【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-1不等式的性质及一元二次不等式学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-1不等式的性质及一元二次不等式学案

第七章 不等式 第一节　不等式的性质及一元二次不等式 ‎[考纲要求]‎ ‎1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．‎ ‎2．了解不等式(组)的实际背景．‎ ‎3．掌握不等式的性质及应用．‎ ‎4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．‎ ‎5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．‎ ‎6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．　　　‎ 突破点一　不等式的性质 ‎1．比较两个实数大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0‎ ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)‎ 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ a，b同为正数 ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1) 若<<0，则<. (　　)‎ ‎(2)若>，则a>b.(　　)‎ ‎(3)若a>b，c>d，则ac>bd.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×‎ 二、填空题 ‎1．若aa>ab，则实数b的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)‎ A．M>N　　　　　　　 B．M≥N C．M0，所以M>N，故选A.‎ ‎2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a>b⇒ac>bc；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，c<0⇒ac0>b时，②不正确．‎ 由于c>d>0，所以>>0，‎ 又a>b>0，所以>>0，③正确．‎ 由于a>b>1，当x<0时，axx2}‎ R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件 ‎(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ‎(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)‎ ‎(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．(　　)‎ ‎(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×‎ 二、填空题 ‎1．不等式≥－1的解集是________________．‎ 解析：原不等式可化为≥0，‎ 即x(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤0.‎ 答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)‎ ‎2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集是________________．‎ 答案：(－∞，a)∪ ‎3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．‎ 答案：－14‎ ‎4．若不等式ax2－ax＋1<0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．‎ 答案：[0,4]‎ 考法一　一元二次不等式的解法　‎ 解一元二次不等式的方法和步骤 ‎[例1]　(1)(2019·衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　)‎ A．{x|－13或x<－1}‎ C．{x|－31或x<－3}‎ ‎(2)(2019·深圳月考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)‎ C．(－2,1) D．(－1,2)‎ ‎[解析]　(1)原不等式变形为x2－2x－3<0，‎ 即(x－3)(x＋1)<0，解得－1f(a)等价于2－a2>a，即a2＋a－2<0，‎ 解得－2a2.‎ ‎[解]　∵12x2－ax>a2，‎ ‎∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.‎ 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.‎ ‎①当a>0时，－<，解集为xx<－，或x>；‎ ‎②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；‎ ‎③当a<0时，－>，解集为xx<，或x>－.‎ 综上所述：当a>0时，不等式的解集为xx<－，或x>；‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；‎ 当a<0时，不等式的解集为.‎ 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．‎ ‎(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．‎ ‎(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．　　　　 ‎ 考法二　由一元二次不等式恒成立求参数范围　‎ 考向一　在实数集R上恒成立 ‎[例3]　(2019·大庆期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(－∞，2]‎ C．(－2,2] D．(－2,2)‎ ‎[解析]　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；‎ 当a－2≠0时，则有解得－2b，则ac2>bc2‎ B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，c<0，则a＋cbc2，所以A错；选项B中，当a＝－2，b＝－1时，满足a2>b2，不满足a>b，所以B错；选项C中，a＋c>b＋c，所以C错；选项D中，因为0≤<，所以a1”是“x2＋2x>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0‎ ‎)＝0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)‎ C．(－3,1) D．(1，＋∞)‎ 解析：选A　依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.‎ ‎4．(2019·江淮十校联考)|x|·(1－2x)>0的解集为(　　)‎ A．(－∞，0)∪ B． C. D． 解析：选A　原不等式等价于 解不等式组可得实数x的取值范围是(－∞，0)∪.‎ ‎5．(2019·遂宁诊断)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A．a＋>b＋ B．> C．a－>b－ D．> 解析：选A　不妨取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立，因此a－>b－⇔a＋>b＋，故选A. ‎ ‎[B级　保分题——准做快做达标]‎ ‎1．