高考文科数学复习：夯基提能作业本 (5)

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第三节　合情推理与演绎推理 A组　基础题组 ‎1.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……,则52 017的末四位数字为(　　)‎ A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125‎ ‎2.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=(　　)‎ A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)‎ ‎3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=(　　)‎ A.28 B.76 C.123 D.199‎ ‎4.给出以下数对序列:‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)(2,1)‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)‎ ‎……‎ 记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=(　　)‎ A.(m,n-m+1) B.(m-1,n-m)‎ C.(m-1,n-m+1) D.(m,n-m)‎ ‎5.已知数列{an}是正项等差数列,若cn=a‎1‎‎+2a‎2‎+3a‎3‎+…+nan‎1+2+3+…+n,则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项等比数列,类比上述结论可得(　　)‎ A.若{dn}满足dn=b‎1‎‎+2b‎2‎+3b‎3‎+…+nbn‎1+2+3+…+n,则{dn}也是等比数列 B.若{dn}满足dn=b‎1‎‎·2b‎2‎·3b‎3‎·…·nbn‎1·2·3·…·n,则{dn}也是等比数列 C.若{dn}满足dn=(b1·2b2·3b3·…·nbn‎)‎‎1‎‎1+2+3+…+n,则{dn}也是等比数列 D.若{dn}满足dn=(b1·b‎2‎‎2‎·b‎3‎‎3‎·…·bnn‎)‎‎1‎‎1+2+3+…+n,则{dn}也是等比数列 ‎6.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=‎2Sa+b+c,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=(　　)‎ A.VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ B.‎‎2VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ C.‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ D.‎‎4VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ ‎7.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,……按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.‎ 则f(4)=　　　　, f(n)=　　　　　　. ‎ ‎8.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+…+f(xn)‎n≤fx‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn.已知y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　. ‎ ‎9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:‎ ‎①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;‎ ‎②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;‎ ‎③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;‎ ‎④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;‎ ‎⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;‎ ‎(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.‎ B组　提升题组 ‎10.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是(　　)‎ 窗 口 ‎1‎ ‎2‎ 过 道 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 窗 口 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85‎ ‎11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:‎ 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…为正方形数.下列数中,既是三角形数又是正方形数的是(　　)‎ A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378‎ ‎12.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式:‎ ‎[‎1‎]+[‎2‎]+[‎3‎]=3,‎ ‎[‎4‎]+[‎5‎]+[‎6‎]+[‎7‎]+[‎8‎]=10,‎ ‎[‎9‎]+[‎10‎]+[‎11‎]+[‎12‎]+[‎13‎]+[‎14‎]+[‎15‎]=21,‎ ‎……‎ 按照此规律,第n个等式的等号右边的结果为　　　　. ‎ ‎13.设函数f(x)=xx+2‎(x>0),观察:‎ f1(x)=f(x)=xx+2‎ ,‎ f2(x)=f[f1(x)]=x‎3x+4‎,‎ f3(x)=f[f2(x)]=x‎7x+8‎,‎ f4(x)=f[f3(x)]=x‎15x+16‎,‎ ‎……‎ 根据以上事实,由归纳推理可得:‎ 当n∈N*且n≥2时, fn(x)=f[fn-1(x)]=　　　　　　. ‎ ‎14.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,……依此类推,则标签为2 0132的格点的坐标为　　　　. ‎ ‎15.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都是同一常数,那么这个数列叫“等和数列”,这个常数叫做这个数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,求:‎ ‎(1)a18的值;‎ ‎(2)该数列的前n项和Sn.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.A　55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,……,可得59与55,510与56的末四位数字相同,……,由此可归纳出5m+4k与5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的末四位数字相同,又2 017 =4×503+5,所以52 017与55的末四位数字相同,故52 017的末四位数字为3 125,故选A.