八年级上册数学习题库
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11.1三角形的边
1、若三角形的三边长分别为3，,8，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若一个三角形的三边长之比为2：3：4，周长为36cm，则这三角形的三边长分别为 。
3、下列给出的各组线段的长度中，能组成三角形的是（ ）
A、4,5,6 B、6,8,15 C、5,7,12 D、3,7,13
4、已知三角形的两边长分别是４和７，则这个三角形的第三边长的可能是（ ）
A、12 B、11 C、8 D、3
5、已知三角形的两边长分别是２和５，第三边长是奇数，则第三边长为 cm。
6、现有四条钢线，长度分别为（单位：cm）7，6，3，2，从中取出三根连成一个三角形，这三根的长度可以为 （写出一种即可）。
7、如图1，为估计池塘边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=8米，OB=6米，则A、B间的距离不可能是（ ）
图１
Ａ
Ｂ
Ｏ
A、12米 B、10米 C、15米 D、8米
图３
Ａ
Ｈ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｇ
ＦＦ
Ｅ
4１
3
7
11
图２
8、如图2，的值可能为（ ）
A、10 B、9 C、7 D、6
9、如图３，是一个直三棱柱的表面展开图，其中AD=10,CD=2，则下列可作为长的是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
10、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为 。
11、已知一个三角形的三边长分别是，3，8，则的取值范围是 。
12、若为三边的长，化简：
A
B
M
N
13、用一条长为21cm的铁丝围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边的长是多少？
（2）能围成一个边长为5cm的等腰三角形吗？为什么？
14、如图，清湖边有A,B两个村庄，从A村到B村有两条路可走，
即A→M→B和A→N→B。试判断哪条路更短，并说明理由。Ａ
15、已知三角形三边长分别为2，,13，若为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A、2 B、3 C、5 D、13
16、现有四根木棒，长度分别为4，6，8，10，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
1、以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（ ）
D
B
C
A
A
F
B
E
H
C
D
图1
2、 如图1，若H是△ABC三条高AD、BE、CF的交点，则△HBC中BC边上的高是（ ）
图2
A
C
B
D
E
3、如图2，若BD=DE=EC，则AD是△ 的中线，AE是△ 的中线。
4、如图3，已知BD是△ABC的中线，AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A、2 B、3 C、6 D、不能确定
图3
B
C
D
A
图5
1
2
2
3
A
B
D
C
E
5、如图4，在△ABC中，BD平分∠ABC,BE是AC边上的中线，如果AC=10cm,则AE= ,∠ABD=30°,则∠ABC= .
图4
A
D
E
B
C
6、如图5，若，下列结论中错误的是（ ）
A、AD是△ABC的角平分线 B、CE是△ACD的角平分线
C、∠3=∠ACB D、CE是△ABC的角平分线
7、下面不是三角形稳定性的是（ ）
A.三角形的房架 B、自行车的三角形车架
C、长方形门框的斜位条 D、由四边形组成的伸缩门
8、如图6，AD⊥BC,垂足为D，∠BAC=∠CAD,下列说法正确的是（ ）
A.直线AD是△ABC的边BC上的高 B、线段是的边上的高
图8
A
D
B
E
C
图7
E
A
B
D
C
C、射线AC是△ABD的角平分线 D、△ABC与△ACD的的面积相等
图6
A
B
C
D
9、如图7，在△ABC中，D、E分别为BC，AD的中点，且，则为（ ）
A.2 B、1 C、 D、
10、如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AC于点E，若∠ACB=60，则∠EDC= 。
11、已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为1cm，则腰长为 。
12、等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为 。
13、张师傅家有一块三角形的花圃，如图，张师傅准备将它分成面积相等的四部分，分别种上红、黄、白、蓝四种不同颜色的花。请你设计三种不同的种植方案。
A
B
E
D
C
14、如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D、E，若BC=10，AC=8，BE=5。求AD的长。
15、如图在平面直角坐标系中，A(-1,3)，B（－3，－1）C（3，－1）。
（1）在图中画出△ABC中AC边上的中线BM，并写出点M的坐标；
C
B
A
O
1
2
3
—3
—2
—1
1
2
3
（2）在图中画出△ABC中边BC上的高AN，并写出N点的坐标。
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
16、如图所示，小强家有一个由六条钢管连接而成的钢架，为了使这一钢架稳固，他计划在钢架的内部用三根钢管连接使它不变形，请帮助小强解决这个问题（画图说明，用三种不同的方法）。
17、一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图1中方式叠放，则∠等于（ ）
Ａ
Ｂ
Ｏ
45°
30°
(图3)
45°
A、30° B、45° C、60° D、75°
C
45°
30°
(图1)
(图2)
18、将一副常规的三角尺按如图2方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
A、75° B、95° C、105° D、120°
A
B
O
C
（第20）题
19、一副三角板，如图3叠放在一起，则图中∠的度数是（ ）
A、75° B、60° C、65° D、55°
20、如图，已知∠BOC=105°,∠B=20°,∠C=35°,求∠A的度数。
21、（1）如图①，在△ABC中，∠A=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。求∠BPC的度数；
（2）如图②，若BP、CP分别为△ABC的外角∠ABC、∠ECB的平分线，且∠A=50°，求∠BPC的度数；
A
B
C
P
图①
Ｃ
E
P
D
B
A
图②
（3）如图③，若CP平分∠ACE，BP是∠ABC的平分线，∠A=50°求∠P。
E
C
B
A
P
图③
N
B
O
C
A
M
22、如图，已知射线O⊥O，点A、B为O、O上两动点，△ABO中∠A的平分线与∠ABO的外角平分线交于C，试问：∠C的度数是否随点AB的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠C的值。
21、如图，△ABC中，∠A=８０°,延长BC到D点，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A１，∠A１BC与∠A１CD的平分线相交于点A２，依次类推，∠A４BC与∠A４CD的平分线Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ａ１
相交于点A５，则∠A５的度数为多少？再画下去，∠An的度数为多少？
11.2.1三角形的内角
1、在△ABC中，若∠A=50°，B=70°则∠C等于（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
2、直角三角形中，一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数是（ ）
A.70° B.60° C.45° D.30°
3、已知∠A=37°，∠B=53°则△ABC为（ ）
A.锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、以上都有可能
4、在△ABC中，若∠A=80°∠B=∠C.则∠C的度数为（ ）
A.10° B.30° C.50° D.80°
5、如图，在△ABC中，∠A=80°∠B=40°DE分别是AB，AC上的点，且DE//BC，则
∠AED的度数是（ ）
E
B
G
H
F
A
1
2
(第6题图)
80°
A
D
E
B
C
40°
(第5题)图
A.40° B.60° C.80° D.120°
6、如图，EF⊥AB，若∠1=45°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠1>∠2 D.无法确定
7、在△ABC中，∠A与∠B互余，则∠C的大小为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
8.如图，直线，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为（ ）
A
B
E
D
C
(第9题图)
A.50° B.55° C.60° D.65°
1
2
3
(第8题图)
9.如图，在△ABC中，∠B=46，∠ADE=40，AD平分∠BAC，交BC于D，DE//AB，交AC于E，则∠C的大小是（ ）
