 的值.
8.2 消元----二元一次方程组的解法（二）
一、学习内容：教材课题 P97-98
二、学习目标：1、熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
三、自学探究：
1、 复习旧知：解方程组
2 5
4 3 7
x y
x y
，
；
2、 结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤
3、 探究思考
例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量
比（按瓶计算）为 2：5.某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶
装两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应分装 x 大瓶和 y 小瓶，则（列出方程组为）：
思考讨论：
问题 1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
问题 2：能用代入法来解吗？
问题 3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？
写出解方程组过程：
质疑：解这个方程组时，可以先消去 X 吗？试一试。
反思：
（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为 1 的二元一次方程组？
（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。
(3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答．
四、自我检测：
1、用代入法解下列方程组．
（1）
523
32
ts
ts （2）
1187
1365
yx
yx
(有简单方法！)
2、教材 P98 3、4
五、学习小结：
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是 1 的二元一次方程组，解题时，应选
择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题
的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？
六、反馈检测：
1、将二元一次方程 5x＋2y=3 化成用含有 x 的式子表示 y 的形式是 y= ；化成用
含有 y 的式子表示 x 的形式是 x= 。
2、已知方程组：
345
44
xy
xy ,指出下列方法中比较简捷的解法是（ ）
A.利用①，用含 x 的式子表示 y，再代入②；
B 利用①，用含 y 的式子表示 x，再代入②；
C.利用②，用含 x 的式子表示 y,再代入①；
D.利用②，用含 x 的式子表示 x，再代人①;
3、用代入法解方程组：
（1）
yx
yx
32
153 （2）
4、若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，则 x= ，y=
8.2 消元----二元一次方程组的解法（三）
一、学习内容：教材课题 P99-100 加减消元
二、学习目标：1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立信心．
三、自学探究：
1、复习旧知
解方程组 22
2 40
x y
x y
有没有其它方法来解呢？
2、思考：这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的
消元方法吗？
两个方程中未知数 y 的系数相同，②－①可消去未知数 y，得 - =40-22 即
x=18,把 x=18 代入①得 y=4。
另外，由①－②也能消去未知数 y，得 - =22-40 即-x=-18,x=18,把 x=18
代入①得 y=4.
3、探究 想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 4 10 3.6
15 10 8
x y
x y
这两个方程中未知数 y 的系数 ，因此由①＋②可消去未知数 y，从而求出未知
数 x 的值。
4、归纳：加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相
减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相
232 ba
194 ba
①
②
①
②
减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5、拓展应用：
用加减法解方程组 3 4 16
5 6 33
x y
x y
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试
一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
①×3,得 9x+12y=48 ③
②×2,得 10x-12y=66 ④
这时候 y 的系数互为相反数，③＋④就可以消去 y，
思考：用加减法消去 x 应如何解？解得结果与上面一样吗？
四、自我检测：
教材 p102 练习 1 1）、2）、3）、4）
五、学习小结：
用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？
六、反馈检测：
1．用加减法解下列方程组 3 4 15
2 4 10
x y
x y
较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未
知数_______．
2．已知方程组 2 3 4
3 2 1
x y
x y
，，用加减法消 x 的方法是__________；用加减法消 y 的方
法是________．
3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．
(1)
3 2 15
5 4 23
x y
x y
消元方法___________．
(2)
7 3 1
2 3 2
m n
n m
消元方法_____________．
4、解方程组 2 3 12
3 4 17
x y
x y
5、已知(3x+2y－5)2 与│5x+3y－8│互为相反数，则 x=______，y=________．
6、（选做题） 63 2
3( ) 2( ) 28
x y x y
x y x y
8.2 消元----二元一次方程组的解法（四）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
①
②
①
②
一、学习内容：教材课题 P101-102
二、学习目标：1、熟练掌握加减消元法；2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，
3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性
三、自学探究：
1、复习旧知：
解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2、选择最合适的解法解下列方程
（1）
2.54.22.3
5.12
yx
yx （2）
523
1284
yx
yx （3）
245
1032
yx
yx
3、探究新知
教材 p101 例 4 2 台大收割机和 5 台小收割机工作 2 小时收割小麦 3．6 公顷，3 台大
收割机和 2 台小收割机工作 5 小时收割小麦 8 公顷，问：1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小
时各收割小麦多少公顷？
问题 1．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
（找出两个等量关系）
问题 2.你能找出本题的等量关系吗？
2 台大收割机 2 小时的工作量＋5 台小收割机 2 小时的工作量=3.6
3 台大收割机 5 小时的工作量＋2 台小收割机 5 小时的工作量=8
问题 3.怎么表示 2 台大收割机 2 小时的工作量呢？
设 1 台大收割机 1 小时收割小麦 x 公顷，则
2 台大收割机 1 小时收割小麦＿公顷，
2 台大收割机 2 小时收割小麦＿公顷．
现在你能列出方程了吗？并解出方程。
4、上面解方程组的过程可以用下面的框图表示
解得x
一元一次方程
11x=4.4
两方程相减、
消去未知数y
②-①
x=0.4
y=0.2
15x+10y=7 ②
4x+10y=3.6 ①
二
元
一
次
方
程
组
二元一次方程 一元一次方程消元
代入、加减
四、自我检测：教材 p102 练习 2、3
五、学习小结：
1、先分析方程特点，选择最适合的方法来解方程
2、这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界
的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能
六、反馈检测：1、解方程组 3 5 12
3 15 6
x y
x y
2、已知方程组 5
1
mx n
my m
的解是 1
2
x
y
，则 m=________，n=________．
3、王大伯承包了 25 亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000 元,其中种茄子每亩用了 1700 元,获纯利 2400 元,种西红柿每亩用了 1800 元,获纯利
2600 元,问王大伯一共获纯利多少元?
