2018届二轮复习 函数与方程 学案（全国通用）
第15讲 函数与方程
题型1 函数零点个数的判断
(对应 生用书第50页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[思路分析] 函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数函数y＝f(x)与函数y＝在[－3,3]上的图象交点个数下结论．
[解析] 因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x
)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)＝在[－3,3]上的图象．由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y＝f(x)－在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.
[答案] A
【典题2】 (考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数fn(x)＝xln x－(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．
(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；
(2)讨论函数fn(x)的零点个数.
【导 号：07804105】
[解] (1)因为f1(x)＝xln x－x2，
所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，
所以f1′(1)＝1－2＝－1.
又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.
(2)令fn(x)＝0，得xln x－＝0(n∈N*，x>0)，
所以nln x－x＝0.
令g(x)＝nln x－x，则函数fn(x)的零点与函数g(x)＝nln x－x的零点相同．
因为g′(x)＝－1＝，令g′(x)＝0，得x＝n，
所以当x>n时，g′(x)<0；当0
0，
所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．
所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝nln n－n.
①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1<0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0；
②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2<2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0；
③当n≥3时，g(n)＝nln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)>n(ln e－1)＝0，
因为g(e2n)＝nln e2n－e2n<2n2－4n＝2n2－(1＋3)n<2n2－<2n2－[1＋3n＋3n(n－1)]＝－n2－1<0，且g(1)<0，
所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)＝nln x－x在区间(1，n)和(n，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为2.
综上所述，当n＝1或n＝2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n≥3且n∈N*时，函数fn(x)的零点个数为2.
[类题通法]
1.求函数零点个数的两种方法：
(1)由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；
(2)由函数的单调性及函数极值的正负 确定.
2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.
3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1．已知函数f(x)＝，则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点个数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
A [(数形结合思想)令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0有根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，即f(t)＝2t＋，如图(1)，由数形结合得t1＝0,10，所以g(x)在区间[－3,3]上是增函数，又g(－1)<0，g(0)＝1>0，所以g(x)在区间[－3,3]上有且只有1个零点x0∈(－1,0)，且x0≠－.h(x)＝cos 2x在区间[－3,3]上有4个零点：－，－，，，所以函数f(x)＝g(x)h(x)在区间[－3,3]上有5个零点．]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T2、T5、T6、T13、T14)
题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围
(对应 生用书第51页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：
①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．
②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．
③数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017·太原二模)已知f(x)＝x2ex，若函数g(x)＝f2(x)－kf(x)＋1恰有四个零点，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.
C. D．
[思路分析] f(x)＝x2ex画f(x)的图象g(x)有四个零点方程t2－kt＋1＝0在和各有1解实数k的取值范围．
[解析] (数形结合思想)f′(x)＝xex(x＋2)，令f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，令f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(－2,0)，所以f(－2)＝4e－2>0为函数f(x)的极大值，f(0)＝0为函数f(x)的极小值，故f(x)≥0，作出其函数图象如图所示．因为函数g(x)＝f2(x)－kf(x)＋1恰有四个零点，令f(x)＝t，则关于t的方程t2－kt＋1＝0有两个不相同的根，记为t1，t2，且0＋，故选D.
[答案] D
【典题2】 (考查已知方程根的个数求参数范围)已知函数f(x)＝，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
【导 号：07804106】
[思路分析] 方程f(x)＝b有三个不同的根函数f(x)与函数y＝b有三个不同的交点依据m的取值画函数f(x)的图象
求m的取值范围．
[解析] f(x)＝当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．
①当即03时，函数f(x)的图象如图(2)所示，则存在实数b满足4m－m20，则a的取值范围是( )
【导 号：07804108】
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
B [f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0；
x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．
图(1)
不符合题意，排除A、C.
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f
＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．
图(2)
不符合题意，排除D.]
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
[解] (分类讨论思想)(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a>0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)单调递增．
(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．
(ⅱ)若a>0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln a)＝1－＋ln a.
①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；
②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a＞0，
即f(－ln a)>0，故f(x)没有零点；
③当a∈(0,1)时，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0.
又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，
故f(x)在(－∞，－ln a)有一个零点．
设正整数n0满足n0＞ln，
则f(n0)＝e(ae＋a－2)－n0＞e－n0＞2－n0＞0.
由于ln＞－ln a，
因此f(x)在(－ln a，＋∞)有一个零点．
综上，a的取值范围为(0,1)．
