天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试 高二数学 第I卷（选择题共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知空间向量,,若,则实数（ ）‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时，，列方程求出的值．‎ ‎【详解】解：向量，，‎ 若，则，‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题．‎ ‎2.在复平面内,复数是虚数单位)对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由复数代数形式的除法运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【详解】解：，‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为：，‎ 位于第四象限．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3.设,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ 解得．‎ ‎ “”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．‎ ‎4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ）‎ A. 20里 B. 10里 C. 5 里 D. 2.5 里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设此人每天所走的路程数为数列，其首项为，分析可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列，其首项为 ‎，即此人第一天走的路程为，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，‎ 又由，即有，‎ 解得：；‎ 即此人第6天走了5里；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．‎ ‎5.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则（ ）‎ A. 2 B. ‎10 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的左焦点，得到抛物线的准线，依据的意义求出它的值．‎ ‎【详解】解：因为抛物线焦点在轴上，开口为正方向，故准线在轴左侧，‎ 双曲线的左焦点为，，故抛物线的准线为，‎ ‎，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程中的意义．‎ ‎6.已知函数,为的导函数,则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得.‎ ‎【详解】解：‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.‎ ‎7.正方体,点,分别是，的中点,则与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，，证明，，再根据，可得即可得到与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】解：连接，‎ 是正方体,‎ 且 因为点,分别是，的中点 即与成直角，‎ 则与所成角的余弦值为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题.‎ ‎8.曲线在点（1,1）处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线方程的导函数，把点的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点的坐标写出切线方程即可．‎ ‎【详解】解：，‎ 则曲线过点切线方程的斜率，‎ 所以所求的切线方程为：，即．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．‎ ‎9.设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为，表示右焦点的坐标，根据点到线的距离公式求出到渐近线的距离，根据利用勾股定理求得，利用，得到方程，求得，得解.‎ ‎【详解】解：为双曲线的一条渐近线，‎ 故设双曲线方程为 则右焦点的坐标为 因为在上，且 则右焦点的坐标为到直线的距离 故 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题.‎ ‎10.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是（ ）‎ A. (-1,0] B. [0,1) C. (-1,1) D. [-1,1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，换元可得，在时恒成立，进而得到不等式组，解得即可.‎ ‎【详解】解：‎ 因为函数在区间上单调递增 恒成立 令则 ‎，在时恒成立，‎ 解得 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（共80分)‎ 二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.‎ ‎11.是虚数单位,则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则计算出，再根据求模的法则计算即可得出 ‎【详解】解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.‎ ‎12.已知函数为导函数,则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出的导函数，再代入求值即可.‎ ‎【详解】解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.‎ ‎13.已知实数为函数的极小值点,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点.‎ ‎【详解】解：‎ 令解得或，即函数在和上单调递增；‎ 令解得，即函数在上单调递减；‎ 故函数在处取得极小值.‎ 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题.‎ ‎14.已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到，构造函数求在所给区间上的最小值.‎ ‎【详解】解：由题意可知，是真命题 对恒成立，‎ 令 令则；令则；‎ 即上单调递减，上单调递增；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.‎ ‎15.设,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将式子变形可得，根据已知条件可得利用基本不等式可得最小值.‎ ‎【详解】解：‎ 当且仅当时取等号，故最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.已知函数.‎ ‎(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；‎ ‎(II)若,求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 因为函数在点处的切线方程为 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎（Ⅱ）．‎ 令,得或 . ‎ 因为,所以时， ；‎ ‎ 时，． ‎ 故在区间上单调递增,在区间上单调递减 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.‎ ‎17.如图,在四棱锥中,⊥平面, 点为的中点.‎ ‎ ‎ ‎(I) 证明：平面;‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析 ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取中点，可证，即可得到平面.‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，利用夹角公式解得.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明： 取中点,易知是边长为2的正方形.依题意,可以建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系（如图）,‎ 可得,,,,,,. ‎ 取中点,则,即 ‎ 又,可得, ‎ 又因为直线平面,所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：依题意,,, ‎ 设为平面的法向量,‎ 则 即 不妨令,可得 ‎ 因此有 . ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.‎ ‎18.设数列的前项和为,且,等比数列满足.‎ ‎(I)求和的通项公式;‎ ‎(II)求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据求得的通项公式，根据的通项公式，可计算,，即可求出等比数列的公比，得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】解（Ⅰ）由,得 当时, ‎ 当时, ‎ 经检验时也成立,‎ 所以 即,‎ 记数列的公比为,则,所以 即 ‎（Ⅱ）设数列的前项和为,‎ 由,,有 ‎ 故,‎ 上述两式相减,得 ‎ ‎ ‎ 得. ‎ 所以,数列的前项和为 ‎【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前项和，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆长轴长为4,离心率为.‎ ‎(I)求C的方程；‎ ‎(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限,轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由长轴长为4，得到，再由离心率为，可求的值，根据 计算出的值，即可得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出两点，通过证明，得到点在以为直径的圆上.‎ ‎【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为,依题意,,又, ‎ 可得, ‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由得 记,则．‎ 于是直线的斜率为,方程为 ‎ 由得．①‎ 设,则和是方程①的解,‎ 故 ,由此得 ‎ 从而直线的斜率为 ‎ 所以,即点在以为直径的圆上.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(I)若,求的极值；‎ ‎(II)证明：当时,.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）构造函数，证明函数在时恒成立.‎ ‎【详解】解（Ⅰ）‎ ‎, ‎ 当时,；当时, ‎ 当变化时,的变化情况如下表：‎ 单调递增 单调递减 因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.‎ ‎（Ⅱ）令函数, ‎ 由（Ⅰ）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ 又 ‎ 故在存在唯一零点.设,则 当时,；当时,,‎ 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减 又 ,所以,当时,. ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.‎