4、一旅游者从下午 2 时步行到晚上 7 时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回
到出发点,已知他走平路时每小时走 4 千米,爬山时每小时走 3 千米,下坡时每小时走 6 千米,
问旅游者一共走了多少路?
5、（选做）若方程组 2 3
3 5 2
x y m
x y m
的解满足 x+y=12，求 m 的值
8.3 实际问题与二元一次方程组（一）
一、学习内容：教材课题 P105
二、学习目标：1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现
实生活的联系和作用
2、通过应用题进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会
代数方法的优越性
3、体会列方程组比列一元一次方程容易
三、自学探究：1、复习旧知：列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
2、探究：课本 105 页探究 1
养牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛，一天约需用饲料 675 kg;一周后又购进 12 只大牛和 5
只小牛，这时一天约需用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛 1 天约需用饲料
18～20 kg,每只小牛 1 天约需用饲料 7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题：1） 题中有哪些已知量？哪些未知量？ 2） 题中等量关系有哪些？ 3）如何解这个
应用题？
本题的等量关系是：
解：设平均每只大牛和每只小牛 1 天各需用饲料为 xkg 和 ykg
根据题意列方程组，得 解这个方程组得
每只大牛和每只小牛 1 天各需用饲料为＿＿＿和＿＿＿，饲料员李大叔估计每天大牛需用饲
料 18—20 千克，每只小牛一天需用 7 到 8 千克与计算有一定的出入
3、归纳：
实际问题 数学问题
（二元一次方程组）
设未知数
列方程组
四、自我检测：教村 p108 习题 1、2、3
五、学习小结：
通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？
①设未知数．②找相等关系．③列方程组．④检验并作答．
六、反馈检测
1、班上有男女同学 32 人，女生人数的一半比男生总数少 10 人，若设男生人数为 x 人，女
生人数为 y 人，则可列方程组为
2、甲乙两数的和为 10，其差为 2，若设甲数为 x，乙数为 y，则可列方程组为
3、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地
上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子
就是整个鸽群的 1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道
树上、树下各有多少只鸽子吗？
4、某运输队送一批货物，计划 20 天完成，实际每天多运送 5 吨，结果不但提前 2 天完成任
务并多运了 10 吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
8.3 实际问题与二元一次方程组（二）
一、学习内容：教材课题 P106
二、学习目标：
1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析
三、自学探究
1、复习旧知 1）长方形的面积公式？当宽相同时，面积比等于------------，当长相同时，面积
比等于---------------
2）回顾列方程解决实际问题的基本思路？
2、探究：教材 p106 探究 2：根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比
是 1∶1.5，现在要在一块长为 200 m，宽 100 m 的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把
这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为 3∶4（结果取整数）？
思考：1、“甲、乙两种作物的单位面积产量比是 1：1.5”是什么意思？
2、“甲、乙两种作物的总产量比为 3：4”是什么意思？
3、本题中有哪些等量关系？
解设_____________________________________________，列方程组：
解这个方程组，得 答：
四、自我检测 教材 p108 4、5
五、学习小结：
通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？
六、反馈检测
1、若两个数的和是 187,这两个数的比是 6:5,则这两个数分别是___________.
2、木工厂有 28 人，2 个工人一天可以加工 3 张桌子，3 个工人一天可加工 10 只椅子，现在
如何安排劳动力，使生产的一张桌子与 4 只椅子配套？
3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果 1 立方米木材可制作 300 条腿或制作凳面 50
个，现有 9 立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木
材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
4、某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15人没有座位;
如果租用 60 座客车,则多出 1 辆,且其余客车恰好坐满,已知 45座客车日租金为每辆 220
元,60 座客车日租金为每辆 300 元,试问:(1)七年级人数是多少?原计划租用 45 座客车多少
辆?(2)要使每个同学都有座位,怎样租车更合算?
