山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试卷
数学（文）试题
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.以点A(－5,4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是( )
A． (x＋5)2＋(y－4)2＝25 B． (x＋5)2＋(y－4)2＝16
C． (x－5)2＋(y＋4)2＝16 D． (x－5)2＋(y＋4)2＝25
2.若直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2垂直，则( )
A．m＝2 B．m＝－2 C．m＝0 D．m∈R
3.若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题
(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2； (2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；
(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2； (4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2. 其中正确命题的个数是( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
4.直线ax＋by＋a＋b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
5.设圆C：(x－5)2＋(y－3)2＝5，过圆心C作直线l与圆交于A，B两点，与x轴交于P点，若A恰为线段BP的中点，则直线l的方程为( )
A．x－3y＋4＝0，x＋3y－14＝0 B． 2x－y－7＝0,2x＋y－13＝0
C．x－2y＋1＝0，x＋2y－11＝0 D． 3x－y－12＝0,3x＋y－18＝0
6.长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )
A．2 B． C．5 D．6
7.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A． B． C． D．
8.若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为( )
A．M
N D．M≥N
9.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．8
10..已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为 ( )
A． {x|x<－1或x>－lg 2} B． {x|－1－lg 2} D． {x|x<－lg 2}
11.已知直线y＝kx与圆x2＋y2＝3相交于M，N两点，则|MN|等于( )
A． B． C． D． 2
12.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1 C． D．3
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝________.
14.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
15. 若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
16. 动点P在平面区域C1：x2＋y2≤2(|x|＋|y|)内，动点Q在曲线C2：(x－4)2＋(y－4)2＝1上，则平面 区域C1的面积为________，|PQ|的最小值为________．
三、解答题(10+12+12+12+12+12共70分)
17.求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.
18..已知实数x、y满足方程x＋y－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x＋y的最大值和最小值．
19.已知平面内两点A(8，－6)，B(2,2).
(1)求AB的中垂线方程；
(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；
(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程.
20 .甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
（1） 用x、y表示混合食物成本C；
（2）确定x、y、z的值，使成本最低.
21.如图所示，已知P(4,0)是圆x＋y＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
22.已知⊙O：x2＋y2＝1和点M(4,2)．
(1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
(2)求以点M为圆心且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；
(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q.试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
高二文科数学期中答案解析
1. B 【解析】∵所求的圆以点A(－5,4)为圆心且与x轴相切，∴所求圆的半径R＝4，
∴圆的标准方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16，故选B.
2. 【答案】C 【解析】当m＝0时，两直线对应的方程分别为x＝－2和y＝－1，满足两直线垂直．
当m≠0时，两直线对应的方程分别为y＝－＋2－和y＝，
若满足两直线垂直，则对应的斜率之积为·＝1≠－1，
∴此时不成立．故m＝0，故选C.
3.【答案】C 【解析】(1)当两直线都垂直与x轴，得到l1∥l2，但是两斜率不存在，此命题错误；
(2)因为两直线的斜率相等即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等即tanα1＝tanα2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，此命题正确；
(3)因为l1∥l2，根据两直线平行，得到α1＝α2，此命题正确；
(4)因为两直线的倾斜角α1＝α2，根据同位角相等，得到l1∥l2，此命题正确；所以正确的命题个数是3， 故选C.
4【答案】D 【解析】由题设知圆心到直线的距离d＝，而(a＋b)2≤2(a2＋b2)，得d≤，圆的半径r＝，所以直线ax＋by＋a＋b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为相交或相切．故选D.
5.【答案】C 【解析】∵圆C：(x－5)2＋(y－3)2＝5，∴C(5,3)，
∵过圆心C作直线l与圆交于A，B两点， ∴设直线l的方程为y－3＝k(x－5)，
令y＝0，得x＝5－，即P(5－，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消去x可得(1＋)y2－6(1＋)y＋＋4＝0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝＝，①
∵A为BP的中点， ∴＝y1，即y2＝2y1，②把②代入①可得y2＝4，y1＝2，y1y2＝＝8，
∴k＝±， ∴直线l的方程为y－3＝±(x－5)， 即x－2y＋1＝0或x＋2y－11＝0，故选C.
6.【答案】C
【解析】设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意可知，
4(a＋b＋c)＝24，①2ab＋2bc＋2ac＝11，② 由①的平方减去②可得a2＋b2＋c2＝25，
则这个长方体的一条对角线长为5， 故选C.
7.【答案】D【解析】由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，
V正方体－8V三棱锥＝1－8×××××＝. 故选D.
8.【答案】C【解析】当a>1时，a3＋1>a2＋1，此时，y＝logax为(0，＋∞)上的增函数，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)； 当0loga(a2＋1)， ∴当a>0且a≠1时，总有M>N.
9. 【答案】C 【解析】由题意知，l＝(r＋R)， S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π， ∴l＝4.
10. 【答案】D 【解析】 由已知条件0<10x<，解得x0，∴>0，易知a>0. ∴≥，∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，∴≤5.∴a≥.
16.【答案】8＋4π 2－1 【解析】C1：由x2＋y2－2|x|－2|y|≤0，得
或或或
∴平面区域C1的面积为(2)2＋2π()2＝8＋4π.易得A(1,1)，B(4,4)，
AB＝＝3， ∴PQ的最小值为AB－－1＝2－1
17.【答案】如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.
设球的半径OE＝R，OA＝＝2OE＝2R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，
BD＝AD·tan 30°＝R， .....................................................5分
∴V球＝πR3，V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3， 则V球∶V圆锥＝4∶9. ...............10分
18.（每小题4分，共12分）
19.（每小题4分，共12分）
20.【答案】x=50千克，z=30千克时成本最低.
【解析】（1）依题意x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y.
∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）. ...............................................4分
（2）依题意 ∵z=100-x-y,
∴ 作出不等式组所对应的可行域，如下图所示.
联立⟹交点A(50,20).
作直线7x+5y+400=C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元.
∴x=50千克，z=30千克时成本最低. ......................................................12分
21.
22. （每小题4分，共12分）
(1)若直线l的斜率不存在，显然不合题意；
设切线l方程为y－2＝k(x－4)，易得＝1，解得k＝. ∴切线l方程为y－2＝(x－4)．
(2)圆心到直线y＝2x－1的距离为，设圆的半径为r，则r2＝22＋()2＝9，
∴⊙M的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9.
(3)假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为λ，
根据题意可得PQ＝，∴＝λ，
即x2＋y2－1＝λ2(x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2)，(*)
又点P在圆M上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得：
8x＋4y－12＝λ2[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a2＋b2－11)] 若系数对应相等，则等式恒成立，
∴ 解得a＝2，b＝1，λ＝或a＝，b＝，λ＝.
∴可以找到这样的定点R，使得为定值．如点R的坐标为(2,1)时，比值为；
点R的坐标为(，)时，比值为.
