【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第8节离散型随机变量的均值与方差学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第8节离散型随机变量的均值与方差学案

第八节　离散型随机变量的均值与方差 ‎————————————————————————————————‎ ‎[考纲传真]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．‎ ‎1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)‎ X～B(n，p)‎ E(X)＝np D(X)＝np(1－p)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)‎ ‎(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　　)‎ ‎(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. (　　)‎ ‎(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)‎ A.　　　 B．4‎ C．－1 D．1‎ A　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，‎ 则E(Y)＝2E(X)＋3＝3－＝.]‎ ‎3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于(　　)‎ A．8 B．5‎ C．10 D．12‎ A　[∵E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ ‎∴D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]‎ ‎4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________. 【导学号：51062371】‎ 　[同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P＝1－2＝.‎ 又X～B，‎ ‎∴成功次数X的均值E(X)＝2×＝.]‎ ‎5．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)＝________.‎ 　[∵E(X)＝np＝6，‎ D(X)＝np(1－p)＝3，‎ ‎∴p＝，n＝12，‎ 则P(X＝1)＝C××11＝3×2－10＝.]‎ 离散型随机变量的均值、方差 ‎　(2017·绍兴诊断)某人在如图981所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ ‎　图981‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎[解]　(1)所种作物总株数N ‎＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，4分 选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种.4分 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.6分 ‎(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．‎ 因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，‎ P(Y＝48)＝P(X＝2)，‎ P(Y＝45)＝P(X＝3)，‎ P(Y＝42)＝P(X＝4)，‎ 所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.9分 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，‎ 则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.‎ 由P(X＝k)＝ 得P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.12分 故所求Y的分布列为 Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ P ‎14分 所求的数学期望为 E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.15分 ‎[规律方法]‎ ‎　1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．‎ ‎2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．‎ ‎[变式训练1]　一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图982所示．‎ 图982‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X). 【导学号：51062372】‎ ‎【解】　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.2分 因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.7分 ‎(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，10分 分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ ‎13分 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.15分 与二项分布有关的均值、方差 ‎　(2017·杭州学军中学联考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．‎ ‎[解]　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，‎ A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，‎ B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意知A1与A2相互独立，A1 与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.3分 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，‎ 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，‎ P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)‎ ‎＝P(A1)P()＋P()P(A2)‎ ‎＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)‎ ‎＝×＋×＝.6分 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.9分 ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.‎ 于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.12分 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎13分 X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ 随机变量X的方差D(X)＝3×＝.15分 ‎[规律方法]　1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．‎ ‎2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)．同样还可求出D(aξ＋b)．‎ ‎[变式训练2]　(2017·台州诊断)甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．‎ ‎(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；‎ ‎(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)．‎ ‎[解]　(1)依题意得，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.1分 设此数列为{an}，易知a1＝40，an＝10n＋30，∴Sn＝.令＝300，3分 解得n＝－12(舍去)或n＝5，所以总决赛共比赛了5场．‎ 则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C4＝.6分 ‎(2)随机变量X可能的取值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490，‎ P(X＝220)＝2·4＝，P(X＝300)＝C4＝，‎ P(X＝390)＝C5＝，P(X＝490)＝C6＝，9分 所以X的分布列为 X ‎220‎ ‎300‎ ‎390‎ ‎490‎ P ‎12分 所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元).15分 均值与方差在决策中的应用 ‎　有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：‎ X甲 ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ P ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.5‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ X乙 ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ P ‎0.13‎ ‎0.17‎ ‎0.4‎ ‎0.17‎ ‎0.13‎ 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量．‎ ‎[解]　由题意，得E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，‎ E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.‎ 又D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，‎ D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，‎ 所以E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＜D(X乙)，故甲种棉花的质量较好．‎ ‎[规律方法]　1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差．