8.3 实际问题与二元一次方程组（三）
一、学习内容：教材课题 P106-107
二、学习目标：
1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；
3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值
三、自学探究 1、小试牛刀：最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为
疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的
用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为
是高峰用电，即 8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即 22:00～次日 8:00.若某地的高峰
电价为每千瓦时 0.56 元；低谷电价为每千瓦时。．28 元．八月份小彬家的总用电量为 125
千瓦时，总电费为 49 元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？
2、探究：教材 106 页：探究 3：如图，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连，这
家工厂从 A 地购买一批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地。
公路运价为 1.5 元/（吨·千米）,铁路运价为 1.2 元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运
费 15000 元，铁路运费 97200 元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
设问 1.如何设未知数？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和
原料数量都有关．因此设产品重 x 吨，原料重 y 吨．
设问 2.如何确定题中数量关系？
列表分析
产品 x 吨 原料 y 吨 合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
由上表可列方程组
解这个方程组，得
毛利润=销售款－原料费－运输费
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多________________元．
四、自我检测 教材 p108 6、8、9
五、学习小结：
1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析
问题中的相等关系？
2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．
六、反馈检测
1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去
两次租用这两种货车的记录如下表所示．
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第 1 次 4 5 28.5
第 2 次 3 6 27
这批蔬菜需租用 5 辆甲种货车、2 辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付 20 元运费，
问：菜农应付运费多少元？
2、某学校现有学生数 1290 人，与去年相比，男生增加 20％，女生减少 10％，学生总数
增加 7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？
3、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1 人～50 人 51～100 人 100 人以上
票价 10 元/人 8 元/人 5 元/人
某校八年级甲、乙两个班共 100 多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有 50 多人，乙
班不足 50 人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付 920 元；如果两个班联合起来作
为一个团体购票，一共只要付 515 元。问：甲、乙两个班分别有多少人？
4、甲运输公司决定分别运给 A 市苹果 10 吨、B 市苹果 8 吨，但现在仅有 12 吨苹果，
还需从乙运输公司调运 6 吨，经协商，从甲运输公司运 1 吨苹果到 A、B 两市的运费分别为
50 元和 30 元，从乙运输公司运 1 吨苹果到 A、B 两市的运费分别为 80 元和 40 元，要求总
运费为 840 元，问如何进行调运？
8、4 三元一次方程组解法举例
一、学习内容：教材 p111-113 8、4 三元一次方程组解法举例
二、学习目标：1、了解三元一次方程组的定义；2、掌握三元一次方程组的解法；
3、进一步体会消元转化思想．
三、自学探究：1．复习导入 （1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？
2、探究：
甲、乙、丙三数的和是 26，甲数比乙数大 1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大 18，求
这三个数．
思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这
样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
思考：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成
二元一次方程组或一元一次方程？
x y z
x y z
x y
12,
2 5 22,
4 .
有几种解法？
3、归纳：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化
为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即
消元 消元
问题 1：解三元一次方程组
x z
x y z
x y z
3 4 7
2 3 9
5 9 7 8
问题 2 在等式 y ax bx c2 中，当 x＝－1 时 y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
①
②
③
①
②
③
时，y＝60．求 a、b、c 的值．
分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一
个三元一次方程组．
四、自我检测
教材 p114 练习 1、2
五、学习小结
1． 三元一次方程组的解法；
2、解多元方程组的思路――消元
3、解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含
二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二
元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
4、注意检验
六、反馈检测 教材 p 114-115 习题 8、4
实际问题与二元一次方程组分类练习
知能点 1 销售和利润问题
1．某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚 70 元，后因库
存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损 110 元，则该商场每件羊绒衫的进
价为_____，标价为_______．
2．某种彩电原价是 1 998 元，若价格上涨 x%，那么彩电的新价格是______元；若价格下降
y%，那么彩电的新价格是_______元．
3．某商店经销一种商品，由于进价降低了 5%，出售价不变，使得利润由 m%提高到（m+6）%，
则 m 的值为（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．17
4．在我国股市交易中，每买一次要交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股 10 元的价
格买入上海股票 1 000 股，当该股票涨到 12 元时全部卖出，该投资者的实际赢利为（ ）．
A．2 000 元 B．1 925 元 C．1 835 元 D．1 910 元
5．某商场欲购进甲、乙两种商品共 50 件，甲种商品每件进价为 35元，利润率是 20%，乙
种商品每件进价为 20 元，利润率是 15%，共获利 278 元，则甲、乙两种商品各购进多
少件？
◆知能点 2 利率、利税问题
6．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共 20 万元，甲、乙两种存款的年利率分别
为 1.4%和 3.7%，该公司一年共得利息（不计利息税）6 250元，则甲种存款______， 乙
种存款______．
7．某人以两种形式一共存入银行 8 000 元人民币，其中甲种储蓄的年利率为 10%，乙种储
蓄的年利率为 8%，一年共得利息 860 元，若设甲种存入 x 元，乙种存入 y 元，根据题意