A.46° B.66° C.54° D.80°
A
B
C
D
E
(第11题图)
A
B
D
E
C
(第12题图)
10.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（ ）
A.60° B.75° C.90° D.105°
1
2
(第10题图)
11.如图，BC⊥AE垂足为C，过C作CD//AB，若∠ECD=50°，则∠B= 度。
12.如图，在△ABC中，∠B=36°,∠C=76°，AD是角平分线，AE是高，则∠DAE= 。
13.三角形的三个内角的比为1:3:5，那么这个三角形的最大内角的度数为 。
A
D
B
C
E
1
(第14题图)
14.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1= 。
B
C
E
北
北
D
A
15.如图是A、B、C三个岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东65°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。
（1）求C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数；
（2）聪明的刘凯同学发现解决第（1）问，可以不
用“B岛在A岛的北偏东65°方向”这个条件，你能求吗？
A
A
A
A
A
A
1
2
16.如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，交BD于点F，∠ABC=90°。求证：∠BEF=∠BFE。
A
B
D
C
F
E
17.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，求∠EDF的度数。
18.如图①，线段ABCD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图①的图形称之为“８字形”。如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
（1）在图①中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
A
D
O
C
B
P
M
N
A
D
O
C
B
（2）应用（1）的结果，猜想∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系并予以证明。
11.2.2三角形的外角
1、 如图，已知∠A=33°，∠B=75°点D在直线AC上，则∠BCD= 。
C
B
A
D
(第1题图)
C
A
E
B
D
1
(第2题图)
2、如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=6°0，∠C=50°，∠D=25°，则∠1= .
A
A2
A1
D
C
B
(第5题图)
3、如图， 。
40°
110°
(第3题图)
4、直线1//2，一块含45°角的直角三角板如图放置，若∠1=85°，则∠2= 。
5、如图，在ABC中，∠A=。∠ABC与∠ACD的平分线将于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2013BC与∠A2013CD的平分线相交于点A2014，得∠A2014；则∠A2014的度数为 。
A
C
B
2
1
B
E
F
C
A
D
1
2
3
(第6题图)
6、如图，射线AD，BE,CF构成∠1，∠2，∠3则∠1+∠2+∠3等于（ ）
K
O
100°
70°
B
A
D
C
E
7、如图，平面上直线，分别过线段OK两端点（数据如图），则相交所成的锐角是（ ）
A.20° B.30° C.70° D.80°
8、如图，AB//CD，∠A=45°,∠C=28°,则∠AEC的大小为（ ）
A.17° B.62° C.63° D.73°
9、如图所示，∠A,∠1,∠2的大小关系是（ ）
A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
10、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC=70°,BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A.85° B.80° C.75° D.70°
11、如图，已知AB//CD，则（ ）
(第12题图)
B
C
D
A
E
C
D
A
B
(第10题图)
(第11题图)
4
2
1
C
B
A
D
3
(第13题图)
D
F
C
E
A
B
A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=2∠2+∠3 C.∠1=2∠2—∠3 D.∠1=180°—∠2—∠3
12、如图所示，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，那么∠ACD等于（ ）
A.105° B.85° C.60° D.95°
13、如图，AB//CD,∠ABE=80°，∠D=50°，则∠E的度数为（ ）
(第14题图)
3
4
A
E
C
D
B
1
2
A.25° B.30° C.40° D.65°
14、 如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°,∠2=∠3,BE平分∠ABC。
求∠4的度数。
15、已知如图，△ABC中，点D在BC上，且∠1=∠C，∠2=2∠3，∠BAC=70°。
（1）求∠2的度数；
（2）若画∠DAC的平分线AE交BC于点E，则AE与BC有什么位置关系？请说明理由。
16、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是35°和32°，检B
A
C
D
查工人量得∠BDC=162°，就判定这个零件不合格，
这是为什么呢？主你帮助检验工人予以解释。
70°
B
D
P
E
C
A
17、如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的外角的平分线交于点P。
（1）若∠ABC=50°，∠A=70°，求∠P的度数；
（2）若∠A=68°，求∠P的度数；
（3）根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系。
11.3.1多边形
1、一个正多边形的周长是100，边长为10，则正多边形的边数 。
2、如图所示，将多边形分割成三角形，图（1）中可分割出2个三角形，图（2）中可分割出个3三角形，图（3）可分割出4个三角形，…，由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形。
3、从一个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成7个三角形，则的值是（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
4、五边形一共有对角线（ ）
A、5 B、6 C、7 D、
5、四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（ ）
A、四边形的边长 B、四边形的周长 C、对角线的条数 D、四边形内角的大小
6、小学学过的下列图形中不可能是正多边形的是（ ）
A、三角形 B、正方形 C、四边形 D、梯形
7、下列说法不正确的是（ ）
A、各边都相等的多边形是正多边形 B、正多边形的各边都相等
C、正三角形的各边都相等 D、各内角相等的多边形不一定是正多边形
8、 如图，所边长为的正三角形纸板剪去三个小正三角形，
得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为（ ）
9、下列属于正多边形的特征的有（ ）
（1） 各边相等；（2）各个内角相等；（3）各个外角相等；
（2） （4）各条对角线都相等；（5）从一个顶点引出的对角线将正边形分成面积相等的个三角形。
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
10、下列选项中，四边形一定具有的性质是（ ）
A、对边平行 B、轴对称性 C、稳定性 D、不稳定性
11、一个多边形共有条对角线，则这个多边形的边（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
12、把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A、16 B、17 C、18 D、19
13、若一个多的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，求此多边形的边数。
14、已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个我边形的各边之长。
15、已知线段AC=8，BD=6。
（1）已知线段AC垂直于线段BD。设图①，图②中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2，则S1= ，S2= ；
（2）如图③，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
图②
C
D
B
A
O
4
4
C
D
O
A
B
图①
3
5
C
D
A
O
B
图④
（3）如图④，当线段DB的延长线与AC垂直相交时，猜想顺次连接点A,B,C,D,A，所围成的封闭图形的面积是多少？
图③
O
B
C
D
A
A
11.3.2多边形的内角和