‎ ‎2.D　由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).选D.‎ ‎3.C　解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C.‎ 解法二:令an=an+bn,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,……,得an+2=an+an+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.‎ ‎4.A　由前4行的特点,归纳可得:若anm=(a,b),则a=m,b=n-m+1,∴anm=(m,n-m+1).‎ ‎5.D　设等比数列{bn}的公比为q(q>0),则b1·b‎2‎‎2‎·b‎3‎‎3‎·…·bnn=b1·(b1q)2·(b1q2)3·…·(b1qn-1)n=(b1·b‎1‎‎2‎·b‎1‎‎3‎·…·b‎1‎n)(q1×2·q2×3·…·q(n-1)n)=b‎1‎‎1+2+3+…+n·q1×2+2×3+…+‎ ‎(n-1)n=b‎1‎n(n+1)‎‎2‎q‎1‎‎2‎‎+1+‎2‎‎2‎+2+…+(n-1‎)‎‎2‎+(n-1)‎=b‎1‎n(n+1)‎‎2‎qn(n+1)(n-1)‎‎3‎,‎ 所以dn=(b1·b‎2‎‎2‎·b‎3‎‎3‎·…·bnn‎)‎‎1‎‎1+2+3+…+n=b1q‎2(n-1)‎‎3‎,即{dn}也是等比数列.‎ ‎6.C　设四面体的内切球的球心为O,那么V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,∴V=‎1‎‎3‎S1R+‎1‎‎3‎S2R+‎1‎‎3‎S3R+‎1‎‎3‎S4R,可得R=‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎.故选C.‎ ‎7.答案　37;3n2-3n+1‎ 解析　因为f(1)=1, f(2)=7=1+6, f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.‎ ‎8.答案　‎‎3‎‎3‎‎2‎ 解析　由题意知,凸函数满足f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+…+f(xn)‎n≤fx‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn,‎ 又y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,∴sin A+sin B+sin C≤3sinA+B+C‎3‎=3sinπ‎3‎=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎9.解析　(1)选择②式,计算如下:‎ sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-‎1‎‎2‎sin 30°=1-‎1‎‎4‎=‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=‎3‎‎4‎.‎ 证法一:‎ sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)‎ ‎=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)‎ ‎=sin2α+‎3‎‎4‎cos2α+‎3‎‎2‎sin αcos α+‎1‎‎4‎sin2α-‎3‎‎2‎sin αcos α-‎1‎‎2‎sin2α ‎=‎3‎‎4‎sin2α+‎3‎‎4‎cos2α=‎3‎‎4‎.‎ 证法二:‎ sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)‎ ‎=‎1-cos2α‎2‎+‎1+cos(60°-2α)‎‎2‎-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)‎ ‎=‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎cos 2α+‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-‎3‎‎2‎sin αcos α-‎1‎‎2‎sin2α ‎=‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎cos 2α+‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎cos 2α+‎3‎‎4‎sin 2α-‎3‎‎4‎sin 2α-‎1‎‎4‎(1-cos 2α)=1-‎1‎‎4‎cos 2α-‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎cos 2α=‎3‎‎4‎.‎ B组　提升题组 ‎10.D　由已知图形中座位的排序规律可知,被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析选项中的4组座位号知,只有D符合条件.‎ ‎11.C　观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则a1=1,‎ a2=a1+2,‎ a3=a2+3,‎ ‎……‎ an=an-1+n.‎ ‎∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n),‎ ‎∴an=1+2+3+…+n=n(n+1)‎‎2‎,‎ 观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1 225.‎ ‎12.答案　2n2+n 解析　因为[‎1‎]+[‎2‎]+[‎3‎]=1×3,[‎4‎]+[‎5‎]+[‎6‎]+[‎7‎]+[‎8‎]=2×5,[‎9‎]+[‎10‎]+[‎11‎]+[‎12‎]+[‎13‎]+[‎14‎]+[‎15‎]=3×7,……,按照此类推,第n个等式的等号右边的结果为n(2n+1),即2n2+n.‎ ‎13.答案　‎x‎(‎2‎n-1)x+‎‎2‎n 解析　f1(x)=f(x)=xx+2‎,‎ f2(x)=f[f1(x)]=x‎3x+4‎=x‎(‎2‎‎2‎-1)x+‎‎2‎‎2‎,‎ f3(x)=f[f2(x)]=x‎7x+8‎=x‎(‎2‎‎3‎-1)x+‎‎2‎‎3‎,‎ f4(x)=f[f3(x)]=x‎15x+16‎=x‎(‎2‎‎4‎-1)x+‎‎2‎‎4‎,‎ ‎……‎ ‎∴当n≥2且n∈N*时, fn(x)=f[fn-1(x)]=x‎(‎2‎n-1)x+‎‎2‎n.‎ ‎14.答案　(1 007,1 006)‎ 解析　因为点(1,0)处标1=12,点(2,1)处标9=32,点(3,2)处标25=52,点(4,3)处标49=72,……依此类推得点(1 007,1 006)处标2 0132.‎ ‎15.解析　(1)由等和数列的定义,及数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3.‎ ‎(2)当n为偶数时,‎ Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)‎ ‎=‎2+2+…+2‎n‎2‎个2‎+‎‎3+3+…+3‎n‎2‎个3‎ ‎=‎5‎‎2‎n;‎ 当n为奇数时,‎ 若n>1,则Sn=Sn-1+an=‎5‎‎2‎(n-1)+2=‎5‎‎2‎n-‎1‎‎2‎,‎ 又S1=a1=2满足上式,‎ ‎∴当n为奇数时,Sn=‎5‎‎2‎n-‎1‎‎2‎.‎ 综上所述,Sn=‎‎5‎‎2‎n,n为偶数,‎‎5‎‎2‎n-‎1‎‎2‎,n为奇数.‎