列方程组，得_________．
8．某工厂现向银行申请了两种货款，共计 35 万元，每年需付利息 2．25 万元，甲种贷款
每年的利率是 7%，乙种贷款每年的利率是 6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、
乙两种贷款的数额分别为 x 万元和 y 万元，则（ ）．
A．x=15，y=20 B．x=12，y=23 C．x=20，y=15 D．x=23，y=12
◆开放探索创新
9．某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，
出厂价分别为：甲种每台 1 500 元，乙种每台 2 100 元，丙种每台 2 500 元，若商场同
时购进其中两种不同型号电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案．
◆中考真题实战
10．（重庆）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保
障机制，其中一项是免交“借读费”．据统计，2004 年秋季有 5 000名农民工子女进入
主城区中小学学习，预测 2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比 2004 年
有所增加，其中小学增加 20%，中学增加 30%，这样 2005年秋季将新增 1 160 名农民工
子女在主城区中小学学习．如果按小学生每年的“借读费”500元，中学生每年的“借
读费”1000 元计算，求 2005 年新增的 1 160 名中小学生共免收多少“借读费”．
11．（南通）张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封共 30 个，其中买 A型号的信封用了 1
元 5 角，买 B 型号的信封用了 1 元 2 角，B 型号的信封每个比 A 型号的信封便宜 2 分，
则两种型号信封的单价各是多少元？
知能点 1 行程问题
1．甲、乙两人相距 45km，甲的速度是 7km/h，乙的速度为 3km/h，两人同时出发，（1）若
同向而行，甲追上乙需_______h；（2）若相向而行，甲、乙需______h 相遇；（3）若同
向而行，乙先走 1h，甲再追乙，经过______h 甲可追上乙．
2．两人在 400m 的圆形跑道上练习赛跑，方向相反时每 32s 相遇一次，方向相同时每 3min
相遇一次，若设两人速度分别为 x（m/s）和 y（m/s）（x>y），则由题意列出方程组为
_________．
3．A，B 两地相距 20km，甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，经过 2h 相遇，相遇后，
甲立即返回 A 地，乙仍向 A 地前进，甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 2km，则两人的速度
分别为________．
4．一只船在一条河上的顺流速度是逆流速度的 3 倍，则这只船在静水中的速度与水流速度
之比为：_________．
5．已知某铁路桥长 800m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用
45s，整列火车完全在桥上的时间是 35s，求火车的速度和长度．
知能点 2 配套问题
6．张阿姨要把若干个苹果分给小朋友们吃，若每人 2 个，则多 1 个；若每人 3 个，则缺 2
个，苹果有_______个，小朋友有_______个．
7．两台拖拉机共运水泥 35t，其中一台比另一台多运 7t，则这两
台拖拉机分别运送了水泥_______t 和_________t．
8．如图所示，周长为 34 的长方形 ABCD 被分成 7 个大小完全一样的
小长方形，则每个小长方形的面积为（ ）．
A．30 B．20 C．10 D．14
9．一个长方形周长为 30，若它的长减少 2，宽增加 3，就变成了一个正方形，设该长方形
长为 x，宽为 y，则可列方程组为（ ）．
2( ) 30 30 30 15. . . .2 3 2 3 2 3 2 3
x y x y x y x yA B C Dx y x y x y x y
10．现用 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或做 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配
成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完
整的盒子？
◆规律方法应用
11．用白铁皮做水桶，每张铁皮能做 1 个桶身或 8 个桶底，而 1 个桶身 1个桶底正好配套
做 1 个水桶，现在有 63 张这样的铁皮，则需要多少张做桶身，多少张做桶底正好配套？
12．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次
租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲货车辆数（单位：辆） 2 5
乙货车辆数（单位：辆） 3 6
累计运货吨数（单位：吨） 15.5 35
现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费
30 元计算，则货主应付运费多少元？
◆开放探索创新
13．小颖在拼图时发现 8 个一样大小的矩形，恰好可以拼成一个
大的矩形，如图（1）所示．小彬看见了，说：“我来试一试”．结
果小彬七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形．中间还留下
一个洞，恰好是边长为 2mm 的小正方形．
你能帮他们解开其中的奥秘吗？
◆中考真题实战
14．（长沙）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台，改进
生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共 554 台，其中甲种机器要比第一季度增产
10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
第九章 不等式与不等式组
第一课时 不等式及其解集
学习目标：
1、了解不等式的概念，能用不等式表示简单的不等关系。
2、知道什么是不等式的解，什么是解不等式，并能判断一个数是否是一个不等
式的解。
3、理解不等式的解集，能用数轴正确表示不等式的解集，对于一个较简单的不
等式能直接说出它的解集。
学习重点：不等式的解集的表示。
学习难点：不等式解集的确定。
学习过程：
一、自主学习
数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，请你用恰当的式子表示
出下列数量关系：
(1)a 与 1 的和是正数； (2)y 的 2 倍与 1 的和大于 3；
(3)x 的一半与 x 的 2 倍的和是非正数； (4)c 与 4 的和的 30%不大于-2；
(5)x 除以 2 的商加上 2 至多为 5； (6)a 与 b 两数的和的平方不可能大于
3。
二、合作探究：
1、像上面那样，用符号_______来表示________关系的式子叫做不等式不等号
有_____
2、当 x=78 时，不等式 x﹥50 成立，那么 78 就是不等式 x﹥50 的解。
与方程类似，我们把使不等式______的__________叫做不等式的解。
完成 P115 思考中提出的问题。
3、一个含有未知数的不等式中，________不等式的解，组成这个不等式的
_________。
求不等式的_______的过程叫做解不等式。
4、你能画出数轴并在数轴上表示出下列不等式的解集吗？
（1）x﹥3 （2）x﹤2 （3）
y≥-1
三、巩固运用：
1、对于下列各式中：①3﹥2；②x≠0；③a﹤0；④x+2=5；⑤2x+xy+y；⑥ 2a +1
﹥5；
⑦a+b﹥0。不等式有_____ _____(只填序号)
2、下列哪些数值是不等式 x+3﹥6 的解？那些不是？
-4， -2.5， 0， 1， 2.5， 3， 3.2， 4.8， 8， 12。
你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？
3、用不等式表示。
（1）a 与 5 的和是正数； （2）b 与 15 的和小于 27；
（3）x 的 4 倍大于或等于 8； （4）d 与 e 的和不大于 0。
4、直接写出下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来：
（1）x+2﹥6； （2）2x﹤10； （3）x-2≥0.5.
四、反思总结：
五、达标检测
1、下列数学表达式中，不等式有（ ）
①-3﹤0；②4x+3y﹥0；③x=3；④x≠2；⑤x+2﹥y+3
(A) 1 个 (B)2 个 （C）3 个 （D）4 个
2、当 x=-3 时，下列不等式成立的是（ ）
（A）x-5﹤-8 （B）2x+2﹥0 （C）3+x﹤0 （D）2(1-x)﹥7
3、用不等式表示：
（1）a 的相反数是正数； （2）y 的 2 倍与 1 的和大于 3；
（3）a 的一半小于 3； （4）d 与 5 的积不小于 0；
（5）x 的 2 倍与 1 的和是非正数.