1、五边形的内角和是（ ）
A、180° B、360° C、540° D、600°
2、在一个四边形中，若三个内角分别是25°,86°,170°，则第四个内角的度数为（ ）
A、79° B、69° C、89° D、119°
3、七边形的外角和为（ ）
A、180° B、360° C、900° D、1260°
4、如果一个多边形的内角和等于1260°，那么这个多边形的边数为（ ）
A、7 B、8 C、 9 D、10
5、在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比为2：3：4：3，则∠D等于（ ）
第６题图
A、60° B、75° C、90° D、120°
6、 如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内
角的度数是（ ）
A、240° B、120° C、60° D、30°
7、若一个正多边形的每一个外角都为30° ，那么这个正多边形的边数是（ ）
A、6 B、 8 C、10 D、12
8、一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A、180 B、 C、 D、
9、下列角度不能成为多边形内角和的是（ ）
A、540° B、280° C、1800° D、900°
10、将一个n边形变成n+1边形，内角和将（ ）
A、180° B、90° C、180° D、360°
11、 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，
得到一个内角和为2340° 的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A、13 B、14 C、15 D、16
12、 如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形ABCDE，
A
D
C
E
B
1
3
2
4
第13题图
A
E
D
C
B
第１２题图
则图中∠ABC的度数是 度。
1
13、如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=
第６题图
120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= 。
14、一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 。
15、如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠等于 度。
16、一个边形，除了一个内角外，其余()个内角和为2770° ，则这个内角是 度。
17、一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和。
18、如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，∠ADC=60°。求证：BC//AD//EF。
40°
40°
40°
19、如图所示，小强从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转，40°,照这样下去，他第一次回到出发点A时：
（1）整个行走路线是什么图形？
（2）一共走了多少米？
20、四边形ABCD中，∠A=140°,∠D=80°。
40°
（1）如图①，∠B=∠C，试求出∠C的度数
（2）如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE//AD，试求出∠C的度数；
（3）如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数。
B
D
C
A
E
A
A
A
A
C
E
D
A
B
4
7
6
5
2
1
3
21、如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数。
12.1
1、与下左图所示图形全等的是 。
④
③
②
①
①
2、下列图形中是全等图形的有（ ）
A、4对 B、3对 C、2对 D、1对
C
D
A
B
3、如图△ABC≌△BAD，AC的对应点分别是B、D，若AB=9,BC=12，AC=7，则等于（ ）
A
C
B
D
A、7 B、 9 C、12 D、
A
4、已知△ABC≌△DEF，且∠A=55°，∠E=45°，则∠C等于（ ）
A、 55° B、45° C、80° D、90°
5、下列叙述中错误的是（ ）
A、能够完全重合的图形称为全等图形 B、全等图形的形状和大小相同
C、所有正方形都是全等图形 D、形状和大小都相同的两个图形是全等图形
6、如图，△ABC≌△CDA并且AB=CD，那么下列结论错误的是（ ）
E
A
B
C
D
D
E
A
B
C′
C
F
A、 ∠1=∠2 B、AC=CA C、∠D=∠B D、AC=BC
A
B
C
D
7、如图，将长方形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，抓痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC´F的周长之和为（ ）
A、3 B、4 C、6 D、8
8、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE。若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）
A、60° B、75° C、85° D、90°
9、如果△ABC≌△ADC,AB=AD,∠B=70,BC=3cm，那么∠D= ，DC= cm 。
10、如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到△A´B´C´，则△ABC △A´B´C´，图中∠A与 ，∠B与 ,∠ACB与 是对应角。
11、如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌ ，AB的对应边是 ，∠BCA的对应角是 。
12、如图，△ABC≌△COD在平面直角坐标系中，则点D的坐标是 。
13、如图，△ABC中，A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处。如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为 。
B
D
F
A
E
C
14、如图所示，△ADF≌△CBE且点E，B，D，F，在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并加以说明。
D
A
B
O
C
15、如图，△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数。
③
②
①
16、如图，在所给方格纸中，每个小正方形的边长都是，标号为的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲，图乙的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为的三个三角形分别对应全等。
（1）图甲中是格点正方形；
（2）图乙中是格点平行四边形；
注：较长甲图乙的分割线画成实线。
图乙
图甲
12.2三角形全等的判定（边边边）
1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，O为对角线AC、BD的交点，且AO=CO，BO=DO，则与△AOD全等的是（ ）
A、 △ABC B、△ADC C、△BCD D、△COB
2、如图，在△ACE和△BDF中，AE=BF,CE=DF,要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF时，需增加的一个条件是（ ）
A、AB=BC B、DC=BC C、AB=CD D、以上都不正确
3、如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，A=60°，∠E=30°，则∠C的度数为（ ）
A、30° B、45° C、60° D、90
4、 如图，已知AB=AD，CB=CD,若∠BAD=124°，则∠BAC的度数为（ ）
A、34° B、56° C、62° D、124°
5、如图，已知AE=AD，AB=AC,EC=DB,下列结论：①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E。其中错误的是（ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、④
6、如图，在ABC和BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F。若AC=BD，AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于（ ）
A、∠EDB B、∠BED C、∠AFB D、2∠ABF
A
C
B
E
D
第９题
1
2
第８题
A
B
D
C
7、我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢（其中AE=AF,DE=DF），△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动。△AED≌△AFD的理由是 。
8、如图，AD=CB，AB=CD，∠A=60°则∠C的度数为 。
第11题
B
A
D
E
C
9、已知：如图AB=AC，BD=CE，AD=AE，若∠1=30°，则∠2= 。
(第12题)
A
B
C