(2019·郑州模拟)已知p：>，q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由>得00，必有或则0≤a<4，所以p是q的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)‎ A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)‎ C. D．∪ 解析：选A　∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－，－，∴－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，又x2－bx－a<0，∴x2－5x＋6<0，∴(x－2)(x－3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．‎ ‎3．(2019·深圳中学模拟)已知a>b>0，c<0，下列不等关系中正确的是(　　)‎ A．ac>bc B．ac>bc C．loga(a－c)>logb(b－c) D．> 解析：选D　因为c<0，a>b，所以ac0，所以>成立，故D正确．选D.‎ ‎4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－4,1] B．[－4,3]‎ C．[1,3] D．[－1,3]‎ 解析：选B　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10的解集为{x|－2x·10%，且(x－200)×20%>30，解得x>400，选B.‎ ‎7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(－2,1)‎ C．(－2,0) D．(－，)‎ 解析：选A　记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，‎ 依题意有即解得0b>1，c<0，在不等式①>；②ln(a＋c)>ln(b＋c)；③(a－c)c<(b－c)c；④bea>aeb中，所有正确命题的序号是(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②③④ D．①②④‎ 解析：选B　∵a>b>1，∴0<<，又c<0，∴>，∴①正确；∵a>b>1，c<0，∴不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此时ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，∴②错误；易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a－c>b－c>0，c<0，∴(a－c)c<(b－c)c，∴③正确；令y＝(x≠0)，则y′＝，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函数y＝在(1，＋∞)上单调递增，∵a>b>1，∴>，即bea>aeb，∴④正确，故选B.‎ ‎10．(2019·启东中学调研)已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则 的取值范围为________．‎ 解析：由已知及三角形的三边关系得 ‎∴∴ 两式相加得，0<2×<4，∴的取值范围为(0,2)．‎ 答案：(0,2)‎ ‎11．(2019·青岛模拟)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；‎ ‎②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.‎ 其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)‎ 解析：对于①，由条件可得a>1，b>0，则a＋b>1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b<1，故①正确．对于②，令a＝2，b＝，则－＝1，但a－b＝>1，故②错．对于③，令a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3>1，故③错．对于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由条件可得，a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2>1，则|a－b|<1，故④正确．综上，真命题有①④.‎ 答案：①④‎ ‎12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以令f(x)＝0，有Δ<0或解得10.‎ 所以原不等式即为k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，‎ 依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.‎ 答案：[1,4]‎ ‎14．(2019·南昌模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋3)＝2f(x)，当x∈[－1,2)时，f(x)＝若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，则实数t的取值范围是___________．‎ 解析：由题意知f(x)＝f(x＋3)．当x∈[－1,0)时，f(x)＝x2＋x＝2－∈；当x∈[0,2)时，f(x)＝－|x－1|∈.所以当x∈[－1,2)时，f(x)min＝－1.故当x∈[－4，－1)时，x＋3∈[－1,2)，所以f(x＋3)min＝－1，此时f(x)min＝×(－1)＝－.由存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，可得t2－3t≥4×，解得t≤1或t≥2.‎ 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ ‎15．(2019·南昌摸底)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.‎ ‎(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；‎ ‎(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.‎ 解：(1)由题意知a<0，且－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，‎ 则∴ ‎(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，‎ ‎∵a>0，∴f(x)>0可化为(x＋1)>0，‎ ‎①当≥－1，即a≥1时，‎ 不等式的解集为；‎ ‎②当<－1，即0(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若a<0，解不等式f(x)>1.‎ 解：(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，‎ 设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1(x∈[－1,1])，‎ ‎①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，得a>－，所以a∈∅；‎ ‎②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－1时，g(x)min＝g(1)＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.‎ 综上，a的取值范围为(1－，＋∞)．‎ ‎(2)ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，‎ 因为a<0，所以(x－1)<0，‎ 因为1－＝，‎ 所以当－－，解集为.‎