4、直接写出下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来：
（1）x+3﹥5； （2）2x﹤8； （3）x-2≥0。
5、不等式 x﹤4 的非负整数解的个数有（ ）
（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个
六、课后预习：预习课本 116--119
第二课时 不等式的性质
学习目标：
1、理解不等式的性质，掌握不等式的解法。
2、渗透数形结合的思想
3．能熟练的应用不等式的基本性质进行不等式的变形。
学习重点：不等式的性质和解法.
学习难点：不等号方向的确定.
学习过程：
一、自主学习
1、等式的基本性质有哪些？
2、不等式又有哪些基本性质？
二、合作探究：
1、用 > 或 < 符号填空：
（1) 5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2
（2) -1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3
（3) 6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)
（4) -2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)
（5）－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2，（－4）×（－2） （－6）
×（－2）
2、从以上练习中，你发现了什么规律？
（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方
向__________。
（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向
______________。
（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向
______________。
（4）当不等式的两边同时乘上 0 时，不等式__________________。
请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他
们交流：
你能总结出不等式的性质了吗？
不等式性质
1： 。
用数学式子表示为： 。
不等式性质
2： 。
用数学式子表为： 。
不等式性质
3： 。
用数学式子表示为： 。
3、说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？
三、巩固运用：
例 1 利用不等式的性质，填”>”,:<”
(1)若 a>b，则 2a+1 2b+1； (2)若-1.25y<10，则 y -8；
(3)若 a0，则 ac+c bc+c；(4)若 a>0，b<0，c<0，则(a-b)c 0。
例 2 利用不等式性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
(1)x-7>26； (2)3x<2x+1； (3) 2
3 x>50；
(4)-4 x >3。
例 3 某长方体形状的容器长 5cm，宽 3cm，高 10cm。容器内原有水的高度为
3cm，现准备向它继续注水。用 V（单位： 3cm ）表示注入水的体积，写出 V 的
取值范围。
四、反思总结：
五、达标检测
1、解不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x+5 < -1 （2）4x>3x-5
2、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x 与 3 的和不小于 6； （2）y 与 1 的差不大于 0。
3、请你当裁判：
小红学完不等式的性质后，说若 a>b,则有 2a>2b,3a>3b,4a>4b,5a>5b,……,所以
ac>bc,你同意你的看法吗？
六、课后预习：预习课本 P122--123
第三课时 一元一次不等式（1）
学习目标：
1、了解一元一次不等式的概念。
2、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
学习重点：掌握解一元一次不等式的步骤。
学习难点：对一元一次不等式解法的理解。
学习过程：
一．自主学习
1、解下列一元一次方程：
(1) 4x-3=5x+7 (2) 3(2x-1)=4 (3) -5x- 2
1 = 3
1 (x-1)
2、解一元一次方程的步骤是什么？
二、合作探究：
1、观察下面的不等式：
x-7>26，3x<2x+1，
3
2 x>50，-4x>3。它们有哪些共同特征？
像上面那样，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 的不等式，叫做一元
一次不等式。
2、一元一次方程和一元一次不等式的联系与区别?
三、巩固运用：
1、解一元一次不等式与解一元一次方程的区别：
（1）在解一元一次不等式时去分母和系数化为 1 时，如果乘数或除数是负数，
要把不等号改变方向;
(2)不等式的解集含有无限多个数，而一元一次方程只有一个解；
（3）解一元一次不等式，是根据不等式的性质，将不等式化为
, ( , )x a x a x a x a 或 的形式，而解一元一次方程，是根据等式的性质将方程
逐步化为 x a 的形式。
2、例 1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2(1+x)<3 (2) 3
12
2
2 xx
练习：1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x+15>4x-1 (2) 2(x+5) 3(x-5)
(3) 7
1x < 3
52 x (4) 14
52
6
1 xx
2、教材 P124 练习 2
四、反思总结：
五、达标检测
1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 1- 5
32 x < 2
1 x (2) 26-3(x-2) 2(x-9)+38
2、求不等式 3(1-x)<2(x+9)的负整数解。
3、x 取何值时，代数式 3x-1 的值
(1)大于 3x (2)不小于 2
六、课后预习：预习课本 P124--125
第四课时 一元一次不等式（2）
学习目标：
1、会利用一元一次不等式解决实际问题，掌握分析技巧。
2、经历探索实际问题的过程，培养数学建模能力。
学习重点：会用一元一次不等式解决简单的实际问题。
学习难点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。
学习过程：
一．自主学习
1、解一元一次不等式的步骤是什么？
2、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
(1)3 2 1x x (2) 7
1x < 3
52 x +1
二、合作探究：
列一元一次方程解应用题的步骤是什么？你能类比得到列一元一次不等式解应
用题的步骤吗？
列一元一次不等式解应用题的一般步骤：
审题→设未知数→找不等关系→列出不等式→解这个不等式求出解集→检验所
求的解集是否正确，是否符合实际情况→写出答案。
三、巩固运用：
例 2、去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到
60％如果明年这样的天数要超过 70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至
少增加多少？
（可依据哪个数量关系列不等式？此题的数量关系
是： ）
例 3、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方
案：在甲店累计购买 100 元商品后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙店
累计购买 50 元商品后，再购买的商品按原价的 95%收费.顾客怎样选择商店购
物能获得更大优惠？
这个问题较复杂，从何处入后考虑它呢？
甲商店优惠方案的起点为购物款达＿＿＿元后；
乙商店优惠方案的起点为购物款过＿＿＿元后.