11、如图，在ABC中，AB=AC，D、E两点在BC上，且AD=AE，BD=CE。若∠BAD=30°，∠DAE=50°，则∠BAC的度数为 。
C
D
B
A
12、在如图所示的6×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与∠ABC有一条公共边BC且全等的所有格点三角形的个数是 个。
13、已知：如图，在△ABC中，点D为BC的中点。求证：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC。
B
A
D
E
C
3
2
1
14、如图，已知AB=AC，点D在BE上，且AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1+∠2。
D
F
C
O
B
E
A
15、如图，在平面直角坐标系中，A（-1,3），B（-3，-2），C（3，-2），D（5,3），AB=CD，点E、F分别在AB、CD上，试判断∠BEF和∠DFE的大小关系并说明理由（提示：连接BD，先证明AB//CD）。
边角边
1、如图，AB=CB，DB=EB，要证明△ABE≌△CBD，需要补充的条件是（ ）
（第3题）
B
A
O
C
D
A、∠D=∠E B、∠E=∠C C、∠1=∠2 D、∠A=∠C
D
A
C
E
B
（第1题）
2、可以保证△ABC≌△的条件是（ ）
A、AB=， AC=， B、
C、 D、
3、如图，小强同学把两根等长的木条、的中点连在一起，做成一个测量某物品内槽宽的工具，此时的长等于内槽的宽，这种测量方法用到三角形全等的判定方法是（ ）
A、SAS B、ASA C、SSS D、HL
4、如图所示，已知∠1=∠2，AB=AD，AE=AC，若∠B=20°，则∠D的度数为（ ）
A、20° B、30° C、40° D、无法确定
5、如图，AO是∠BAC和∠DAE的平分线，AD=AE，AB=AC，则线段BD和CE的大小关系是（ ）
E
F
B
A
D
C
（第6题）
（第4题）
A
E
C
B
D
D
O
E
A
B
C
（第5题）
A、BD>CE B、BD=CE C、BD
PD B、PC=PD C、PCBA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°。
B
A
D
C
P
M
A
B
D
O
C
17、如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由。
角平分线的判定
一、填空题
第3题
D
C
P
B
A
第4题
A
A
A
A
A
A
第2题
A
C
O
D
B
Q
第1题
B
O
D
C
P
A
1、如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝3cm，当PD＝ 时，P点在∠AOB的平分线上。
2、如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ＝ °。
3、如图，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是PA上一点，则∠ABD和∠ACD的大小关系是 。
4、如图，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，AB＝BC，则CD AD（填“>”、“<”或“＝”）。
第5题
B
P
5、如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP。他这样做的依据是（ ）
A、在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B、角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
D、垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
6、如图，△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（ ）
A、AF平分BC B、AF平分BAC C、AF⊥BC D、以上结论都正确
B
C
O
D
E
A
7、如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BO＝CO，求证：AO平分∠BAC。
巩固提升
一、填空题
第3题
A
A
A
A
A
A
A
1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，M是AB上一点，MN⊥AC于点N，且MB＝MN，若∠A＝40°，则∠BMC的度数为（ ）
第1题
C
A
N
M
B
M
N
P
B
O
A
C
第2题
A、20° B、25° C、40° D、65°
2、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为（ ）
A、50° B、55° C、60° D、80°
3、如图，在△ABC中，P是BC上一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，且PD＝PE，F是AC上一点，且∠APF＝∠PAF。下列结论：AD＝AE；PF//AB；△PEF≌△PEC。其中正确的是（ ）
A、①②③ B、只有①② C、只有①③ D、只有①
二、填空题
第5题
B
C
E
A
F
O
D
4、如图AB//CD若点P到AB、BC、CD的距离都相等，则∠P＝ 。
第6题
第4题
A
C
D
P
B
5、如图，O是△ABC内的一点，且O到△ABC的三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠A＝70°，则∠BOC＝ 。
6直线、、表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有 处。
三、解答题
F
E
C
D
B
A
7、如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC。求证：AD平分∠BAC。
C
B
A
O
D
8、如图，四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC。
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD＝AC。
B
F
C
D
E
A
7、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF。
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）猜想写出AB+AC与AE之间的等量关系并给予证明。
本章热点专练
一、全等三角形的性质与判定
1、如图所示，AB＝CD，∠ABD=∠CDB，则图中全等三角形共有（ ）
A、5对 B、4对 C、3对 D、2对
2、利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A、已知两边及夹角 B、已知两角及夹边
C
A
D
B
第3题
第4题
E
C
D
A
B
C、已知两边及一边的对角 D、已知三边
D
A
O
B
C
第1题
3、如图，已知AB＝CD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
第5题
B
E
A
D
G
F
M
C
4、如图，△ABC≌△DCB,AC与BD相交于点E，若∠A＝∠D＝80°，∠ABC＝60°，则∠BEC等于 。
5、如图，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，AF⊥CE，
AG⊥BD，垂足分别为F、G，AF＝AG，下列结论：①∠B＝∠C；
②AD＝AE；③∠EAF＝∠DAG；④BE＝CD。其中正确的结论
是 （填序号）。
6、如图，已知点A、F、E、C在同一条直线上，AB//CD,∠ABE＝∠CDF，AF＝CE。
D
B
C
E
F
A
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明。
E
B
D
A
C
7、如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB。
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，
求证：DA＝DE。
O
A
B
P
图②
图①
O
B
P
A
8、如图①，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（3，3）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。
（1）求OA+OB的值；
（2）如图②，将直角三角形绕点P逆时针旋转，
两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA—OB的值。
二、有关角平分线的证明和计算
9、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（ ）
A、 B、2 C、3 D、
第11题
B
P
A
C
O
D
10、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A、3 B、4 C、3 D、5
B
D
E
A
C
第10题
·
第9题
Q
O
MM
P
A
N
第12题
B
A
D
C
11、如图，AD是一个风筝骨架。为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP。我们已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足 ，才能保证OP为