‎ ‎2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．‎ ‎[变式训练3]　某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：‎ 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；‎ 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.‎ 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【导学号：51062373】‎ ‎[解]　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为 X1‎ ‎300‎ ‎－150‎ P ‎2分 所以E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).4分 若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为 X2‎ ‎500‎ ‎－300‎ ‎0‎ P ‎6分 所以E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).8分 D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2× ‎＝35 000，‎ D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.12分 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，‎ 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．‎ 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.15分 ‎[思想与方法]‎ 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．‎ ‎(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．‎ ‎(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．‎ ‎2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错易混．‎ ‎3．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．‎ 课时分层训练(五十九)‎ 离散型随机变量的均值与方差 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A.5　　　　 B．6‎ C．7 D．8‎ C　[由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，‎ ‎∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]‎ ‎2．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)‎ A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a A　[E(y)＝E(x)＋a＝1＋a，D(y)＝D(x)＝4.]‎ ‎3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)＝(　　) 【导学号：51062374】‎ A. B. C．3 D. D　[因为X～B，所以E(X)＝，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.]‎ ‎4．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)‎ A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4‎ C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1‎ B　[由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，‎ 解得n＝6，p＝0.4.]‎ ‎5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为(　　)‎ A. B. C. D. B　[因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，‎ ‎∴D(X)＝4××＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________. 【导学号：51062375】‎ 　[由E(X)＝30，D(X)＝20，‎ 可得解得p＝.]‎ ‎7．(2017·舟山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的均值E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．‎ 　[随机变量ξ只能取0,1,2三个数，‎ 因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 故E(ξ)＝1×＋2×＝.]‎ ‎8．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．‎ 　[由X～B，E(X)＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6，‎ 则P(X＝2)＝C24＝.]‎ 三、解答题 ‎9．(2017·温州模拟)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．当供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．‎ ‎(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N*)的函数解析式；‎ ‎(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件，n∈N*)，列表如下：‎ 日需求量(件)‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数(天)‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及均值. 【导学号：51062376】‎ ‎[解]　(1)当1≤n≤10时，y＝50n＋(10－n)×(－10)＝60n－100；2分 当n>10时，y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200，‎ 所以y＝7分 ‎(2)由(1)知日需求量为8件、9件、10件、11件、12件的利润分别为380元、440元、500元、530元、560元.9分 ‎∴利润X的分布列为 X ‎380‎ ‎440‎ ‎500‎ ‎530‎ ‎560‎ P ‎12分 利润X的均值为 E(X)＝380×＋440×＋500×＋530×＋560×＝(元).15分 ‎10．(2017·嘉兴质检)某校高二年级开设a，b，c，d，e五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a课程，不选b课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．‎ ‎(1)求甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率；‎ ‎(2)用X表示甲、乙、丙选中c课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)设“甲同学选中c课程”为事件A，“乙同学选中c课程”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝.3分 因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率为 P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝×＝.6分 ‎(2)设事件C为“丙同学选中c课程”．‎ 则P(C)＝＝.7分 X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝P()＝××＝，‎ P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝××＋××＋××＝＝，‎ P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)‎ ‎＝××＋××＋××＝＝，‎ P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，12分 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. B　[由题意，X～B.‎ 又E(X)＝＝3，∴m＝2.‎ 则X～B，故D(X)＝5××＝.]‎ ‎2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.‎ 　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，‎ 则解得 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.]‎ ‎3．(2017·浙江名校模拟)‎ 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【导学号：51062377】‎ ‎[解]　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，‎ 则事件A的对立事件为“X＝5”.3分 因为P(X＝5)＝×＝，‎ 所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.6分 ‎(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，得分为Y1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，累计得分为Y2，则Y1＝2X1，Y2＝3X2.‎ 由已知可得，X1～B，X2～B，9分 所以E(X1)＝2×＝，‎ E(X2)＝2×＝，‎ 因此E(Y1)＝2E(X1)＝，‎ E(Y2)＝3E(X2)＝.12分 因为E(2X1)＞E(3X2)，即E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.15分 法二：依题意，累计得分Y1，Y2的分布列为：‎ Y1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎　‎ Y2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝.13分 因为E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.15分　‎