我们是否应分情况考虑？可以怎样分情况呢？
（1）如果累计购物不超过 50 元，则在两店购物花费有区别吗？
（2）如果累计购物超过 50 元而不超过 100 元，则在哪家商店购物花费小？为
什么？
（3）如果累计购物超过 100 元，那么在甲店购物花费小吗？
四、反思总结：
五、达标检测
1．某公司要招甲、乙两种工作人员 30 人，甲种工作人员月薪 600 元，乙种工作
人员月薪 1000 元.现要求每月的工资不能超过 2.2 万元，问至多可招乙种工作人
员多少名？
2．某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去 A 市参加科技夏令营，
甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社
说：“包括校长在内全部按全票的 6 折优惠”，若全票价为 240 元.
(1)设学生数为 x，甲旅行社收费为 y 甲，乙旅行社收费为 y 乙.分别计算两家旅
行社的收费（建立表达式）；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3) 就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠.
3.某体育用品商场采购
员要到厂家批发购进篮
球和排球共 100 只，付款
总 额 不 得 超 过 11 815
元．已知两种球厂家的批
发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：
（1）该采购员最多可购进篮球多少只？
（2）若该商场把这 100 只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于 2580
元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？
六、课后预习：预习课本 P127--129
第五课时 一元一次不等式组
学习目标：
1、理解一元一次不等式组及其解的意义；
2、初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方
法。
3、能运用不等式组解决简单的实际问题。
学习重点：解一元一次不等式组
学习难点：运用一元一次不等式组解决实际问题
学习过程：
一．自主学习
1、动手解一解下列不等式，并在数轴上表示
1 2 1x x ；
2 0.5 3x ；
3 3 2 1x x ；
4 5 4 1x x 。
2、将上面内容进行组合，按要求作答①分别解出不等式；②将结果在数轴上表
示出来；③取公共部分
品名 厂家批发价（元/只） 商场零售价（元/只）
篮球 130 160
排球 100 120
（1） 2 1
0.5 3
x x
x
（2） 3 2 1
5 4 1
x x
x x
二、合作探究：
结合一、2 思考：
（1）你能为它取个名字吗？
（2）你能将它们的解集在数轴上表示出来吗？
（3）哪一部分是它的最后解集呢？
归纳： 叫做一元一次不等式组，
组成不等式组的解集。
三、巩固运用：
例 1、解下列不等式组，并在数轴上标出解集。
1）
148
112
xx
xx （2）
xx
xx
213
52
1132
例 2、x 取哪些整数值时,不等式 5x+2>3(x-1)与
2
1 x-1 7-
2
3 x 都成立？
四、反思总结：
五、达标检测
1、解下列不等式组：
（ 1 ）
2
1
3
21
2312
xx
xx
（ 2 ）
2
1
3
12
312
xx
xx
（ 3 ）
5
3
5
112 x
2、解不等式组：
)1(42
12
1
xx
x
，并写出不等式组的正整数解
3、（1）如果一元一次不等式组
ax
x 5 的解集为 x>5,那么你能求出 a 的取值
范围吗?
（2）如果一元一次不等式组
ax
x 3 的解集为 x<3,那么你能求出 a 的取值范
围吗?
4、某校今年冬季烧煤取暖时间为四个月，如果每月比计划多烧 5 吨煤，那么取
暖用煤总量将超过 100 吨；如果每月比计划少烧 5 吨煤，那么取暖用煤总量不足
68 吨。该校计划每月烧煤多少吨？
第六课时 利用不等关系分析比赛
学习目标：
1、了解部分体育比赛项目判定胜负的规则，复习并巩固不等式的相关知识；
2、以体育比赛问题为载体，探究实际问题中的不等关系，进一步体会利用不等
式解决问题的基本过程；
3、在利用不等关系分析比赛结果的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，
发展逻辑思维能力和有条理表达思维过程的能力；
4、感受数学的应用价值，培养用数学眼光看世界的意识，引导学生关注生活、
关注社会。
学习重点：利用不等关系分析预测比赛结果
学习难点：在开放的问题情境中促使学生的思维从无序走向有序；在分析、解决
问题的过程中发展学生用数学眼光看世界的主动性
学习过程
一． 自主学习
1、什么叫一元一次不等式（组）？
2、怎样求解一元一次不等式（组）？列一元一次不等式（组）解应用题的步骤
是什么？
二、合作探究：
某射击运动员在一次比赛中前 6 次射击共中 52 环，如果他要打破 89 环（10