∠AOB的平分线。
12、如图，在△ABC中，A＝90°，BD平分ABC，AD＝2，
AB+BC＝8，S△ABC＝ 。
B
E
D
F
C
A
13、如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE＝DF。
G
E
B
D
F
C
A
14、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
（1）求证：BE＝CF；
第4题
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长。
D
E
C
B
A
15、某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水就测得河的宽度，他们是这样做的：如图，在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；沿河岸直走步有一树，继续前行步到达处；从处沿河岸垂直的方向行走，当到树正好被树遮挡住的处停止行走；测得的长就是河宽。请你证明他们做法的正确性。
16、课间，小强拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示。
（1）求证：△ADC≌△CEB；
D
C
E
B
A
A
（2）从三角板的刻度可知DE＝35cm，请你帮小强求出砌墙砖块的厚度α的大小（每块砖的厚度相等）。
13.1线段的垂直平分线的性质和判定
1、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A
P
B
D
C
第1题
D
B
A
C
第2题
M
A
B
C
第3题
A、6 B、5 C、4 D、3
2、已知：如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°。其中正确的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
3、如图，已知线段AB、BC的垂直平分线，，交于点M，则线段AM、CM的大小关系是（ ）
A、AM>CM B、AMh B、dn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块开状和大小都一样的小长方形，然后按图那样
拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A、2mn B、
C、 D、
6、若，则的值为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
三、解答题
7、计算下列各题：
（1）
（2）
8、实数满足，求代数式的值。
9、已知，求：
（1）的值；
（2）的值。
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
……
10、（创新题）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》
中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整
数）展开式的项数及各项系数的有关规律。例如：，
它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式共有 项，系数和分别为 ；
（2）写出的展开式：= ；
（3）的展开式共有 项，系数和为 。
１４、 ３因式分解
１４. ３.１提公因式法
知识点一 因式分解的概念
1、下列式子变形是因式分解的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若分解因式的结果为，则的值为（ ）
A、2 B、3 C、—2 D、—3
知识点二 运用提公因式法分解因式
3、多项式中各项的公因式是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列多项式中，能用提取公因式法因式分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、将提公因式后，另一个因式是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、把多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、分解因式：
（1）= ；
（2） 。
8、分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
巩固提升
一、选择题
1、将分解因式，应提取的公因式是（ ）
A、 B、 C、 D、它们没有公因式
2、把多项式分解因式的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、因式分解后的结果是（ ）
A、 B、 -2 C、 D、-1
二、填空题
4、计算： 。
5、（1）若，则 ；
（2）已知，则 。
三、解答题
6、分解因式：
（1）
（2）
（3）
7、已知可因式分解成，其中、、均为整数，求的值。
8、将进行因式分解，并求当时此式的值。
9、（创新题）阅读下列因式分解的过程，现回答所提出的问题：
分解因式：
解：原式＝
=
=
=
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）将分解因式，需应用上述方法 次，结果是 ；
（3）分解因式：（为正整数）。
14.3.2公式法
第１课时 平方差公式
知识点一 运用平方差公式分解因式
1、下列能用平方差公式因式分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、将分解因式正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、分解因式：
（1）= ；
（2） ；
（3） 。
4、因式分解：
（1）
（2）
（3）
知识点二 运用提公因式和公式法（平方差公式）分解因式
5、把代数式分解因式结果正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、因式分解：
（1） ；
（2）= 。
7、分解因式：
（1）
（2）
（3）
知识点三 平方差公式的应用
8、计算：= （ ）
A、70 B、700 C、4900 D、7000
9、某工地修建供暖设施，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径，外径，每节长。求浇制一节这样的管道需要多少立方米混凝土（取3.14，结果保留两个效数字）。
提升巩固
一、选择题
1、分解因式，结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若，且，则的值为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
3、将因式分解后得，那么等于（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
4、将分解因式，结果正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
5、若为任意整数，且的值总可以被整数整除，则的值为 。
6、小强在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是（“◇”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果是 。
三、填空题
7、利用因式分解进行计算：
（1）
（2）
8、因式分解：
（1）
（2）
9、王大伯家有一块边长为米的正方形土地租给了邻居李大妈。今年王大伯跟李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了。你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
10、著名数学家教育Ｇ·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要。”这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题。探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛。观察下列版式：
第1个式子：
第2个式子：
第3个式子：
… …
按照上述规律，解答下列问题：
（1）写出第4个式子；
（2）写出第个式子，并利用你所学的知识证明所写的式子是正确的。
第２课时 完全平方公式
知识点一 完全平方式
1、若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是（ ）
A、4 B、—4 C、±8 D、±4
2、下列二次三项式是完全平方式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
知识点二 运用完全平方公式分解因式
4、把分解因式，结果正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、若，则的值是（ ）
A、16 B、8 C、4 D、2
6、分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
7、利用1个的正方形，1个的正方形和2个的长方形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 。
8、分解因式：
（1）
（2）
（3）
9、已知，求的值。
巩固提升
