高考最后练习之统计与概率

高考最后练习之统计与概率

高考过一遍：统计与概率 ‎1、若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2、如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为(　　)‎ A. B．1- C．1- D．1- ‎3、已知球O是正方体ABCDA1B‎1C1D1的内切球，则在正方体ABCDA1B‎1C1D1内任取一点M，点M在球O内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4、在区间[-π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax-b2＋π2有零点的概率为(　　)‎ A．1- B．1- C．1- D．1- ‎5、通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由K2＝算得 K2＝≈7．8．‎ 附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ k ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是(　　)‎ A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎6、如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7、为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；‎ ‎②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；‎ ‎③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）.‎ A. ①③ B. ①④ ‎ C. ②③ D. ②④‎ ‎8、甲、乙、丙三名同学站成一排照相，则甲乙相邻的概率为____________．‎ ‎9、袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各 、 、 .‎ ‎10、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率为____________．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎11、某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元;未售出的产品，每盒亏损元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了 盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润.‎ ‎（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;‎ ‎（2）将表示为的函数;‎ ‎（3）根据直方图估计利润不少于元的概率.‎ 考点：1.频率分布直方图；2.对立事件的概率.‎ ‎12、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：‎ x ‎3[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2．5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4．5‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？‎ ‎(参考值3×2．5＋4×3＋5×4＋6×4．5＝66．5)‎ ‎13、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．‎ 甲班 乙班 ‎2‎ ‎9　9　1　0‎ ‎8　8　3　2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎1‎ ‎0　3　6　8　9‎ ‎2　5　8‎ ‎9‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎(2)计算甲班的样本方差；‎ ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173 cm的同学，求身高为‎176 cm的同学被抽中的概率．‎ ‎14、设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．‎ ‎(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎15、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. ‎ ‎46.6‎ ‎563[来源:学#科#网]‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中，，‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（3）已知这种产品的年利润与的关系为 ，根据（2）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎ ‎ ‎16、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．如表所示是检验员在一天内依次抽取的个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸（cm）‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸（cm）‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，‎ ‎，，其中为抽取的第个零件的尺寸，‎ ‎.‎ ‎（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）‎ 附：样本的相关系数， ‎ ‎．‎ 高考过一遍：统计与概率答案 ‎1. D解：事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，列举易知，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1-＝.故选D.‎ ‎2.D.解：P＝＝1-＝1-.故选D. ‎ ‎3.B.解：记正方体的边长为a，则所求概率为P＝＝＝.故选B.‎ ‎4.B.解：由函数f(x)＝x2＋2ax-b2＋π2有零点，‎ 可得Δ＝(‎2a)2-4(-b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2.‎ 如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|-π≤a≤π，-π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.‎ 记事件A为“函数f(x)＝x2＋2ax-b2＋π2有零点”，‎ 事件A构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，‎ 即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2-π3，‎ 故P(A)＝＝＝1-.故选B.‎ ‎5.D.解：由K2≈7．8>6．635，而P(K2≥6．635)＝0．010，故由独立性检验的意义可知，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A．‎ ‎6.D.解：记其中被污损数字为x，则甲的五次综合测评的平均成绩是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)．令90>(442＋x)，由此解得x<8，即x取0，1，2，…，7时符合要求，因此所求概率为＝.故选D.‎ ‎7.解:由茎叶图可知，甲的数据为26，28,29,31,31；乙的数据为28,29,30,31,32.‎ 所以（26+28+29+31+31）=29，（28+29+30+31+32）=30.‎ 所以<，①正确；‎ 又；‎ ‎.‎ 可得>，所以>.④正确.故选B.[来源:学。科。网]‎ ‎8.解：甲、乙、丙三名同学站成一排有以下6种不同的站法：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，甲乙相邻的有4种站法，故所求概率P＝＝.故填.‎ ‎9.解：从中任取一球，分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.由于A，B，C，D为互斥事件，根据已知得 解得 所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.‎ ‎10.解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：‎ P(A)＝＝＝＝.所以，两人能会面的概率是.故填.‎ ‎【点拨】①平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y ‎)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．而能会面的时间由≤15所对应的图中阴影部分表示．②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型．‎ ‎11. 【答案】(1);(2);(3).‎ ‎12.解：(1)散点图如下：‎ ‎(2)由系数公式可知，＝4．5，＝3．5，‎ ‎＝＝0．7，‎ ‎＝3．5－0．7×4．5＝0．35，‎ 所以线性回归方程为＝0．7x＋0．35．‎ ‎12.解：(1)散点图如下：‎ ‎(2)由系数公式可知，＝4．5，＝3．5，＝＝0．7，‎ ‎＝3．5－0．7×4．5＝0．35，所以线性回归方程为＝0．7x＋0．35．‎ ‎(3)x＝100时，＝0．7x＋0．35＝70．35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19．65吨标准煤．‎ ‎【评析】‎ 牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，，，；‎ ‎(3)代入公式求，再利用＝－求；(4)写出回归方程．‎ ‎13.解：(1)由茎叶图易知乙班平均身高高于甲班．‎ ‎(2)＝＝170，‎ 甲班的样本方差为s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57．2．‎ ‎(3)设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A．从乙班10名同学中抽取两名身高不低于‎173 cm的同学有：(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．‎ ‎∴P(A)＝＝．‎ ‎14.解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．‎ 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为 ‎(1)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，‎ ‎(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，则事件A发生的概率为P(A)＝＝.‎ ‎(2)试验的全部结果所构成的区域为.构成事件A的区 域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．如图所示．‎ 所以所求的概率为＝.‎ ‎15.解：（1）由散点图变化情况选择较为适宜.‎ ‎（2）由题意知.‎ 又一定过点，所以，‎ 所以关于的回归方程为.‎ ‎（3）（ⅰ）由（2）可知当时，，‎ ‎.‎ 所以年宣传费时，年销售量为，年利润的预报值为千元.‎ ‎（ⅱ）‎ ‎.‎ 所以当，即（千元）时，年利润的预报值最大.‎ ‎16.解：（1）因为的平均数为，‎ 所以样本的相关系数 ‎.‎ 因为，所以可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．‎ ‎（2）（i），，‎ 第个零件的尺寸为，而，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ii） 剔除离群值，即第个数据，剩下数据的平均值为 ‎，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为.‎ 因为.‎ 剔除第个数据，剩下数据的样本方差为 ‎.‎ 所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差估计值为．‎