次射击）的纪录，第 7 次射击不能少于多少环？
（1）如果第 7 次射击成绩为 8 环，最后三次射击中要有几次命中 10 环才能
破纪录？
（2）如果第 7 次射击成绩为 10 坏，最后三次射击中是否必须至少有一次命
中 10 环才能破纪录？
三、巩固运用：
有 A，B，C，D，E 五个队分同一小组进行单循环赛足球比赛，争夺出线权．比
赛规则规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，小组中名次在前的
两个队出线，小组赛结束后，A 队的积分为 9 分．你认为 A 队能出线吗？请说明
理由。
（学生充分发表意见，在辩论中发现此问题不能一概而论，需要考虑其他队
的情况，于是形成问题假设：
(1)如果小组中有一个队的战绩为全胜，A 队能否出线？
(2)如果小组中有一个队的积分为 10 分，A 队能否出线？
(3)如果小组中积分最高的队积 9 分，A 队能否出线？）
四、反思总结：
五、达标检测
1、足球比赛的计分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分一个
队打 14 场比赛负 5 场共得 19 分．那么这个队胜了几场？
2、某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争出线权．火炬队目前的战绩是 17 胜
13 负（其中有一场以 4 分之差负于月亮队），后面还要比赛 6 场（其中包括再与
月亮队比赛 1 场）；月亮队目前的战绩是 15 胜 16 负，后面还要比赛 5 场．为确
保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？
（在分析解决前述问题的过程中，自然会引发一些争论，提出一些问题假设，如：
(1)如果火炬队在后面对月亮队 1 场比赛中至少胜月亮队 5 分，那么它在后面
的其他比赛中至少胜几场就一定能出线？
(2)如果月亮队在后面的比赛中 3 胜（包括胜火炬队 1 场)2 负，那么火炬队在
后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？
(3)如果火炬队在后面的比赛中 2 胜 4 负，未能出线，那么月亮队在后面的比
赛中战绩如何几
(4)如果火炬队在后面的比赛中胜 3 场，那么什么情况下它一定出线？）
第七课时复习 不等式与不等式组
一、知识点：
1、不等式和一元一次不等式的含义。
①如：－3﹥－5，b＋1≤3，2x﹤y，－1﹤x≤3，x≠1 等，含有 的式子可称作不等
式；②如：y－3﹥－5，b＋1≤2b－3，2x＋1﹤4 等，是不等式并只含有 未知数，同时
未知数的次数是 ，则可称为一元一次不等式。
2、不等式的解、解集、解不等式的概念。
举例：判断下列哪些是不等式 x＋4﹥7 的解？哪些不是不等式的解？
－4，－3.5，1，2.3，3，0，17，4
2
1 ，7，11。
分析：由 3＋3 = 6 可知：（1）当 x﹥3 时，不等式 x＋4﹥7 成立；（2）当 x﹤3 或 x=3 时，
不等式 x＋3﹥6 不成立。也就是说，任何一个大于 3 的数都是不等式 x＋4﹥7 的解（如题目
中的 x=7 就是不等式 x＋4﹥7 其中的 1 个解）。这样的解有无数个，因此 x﹥3 表示了能使不
等式成立的未知数“x”的取值范围，我们把它叫做不等式 x＋4﹥7 的解的集合，简称解集。
而求不等式的解或解集的过程叫做 。
3、不等式的三个性质：（思考：与等式基本性质对比有何异同？）
不等式性质 1 ：
不等式性质 2：
不等式性质 3 ：
4、不等式解集的数轴表示。举例：
（注意数轴看作由无数个点组成，
每一个点都与一个数对应，注意空
心点和实心点的用法。）
5、解一元一次不等式的一般步骤：
（与解一元一次方程类似）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） （注意不等
号开口的方向）。
6、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形：
不等式组（其中：a ﹤
b ） 在数轴上表示 不等式组的解
集 口诀
bx
ax
x ﹥b 同大取大
bx
ax
x ﹤ a 同小取小
bx
ax
a ﹤ x ﹤b
大小小大中间
找
bx
ax 无解 大大小小是
无解
解题的关键：不等式组中的两个不等式的解集有无公共部分，且公共部分是什么。
7、列一元一次不等式（组）解应用题的步骤
（步骤与列一元一次方程解应用题类似，关键是设元和找出题目中各数量存在的不等关系。）
二、基础训练：
1．用恰当的不等号表示下列关系：
①x 的 3 倍与 8 的和比 y 的 2 倍小：
②老师的年龄 a 不小于你的年龄 b 小：
2．已知 a>b 用”>”或”<”连接下列各式；
（1）a-3 ---- b-3,(2)2a ----- 2b,( 3 )- a
3 ----- －b
3
(4)4a-3 ---- 4b-3 (5)a-b --- 0
3． x 的 5
3
与 12 的差不小于 6，用不等式表示为__________________．
4．当 y _____时，代数式 4
23 y
的值至少为 1.