一、选择题
1、下列因式分解中：①；②；③。正确的个数为（ ）
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
2、因式分解的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、多项式加上一个数或单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的数或单项式可以从：①；②；③中选取（ ）
A、①②③ B、①③ C、②③ D、①②③
二、填空题
4、计算：
（1） ；
（2） 。
5、分解因式：
（1） ；
（2）。
三、解答题
6、分解因式：
（1）
（2）
（3）
7、已知，求的值。
8、若与 互为相反数，把多项式因式分解。
9、 （创新题）先阅读下面的内容，再解决问题。
例题：若，求和的值。
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（1）问题：若，求的值；
（2）应用：已知△ABC的三边长都是正整数，且满足，请问△ABC是什么样的三角形？
（3）拓展：求代数式的最小值。
综合练习（三）整式的乘法与因式分解
一、选择题
1、下列运算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若，则的值是（ ）
A、 1 B、1 C、2 D、3
4、下列多项式能因式分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知，则=（ ）
A、4 B、3 C、12 D、1
6、若是完全平方式，则的值是（ ）
A、-1 B、7 C、 -1或7 D、1或5
7、多项式因式分解的结果正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、已知，则多项式的值为（ ）
A、 0 B、1 C、2 D、3
二、填空题
9、计算： 。
10、化简： 。
11、分解因式： 。
12、分解因式： 。
13、如果，那么 。
14、已知，则 。
三、解答题
15、计算：
（1）
（2）
（3）
16、分解因式：
（1）
（2）
（3）
17、化简求值：
（1），其中；
（2）已知，求代数式的值。
18、如图，在一块边长为的正方形纸板四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当时，剩余部分的面积。
19、若，求下列各式的值：
（1） （2）
20、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：4，因此4,12,20三个数都是神秘数。
（1）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？
（2）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
本章热点专练
热点一 幂的运算
1、下列运算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果，则、的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、计算：
（1） ; （2） ;
（3） ; （4） ;
（5） .
4、阅读材料：
求的值。
解：设，将等式两边同时乘以2得，
，
将下式减去上式得，
即，
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）（其中为正整数）。
热点二 整式的运算
5、计算：（ ）
A、 B、 C、 D、
6、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、下列计算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、计算：
（1） ;
（2） ;
（3） .
9、计算：
（1）
（2）
（3）
10、用简便方法计算：
（1）185×215 （2）997×1003
热点三 有关整式运算的化简求值
11、已知，则的值是（ ）
A、-2 B、0 C、2 D、4
12、若，则= 。
13、已知，则代数式的值是 。
14、先化简，再求值：
其中。
15、先化简，再求值：
,其中。
16、已知多项式A=。
（1）化简多项式A；
（2）若，求A的值。
热点四 因式分解及其应用
17、将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A. B. C. D.
18、分解因式结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
19、分解因式：
（1） .
（2） .
20、若，则代数式的值为 。
21、如图，边长为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为 。
22、因式分解：
（1） （2）
23、若△ABC的三边长为、、，且满足，试判断△ABC的形状。
15.1分式
１５. １.１从分数到分式
知识点一 分式的概念
1、下列式子是分式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、面积为4平方米的长方形的一边长米，则另一边长为（ ）
A、米 B、米 C、米 D、8米
3、指出下列各式，哪些是整式？哪些是分式？
知识点二 分式有意义的条件
4、使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、使分式无意义的的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、（1）当满足条件 ，分式有意义；
（2）当 时，分式没有意义。
知识点三 分式的值为零的条件
7、已知分式的值为0，则的值为（ ）
A、2 B、-2 C、3 D、-3
8、（1）若分式的值为零，则的值是 。
（2）当分式的值为零，那么的值是 。
巩固提升
一、 选择题
1、下列各式：，其中分式共有（ ）
A、1个 B、2 个 C、3个 D、4个
2、如果分式的值为零，那么的值为（ ）
A、-1或 1 B、 1 C、 -1 D、1或0
3、分式有意义的条件是（ ）
A、 B、 C、或 D、且
4、下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A、当时，的值为零 B、当时，有意义
C、无论为何值，不可能得整数值 D、 无论为何值，的值总为正数
二、填空题
5、（1）已知分式，当时，分式无意义，则 ；
（2）当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零。
6、若分式的值为正数，则的取值范围是 。
三、解答题
7、下列分式中，取何值时，分式有意义？
（1） （2） （3）
8、已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零。求分式的值。
9、如果不论为何实数，分式总有意义，试求的取值范围。
15.1.2分式的基本性质
知识点一 分式的基本性质
1、分式可变形为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列等式中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、使等式成立的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、不改变分式的值，使分式的分子、分母中不含负号：
（1） ; （2） .
知识点二 分式的约分
5、计算的结果是 （ ）
A、 B、 C、1 D、
6、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、化简得 ；当时，原式的值为 。
知识点三 分式的通分
8、分式的最简公分母是 。
9、下列三个分式、、的最简公分母是 （ ）
A、 B、 C、 D、
10、把通分的过程中，不正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
巩固提升
一、选择题
1、若分式中的、的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A、是原来的3倍 B、不变 C、是原来的 D、不能确定
2、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、分式， ，的最简公分母是（ ）
A、 B、
C、 D、
一、 填空题
4、化简：（1） ； （2） 。
5、分式，，的最简公分母是 。
6、在下列空格处填上适当的式子。
（1）；
（2）
（3）
（4）.
三、解答题
7、把下列分式通分：
（1）
（2）
8、先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中。
9、从三个代数式：①，②，③中任选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当时该分式的值。
10、（创新题）不改变分式的值，把分式中分子、分母的各项系数化为整数，然后选择一个你喜欢的数代入求值。
１５.２分式的运算
１５.２.１分式的乘除
第１课时 分式的乘除
知识点一 分式的乘法
1、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、计算：
（1） ;
（2） ;
（3） .
4、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、计算：
（1） ;
（2） ;
（3） .
