浙江省宁波市鄞州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省宁波市鄞州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 鄞州中学2019-2020学年高一上学期期中考试 数学试题 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1.已知集合A＝，集合B＝，则=（ ）‎ A. （－∞，1）∪［3，＋∞） B. （0，1）∪［3，5］‎ C. （0，1］∪（3，5］ D. （0，5］‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 再求集合的补集，再根据交集定义求解即可 ‎【详解】由，‎ 又，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的交并补混合运算，属于基础题 ‎2.下列选项中与是同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断每一组函数对应的定义域是否相同，再判断化简之后的表达式是否一致，即可求解 ‎【详解】对A，，，对应的定义域中，故不是同一函数；‎ 对B，，与表达式不一致，故不是同一函数；‎ 对C，，，，是同一函数；‎ 对D，，，定义域不同，不是同一函数；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查同一函数的判断，需满足两点：定义域相同，对应关系相同（化简后表达式相同），属于中档题 ‎3.函数与函数在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于参数不能确定，可结合图像，选定一个函数图像，去分析参数的范围，以确定另一个函数图像的合理性 ‎【详解】对，若对数型函数经过，则且，则，指数型函数应单调递减，图形不符合，排除；‎ 对，若指数型函数经过，则，则应单调递减且向右平移一个单位，图像符合，正确；‎ 对，若指数型函数经过，则，，则应为增函数且向右平移一个单位，都不符合，排除；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查同一坐标系中指数型函数和对数型函数图像的识别，函数图像的增减性，函数平移法则，属于中档题 ‎4.以下四组数中大小比较正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解 ‎【详解】对A，，故，错误；‎ 对B，在第一象限为增函数，故，错误；‎ 对C，为增函数，故，正确；‎ 对D，，，故，错误；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，幂函数性质比较大小，属于基础题 ‎5.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. （－∞，－3），（1，＋∞） B. （－∞，－2），（2，＋∞）‎ C. （－3，0），（3，＋∞） D. （－2，0），（0，2）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可借鉴对勾函数性质辅助解题，将函数拼凑为，再根据对勾函数增减性特征解题即可 ‎【详解】，当且仅当时，即时，在对应位置函数增减性发生变化，如图：‎ 故函数对应的单调增区间为：（－∞，－3），（1，＋∞）‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查对勾型函数增减性的判断，可熟记函数增减性的基本区间，其他对勾型函数求解方法基本一致，也可结合函数图像平移法则加以理解，属于中档题 ‎6.函数的值域为（ ）‎ A. （0，＋∞） B. （－∞，1） C. （1，＋∞） D. （0，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可上下同时除以，再结合反比例函数特点求解值域即可 ‎【详解】，，故令，在为减函数，当时，，故 故选：D ‎【点睛】本题考查具体函数值域的求法，属于基础题 ‎7.已知奇函数在区间（0，＋∞）上单调递减，且满足，则的解集为（ ）‎ A. （0，2） B. （0，1）∪（1，2）‎ C. （－∞，0）∪（1，2） D. （0，1）∪（2，＋∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意画出拟合图像，结合图像求解即可 ‎【详解】在上单调递减，，可画出拟合图像（不唯一），如图：‎ 若要，则需满足或，解得 故选：D ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性与增减性解不等式，能画出图像，采用数形结合思想是解题关键，属于中档题 ‎8.设函数的定义域为，则下列表述中错误的是（ ）‎ A. 若幂函数（且互质）关于原点中心对称，则都是奇数 B. 若对任意的，都有，则函数关于直线对称 C. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称 D. 函数的图像与函数的图像关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合奇函数性质可判断A正确；结合函数对称性可判断B，D正确；结合奇函数定义可判断C错；‎ ‎【详解】对A，若幂函数（且互质）关于原点中心对称，则一定有，即，则都是奇数，A正确；‎ 对B、D，对于任意的，都有，令，可得，‎ 即函数关于直线对称，函数的图像与函数的图像关于直线对称，B、D正确；‎ 对C，若函数是奇函数，对函数，当时，，，函数图像关于中心对称，C错误；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数基本性质的判断，能应用奇偶性，对称性解题是关键，属于中档题 ‎9.已知函数为奇函数，当时，．若有三个不同实根，则三个实根的和的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求出函数解析式，根据函数特征画出函数图像，再采用数形结合法求解即可 ‎【详解】为奇函数，当时，，，又，即，故，画出函数图像，如图：‎ 有三个不同实根，令，则等价于与图像有三个交点，，当时，，令，解得，则；同理，当时，当时，令，解得，则，所以三个实根的和的取值范围是 故选：B ‎【点睛】本题考查奇函数的对称性，方程根与函数交点问题的转化，数形结合思想的应用，属于中档题 ‎10.