5．不等式 6－12x<0 的解集是_________．
6．当 x________时，代数式 5
23
x
的值是非正数．
7．不等式组
1 1 02
1 0
x
x
，
． 的解为 ．
8．若方程 mxx 33 的解是正数，则 m 的取值范围是_________
9．若点 P（1－m，m）在第二象限，则（m-1）x>1-m 的解集为_______________．
10．从小明家到学校的路程是 2400 米，如果小明早上 7 点离家，要在 7 点 30 分到 40 分之
间到达学校，设步行速度为 x 米/分，则可列不等式组为__________________，小明步行的
速度范围是_________．
三、典型例题：
【例 1】下列不等式，那些总成立？那些总不成立？那些有时成立而有时不成立？
（1）－9．4﹤2，（2）3﹥0，（3）b＋5﹤0，（4）︱x︱﹥0，（5） 12 b ﹤0，（6）5＋x﹥5
－x。
分析：主要考虑未知数的取值，特别是正数、负数和零。
【例 2】若 a ﹤b ﹤0，则下列式子：① a ＋1﹤b ＋2，② b
a
﹥1，③ a ＋b ﹤ a b ，④ a
1
﹤
b
1
中，正确的有（ ）。A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、
4 个
分析由 a ﹤b ﹤0 得， a 、b 同为负数并且︱ a ︱﹥︱b ︱。如取 a =－2，b =－1 代入式子
中。
【例 3】不等式 2 x －7≤5 的正整数解有（ ）。A、7 个 B、6 个 C、5 个 D、
4 个
分析：先求出不等式的解： x ≤6，再从中找出符合条件的正整数。
【例 4】如果 3
)1(2 x
的值是非正数，则 x 的取值范围是（ ）。
A、 x ≤1 B、 x ≥1 C、 x ≤－1 D、 x ≥－1
分析：非正数也就是：0 和负数，即 3
)1(2 x
≤0。
【例 5】不等式组
01
12
x
x
的解集是（ ）。A x ﹥－ 2
1
B x ﹤－ 2
1
C x ≤1 D－ 2
1
﹤ x ≤1
分析：先求出每一个不等式的解集，再看两个解集的公共部分是什么。
01
12
x
x
解不等式①得： x ﹥－ 2
1
，解不等式②得： x ≤1；
解集在数轴表示如下：
∴原不等式组的解集为：－ 2
1
﹤ x ≤1（大小小大中间找）。
【例 6】不等式组
2x
kx
无解，则 k 的取值范围是（ ）。
A、 k =2 B、 k ﹥2 C、 k ≤2 D、 k ≥2
分析：根据大大小小是无解，可得 k 是较大的数，2 是较小的数（但 k 可以等于 2）即：k ≥
2。
【例 7】不等式组
01
12
x
x
的整数解是：__________________。
分析：先求出不等式组的解集－ 2
1
﹤ x ≤1，再从中选出整数：0 和 1。
四、巩固运用：
1、下列式子：①－3﹤0，②4x＋3y﹥0，③x=3，④ 12 yx ，⑤x≠5，⑥x－3﹤y＋2，
其中是不等式的有（ ）。A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个
2、有理数 a 、b 在数轴上位置如图所示，用不等式表示：
① a ＋b ____0，② a b ____0，③︱ a ︱____︱b ︱。
3、若 a ﹥b ，则下列式子一定成立的是（ ）。
A、 a ＋3﹥b ＋5 B、 a －9﹥b －9 C、－10 a ﹥－10b D、 a 2c ﹥b 2c
4、下列结论：①若 a ﹤b ，则 a 2c ﹤b 2c ；②若 a c ﹥b c ，则 a ﹥b ；③若 a ﹥b 且若 c = d ，
①
②
则 a c ﹥b d ；④若 a 2c ﹤b 2c ，则 a ﹤b 。正确的有（ ）。A、4 个 B、3 个 C、2
个 D、1 个
5、若 0﹤ a ﹤1，则下列四个不等式中正确的是（ ）。
A、 a ﹤1﹤ a
1
， B、 a ﹤ a
1
﹤1， C、 a
1
﹤ a ﹤1， D、1﹤ a
1
﹤ a 。
6、如果不等式（ a ＋1） x ﹥（ a ＋1）的解为 x ﹤1，则必须满足 a ________。
7、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。
（1）2 x －5﹥5 x －11 （2）3 x －2（1－2 x ）≥1
（3）4 x －7﹥3 x －1 （4）2（ x －6）﹤3－ x
7、解不等式组
○1
2
1x
5
1x2
4)2x(3x
○2
4
1
3
4)2(3
xx
xx
○3
52310
932
xx
xx
8、关于 x 的方程 xmx 425 的解 x 满足 2”“=”或“<”号填空）．
4．直接写出下列不等式（组）的解集：① 42 x ② 105 x ③
2
1
x
x
．
5．当 x 时，代数式 52 x 的值不大于零．
6．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为 330g 10g，表明了这罐八宝粥的净含量 x 的
范围是 ．
7．不等式 x27 >１，的正整数解是 ．
8．不等式 03 x 的最大整数解是 ．
9．不等式 x > 10a 的解集为 x <3 则 a ．
10．不等式组
1 1 02
1 0
x
x
，
． 的解为 .
二、选择题（共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）
11．不等式 2 6 0x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
12．不等式 86 x > 83 x 的解集为（ ） A． x > 2
1
B ． x <0 C． x >0
D． x < 2
1
13．不等式 2x <6 的正整数解有（ ）A ．1 个 B ．2 个 C．3 个 D．4
个
3 0 3
A．
3 0 3
B．
3 0 3
C．
3 0 3
D．
14．．已知关于 x 的不等式组
2
1
x
x
x a
，
，无解，则 a 的取值范围是（ ）
Ａ． 1a ≤ - Ｂ． 1 2a Ｃ． a≥0 Ｄ． 2a ≤
三、解答题（共 54 分）
15．解不等式（组）（4×6=24 分）
（1） 134155 xx （2） 3
12 x
6
43 x
（3）
xx
xx
423
215 （4）
)12(231
3
41
2
2
xx
xxx
16．（7 分）代数式 2
131 x
的值不大于 3
21 x
的值，求 x 的范围
17．（7 分）方程组
32
3
ayx
yx
的解为负数，求 a 的范围.
18．（8 分）某次数学测验，共 16 个选择题，评分标准为：；对一题给 6 分，错一题扣 2 分，
不答不给分．某个学生有 1 题未答，他想自己的分数不低于 70 分，他至少要对多少题？
19．（8 分）国庆节期间，电器市场火爆．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场
调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下
表：
类 别 电视机 洗衣机
进价（元/台） 1800 1500
售价（元/台） 2000 1600
计划购进电视机和洗衣机共 100 台，商店最多可筹集资金 161 800 元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利
润．（利润＝售价－进价）