7、计算：
（1）；
（2）。
巩固提升
一、选择题
1、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、当时，的值为（ ）
A、-1 B、1 C、 -3 D、
3、下面是小红做的四道计算题：①；②；③；④。其中做对的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、如图，设，则有（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
5、计算：（1） ；
（2） ；
6、计算： 。
三、解答题
7、计算：
（1）
（2）
8、已知，求代数式的值。
9、有甲、乙两筐水果，甲筐水果重为，乙筐水果重为（其中
），售完后，两筐水果都卖了120元。
（1）哪筐水果卖的单价高？
（2）高的单价是低的单价的多少倍？
10、（创新题）章老师在讲完“分式的乘除”后，给同学们出了这样一道题：“若，求代数式的值”。同学们都做了起来，一会儿，赵熙说：“老师，这道题中的条件是多余的。”赵熙的说法正确吗？为什么？
第２课时 分式的乘方
知识点一 分式的乘方
1、计算： 。
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列运算中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
知识点二 分式的乘、除、乘方混合运算
4、化简的结果为（ ）
A、1 B、 C、 D、
5、化简的结果是（ ）
A、-1 B、 C、 D、
6、化简，其结果是（ ）
A、-2 B、2 C、 D、
7、化简：
（1） ；
（2） 。
8、计算：
（1）
（2）
（3）
巩固提升
一、选择题
1、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、都不对
3、计算的结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
4、若，则 ；
5、计算：
（1） ；
（2） 。
三、解答题
6、计算：
（1）
（2）
7、先化简，再求值：
（1），其中；
（2）先化简，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的的值代入求值。
8、有这样的一道题：“计算的值，其中。”小强同学抄题时，把“”错抄成“”，但他的计算也是正确的，请你说说这是怎么回事。
9、阅读下面的解题过程：
已知：，求的值。
解：由知，所以，即。所以。故的值为。
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知：，求的值。
１５. ２.２分式的加减
第１课时 分式的加减
知识点一 同分母的分式的加减运算
1、计算：
（1） ;
（2）
;
（3） .
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、1 D、-1
3、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、-1
4、计算：。
知识点二 异分母分式的加减运算
5、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、若，则的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、
7、化简：
（1） ;
（2） ;
（3） .
8、计算：
（1）
（2）
巩固提升
一、 选择题
1、计算的结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、化简分式的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知：，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
4、已知，则 。
5、若是恒等式，则A= ，B= 。
6、若，…,则 。
三、解答题
7、先化简，再求值：，其中。
8、描述证明：海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
表示两个正数，并分别作为分子、分母，得到两个分式，如果这两个分式的和比这两个正数的积小２，那么这两个正数的和等于这两个正数
的积。
现象描述
已知，
如果 ，
那么 。
（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；
（2）请你证明海宝发现的这个有趣的现象。
9、观察下列各式：；
；
；…
（1）你归纳出的一般结论是 ；
（2）利用上述结论计算：。
第２课时 分式的混合运算
知识点一 分式的混合运算
1、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、化简的结果是（ ）
A、2 B、 C、 D、
4、化简分式的结果是（ ）
A、 2 B、 C、 D、-2
5、若，则的值为（ ）
A、 2013 B、0 C、1 D、2
6、化简：
（1） ;
（2） ;
（3） .
7、计算：
（1）
（2）
（3）
8、先化简，再求值：,其中。
巩固提升
一、选择题
1、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、化简的结果是（ ）
A、-4 B、4 C、 D、
4、若，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
5、如果实数满足方程组，那么代数式的值为 。
6、有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
输入
第3次
第2次
第1次
…
则第次运算的结果 （用含字母和的代数式表示）。
7、先化简，再求值：
,其中。
8、先化简，再求值：,其中是不等式组的整数解。
9、（创新题）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作。甲队有一半时间每天维修公路千米，另一半时间每天维修公路千米。乙队维修前1千米公路时，每天维修
千米，维修后1千米公路时，每天维修千米（）。
（）求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含、的代数式表示）；
（）甲、乙两队谁先完成任务？为什么？
专题（三）分式的运算和化简求值
一、分式的运算
（一）按分式运算法则和运算顺序进行运算
1、计算的结果是（ ）
A、2 B、0 C、 D、
2、化简：的结果为 .
3、化简：。
（二）按先约分，再计算。
4、计算的正确结果为（ ）
A、 B、1 C、 2 D、
5、化简的结果为 。
6、化简：。
（三） 分步通分计算
7、计算：。
（四）分组计算
8、计算：。
（五）求分式运算中字母的值
9、已知，求的值。
二、化简求值
（一）直接给出字母的值
10、当时，的值为（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
11、当时，代数式的值为 。
12、先化简，再求值：
, 其中。
13、先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的值，代入求值。
（二） 由方程（或不等式）得出字母的值（或取值范围）
14、已知：与互为相反数，则式子的值等于 。
15、先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值。
（三） 将含字母的等式整体代入求值
16、若，且，则的值为 。
17、已知：，则的值为（ ）
A、 B、1 C、 -1 D、-5
18、先化简，再求值：，其中满足。
19、已知，求代数式的值。
15.2.3整数指数幂
知识点一 负整数指数幂
1、计算的结果是（ ）
A、-8 B、-6 C、 D、
2、下列各式计算中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、计算的结果为（ ）
A、-1 B、-3 C、1 D、0
5、计算：
（1）
（2）
（3）
知识点二 用科学记数法表示小于１的正数
6、2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.00010千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、某种细胞的直径是毫米，即（ ）
A、0.05毫米 B、0.005毫米 C、0.0005毫米 D、0.00005毫米
8、钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成其中最大的岛屿是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里。请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为 平方公里。
9、用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00001 （2）0.0000021
（3）0.0001005 （4）0.000000301
巩固提升
一、 选择题
1、计算的结果是（ ）
A、2 B、-2 C、-6 D、-10
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、某种冠状病毒直径是1.2米，1米＝纳米，则这种冠状病毒的直径为（ ）
A、1.2纳米 B、12纳米 C、120纳米 D、1200纳米
4、已知，则等于（ ）
A、-4 B、-5 C、-6 D、-7
二、填空题
5、计算的结果是 。
6、若，则用“<”连接 。
7、已知，则 。
三、解答题
8、计算（结果用科学记数法表示）：
（1） （2）
9、计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1） （2）
10、有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜。”据测算，5万粒芝麻才200g，你能换算出１粒芝麻有多少克吗（结果用科学记数法表示）？
11、（创新题）对实数，定义运算如下：
例如：。
计算：。
25.3分式方程
第１课时 分式方程及其解法
知识点一 分式方程的概念
1、下列关于、的方程：；；；，其中是分式方程的有（ ）
A、1个 B、2 个 C、3个 D、4个
知识点二 解分式方程
2、分式方程的解是（ ）
A、 B、 C、 D、或
3、将分式方程去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、（1）方程的解是 ；
（2）若代数式的值为零，则 。
5、解下列方程：
（1） （2）
知识点三 分式方程的增根
6、若关于的分式方程有增根，则增根为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若解分式方程产生增根，则的值为 。
8、若关于的方程有增根，求的值。
巩固提升
