江西省靖安中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

江西省靖安中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

‎ 2019—2020学年度下学期高二年级第一次月考数学（文）试卷 ‎ 时间：120分钟 分值：150分 ‎ ‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．在△ABC中，“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎6．若命题:“，”为假命题，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（ ）‎ A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤 ‎8．已知定义在上的偶函数满足，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．双曲线：，离心率为，左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，为坐标原点，.若，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对于满足的，，有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最大值为______．‎ ‎14．已知函数，则______．‎ ‎15．已知向量，，且向量在向上的投影为，则实数的值为__________．‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线 的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点且，则椭圆的离心率为_____．‎ 三、解答题（17-21题每小题12分，选做题10分，共70分）‎ ‎17．已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18． 的内角的对边分别为，.‎ ‎（1）求； （2）若，的面积为，求.‎ ‎19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：‎ 运动达人 非运动达人 总计 男 ‎35‎ ‎60‎ 女 ‎26‎ 总计 ‎100‎ ‎（1）（i）将列联表补充完整；‎ ‎（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？‎ ‎（2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率.‎ 附：‎ ‎20．已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．‎ ‎21．已知函数，. （1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.‎ ‎（选做题，22,23选做一题）‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎23．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.‎ 参考答案 ‎1．D2．B3．A4．B5．D6．C7．D8．A9．A10．C11．B12．C ‎13． 5 14．1 15．4 16．或 17． ‎（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎（Ⅰ），令，解得，‎ ‎，，两式相减，得，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以数列的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 所以，即，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18．（1）因为，所以，‎ 则，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为的面积为，所以，即，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎19．（1）（i）‎ 运动达人 非运动达人 总计 男 ‎35‎ ‎25‎ ‎60‎ 女 ‎14‎ ‎26‎ ‎40‎ 总计 ‎49‎ ‎51‎ ‎100‎ ‎（ii）由列联表得，‎ 所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”；‎ ‎（2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为，女用户人数为，‎ 男用户编号，，，，，女用户编号，，则抽取的两位幸运用户有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 共21种，其中男女各一位的有10种，概率为，‎ 所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为.‎ 20． ‎（1）（2）是定值，0‎ ‎（1）由题意知，‎ 又离心率，所以，‎ 于是有，‎ 解得，．‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）由于直线的斜率为．可设直线的方程为，‎ 代入椭圆，可得．‎ 由于直线交椭圆于、两点，‎ 所以，‎ 整理解得．‎ 设点、，由于点与点关于原点对称，‎ 故点，于是有，．‎ 设直线与的斜率分别为，，由于点，‎ 则 ‎，‎ 又，．‎ 于是有 ‎ ‎ ‎，‎ 故直线与的斜率之和为0，即 20． ‎（1）当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值.（2）‎ ‎（1）定义域为，.‎ ‎①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.‎ ‎②当时，令，解得.‎ 当，，在上单调递减；‎ 当，，在上单调递增.‎ 故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.‎ 综上，当时，函数无极值；‎ 当时，有极小值为，无极大值.‎ ‎（2）当时，，‎ 直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程 在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，‎ 即在上没有实数解.‎ 令，则有.令，解得，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 且当时，；时，的最大值为；当时，，‎ 从而的取值范围为.‎ 所以当时，方程无实数解，‎ 解得的取值范围是.‎ 20． ‎（1）；（2）.‎ ‎（1）可化为，‎ ‎∴或或，‎ 分别解得或或无解.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意：，.‎ 设，要想，成立，只需，‎ ‎∵，∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴，∴的取值范围为.‎ 21． ‎（1）:;:;（2）.‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为． ‎ ‎∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．‎ ‎∴直线l的极坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入曲线C的极坐标方程得，‎ ‎∴A点的极坐标为． ‎ 将代入直线l的极坐标方程得，解得． ‎ ‎∴B点的极坐标为，‎ ‎∴．‎