1、分式方程的解为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若关于的方程的解为，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知点P关于轴的对称点在第一象限内，且为整数，则关于的分式方程的解是（ ）
A、5 B、1 C、3 D、不能确定
二、填空题
4、对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为 。
5、若关于的方程无解，则的值为 。
6、关于的方程的解是正数，则的取值范围是 。
三、解答题
7、解方程
（1） （2）
8、是否存在实数，使得代数式与代数式的值相等？
9、如果关于的方程的解也是不等式组的一个解，求的取值范围。
10、解方程：
①的解 ；
②的解 ；
③的解 ；
④的解 ；
……
（1）请根据发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解；
（2）请你用一个含正整数的式子表示上述规律，并求出它的解。
第２课时 分式方程的应用
知识点分工方程的应用
1、甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设甲队每天修路，依题意，所列方程正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购B买型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、植树节时，某班学生平均每人植树6棵。如果单独由女生完成，每人应植树15棵，那么单独由男生完成，每人应植树（ ）
A、9棵 B、10棵 C、12棵 D、14棵
4、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿都加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A、8 B、7 C、 6 D、5
5、有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克。已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克。则第一块试验田的产量是 千克/亩。
6、某工厂一台机器的工作效率相同当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60人零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产 个零件。
7、小强上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小强只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶。若设他上周三买了袋牛奶，则根据题意列得方程为 。
8、马小虎的家距离学校米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度。
巩固提升
1、某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的１.5倍，因此提前5天完成任务。设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A、每天比原计划多铺设10米，结果延期15天完成
B、每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成
C、每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成
D、每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
3、父子两人沿周长为的圆周骑自行车匀速行驶。同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍。已知儿子的速度为，则父亲的速度为（ ）
A、1.1 B、1.2 C、1.3 D、1.4
二、填空题
4、A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用1.5小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度。设骑自行车的速度为千米/时，根据题意可列方程为 。
5、在５月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛。当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等。请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 千米/时。
三、解答题
6、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地。求前一小时的行驶速度。
7、学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品。已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本。
（１） 甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（２） 若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
综合练习（四） 分式的计算与分式方程
一、选择题
1、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知，其中，则A与B的关系是（ ）
A、相等 B、互为倒数 C、互为相反数 D、A大于B
3、计算的结果是（ ）
A、2 B、 C、 D、
4、某10亿个感冒病毒的直径之和是123米，则用科学记数法表示这种病毒的直径是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、分式方程的解为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、当，时，的值为（ ）
A、-2 B、2 C、1 D、-1
7、若分式方程有增根，则的值为（ ）
A、4 B、2 C、1 D、0
8、2014年，山西省某地实施了“免费校车工程”。小强原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同。已知小强家距学校５千米，若校车速度是他骑车速度的２倍，设小强骑车的速度为千米/时，则所列方程正确的为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
9、计算： 。
10、化简的结果是 。
11、分式方程的解为 。
12、化简的结果是 。
13、已知为整数，且为正整数，则整数 。
14、某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，实际施工时，每月的工效比原计划提高了，结果提前５个月完成这一工程，原计划完成这一工程的时间是 个月。
三、解答题
15、计算：
（1）
（2）
16、解方程：
（1）
（2）
17、已知，求A、B的值。
18、先化简，再求值：
（1），在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值；
（2），其中。
过两天就是“儿童节”了，那时候来看这场演出，票价会打六折，我们每人一张票还能剩72元钱呢！
如果今天看演出，我们每人一张票，正好会差两张票的钱。
19、几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票。下面是两个小伙伴的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴的人数。
20、某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完。
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
本章热点专练
热点一 分式的相关概念及其性质
1、使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、分式的值为零，则的值为（ ）
A、3 B、-3 C、±3 D、任意实数
3、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
热点二 负整数指数幂及用科学记数法表示较小的数
4、环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米。用科学记数法表示0.0000025为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，１纳米为10亿分之一米，即１纳米＝米，１根头发丝直径是60000纳米，则一根头发丝的直径用科学记数法表示为 米。
6、若实数，满足，则 。
热点三 分式的计算及化简求值
7、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、当时，式子的结果是（ ）
A、2015 B、2014 C、 D、
9、计算：
（1）
（2）
10、（1）先化简，再求值：
，其中；
（2）已知，求代数式的值。
热点四 分式方程的解法及增根
11、分式方程的解为（ ）
A、 B、 C、 D、
12、若关于的方程有增根，则的值为 。
13、解方程：
（1）；
（2）；
（3）。
热点五 分式方程的应用
14、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少。设货车的速度为千米/时，依题意列方程正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、 某单位向一所希望小学赠送12000件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装20件文具，单独使用A型包装数量是单独使用B型包装1.2倍。则B型包装箱每个可以装 件文具。
16、“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花。已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元。求第一批盒装花每盒的进价是多少元。
17、某校为美化校园，计划对面积为1800的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成。已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400区域的绿化时，甲队比乙队少用４天。
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少；
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0，25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