设二次函数，若函数与函数有相同的最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A （－∞，0］∪［2，＋∞） B. （－∞，0］‎ C. （－∞，2］ D. ［2，＋∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于参数的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解 ‎【详解】当时，，，，符合题意；‎ 当时，对称轴为，画出大致图像，‎ 令，，则，，显然能取到相同的最小值，符合；‎ 当时，对称轴为，，令，，要使与函数有相同的最小值，则需满足：，解得 综上所述，则 故选：C ‎【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质，含参分类讨论是解题关键，属于中档题 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.已知分段函数，则_____，_____．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数定义进行求解即可 ‎【详解】；，则 故答案为：2；0‎ ‎【点睛】本题考查分段函数具体函数值求法，属于基础题 ‎12.已知函数，则函数的定义域为_____，函数的定义域为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数型函数定义和分式性质进行求解即可 ‎【详解】由题可得：，解得，则函数的定义域为，对 则有，解得且，即函数的定义域为 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的定义域，具体函数的定义域，属于基础题 ‎13.已知函数对于任意的，恒有，则的解析式为___________，的定义域为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用拼凑法，，再采用整体代换法即可求解 ‎【详解】，令，则，即的解析式为，定义域为 ‎【点睛】本题考查换元法求函数解析式，属于基础题 ‎14.若，，则_________（用含a、b的式子表示）；若， 则__________（用含c的式子表示）．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的性质和运算法则，再结合换底公式即可求解 ‎【详解】；‎ ‎，又，解得，‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查对数值的求法，对数的运算性质，换底公式的应用，属于中档题 ‎15.设函数，若，则______．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察函数特点，应满足部分为奇函数，可设，再令分别等于1和-1即可求解 ‎【详解】由题可知，部分表达式满足奇函数特点，令，则，为奇函数，，解得，‎ 故 故答案为：-4‎ ‎【点睛】本题考查奇函数性质应用，具体函数值的求法，属于中档题 ‎16.已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可画出与的图像，再根据函数有三个零点进一步判断实数的取值范围即可 ‎【详解】由题，先画出与的图像，如图：‎ 由图可知，要使分段函数存在三个零点，则图中三个点必须存在，则只有在时才满足；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数图像零点个数判断问题，数形结合思想，属于中档题 ‎17.不等式对任意恒成立，则___________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将不等式转化为①或②，进一步求解即可 ‎【详解】由题可知等价于①或②，先解①，，即，‎ 又，所以，解得，等价于，要使不等式对任意恒成立，只能取到；‎ ‎②显然无解；‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查不等式的转化，绝对值不等连式的应用，二次函数恒成立问题的转化，属于中档题 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.设全集为，集合，集合，其中．‎ ‎（1）若，求集合；‎ ‎（2）若集合、满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别对集合和集合进行化简，再求即可；‎ ‎（2）根据子集定义求解即可，不要忽略的情况 ‎【详解】（1）集合中，根据高次不等式解得，‎ 当时，集合，则，，则；‎ ‎（2）若满足，当集合时，即时，解得；当时，分两种情况，第一种：，无解，第二种情况：，解得，综上所述，‎ ‎【点睛】本题考查集合交并补的混合运算，根据包含关系求参数，属于基础题 ‎19.知是定义在上的函数，对定义域内的任意实数、，都有，且当时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用定义证明在上的单调性；‎ ‎（3）若，解不等式．‎ ‎【答案】（1）0（2）在上为减函数，证明见详解（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可采用赋值法，令，即可求解；‎ ‎（2）可令，结合单调性定义进行求解即可；‎ ‎（3）观察式子特点可知，，再结合增减性解不等式即可；‎ ‎【详解】（1）令，得，解得；‎ ‎（2）在上为减函数，证明如下：‎ 设，则，有，令，则有，变形得，故在上为减函数；‎ ‎（3）令得，，则，由（2）可知，函数在上为减函数，故，解得 ‎【点睛】本题考查抽象函数具体值的求法，单调性的证明，由函数增减性解不等式，属于中档题 ‎20.已知函数()．‎ ‎（1）若，求函数在上的值域；‎ ‎（2）若，解关于的不等式；‎ ‎（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，先求在值域，再求的值域即可；‎ ‎（2）结合指数函数的单调性进行求解即可；‎ ‎（3）对底数进行分类讨论，确定的增减性，再根据复合函数同增异减，结合二次函数进一步判断的取值范围即可 ‎【详解】（1）当时，，令，的对称轴为，当，，，故，；‎ ‎（2）当时，，等价于 即，即，化简得，‎ 即；‎ ‎（3）当时为减函数，又，的对称轴为，要使函数在区间上单调递增，则需满足，解，则；‎ 当时，为增函数，要使函数在区间上单调递增，则需满足，解得，则；‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】本题考查指数型复合函数值域的求法，根据函数增减性解不等式，由函数的增减性求参数范围，属于中档题 ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若，用列举法表示函数的零点构成的集合；‎ ‎（2）若关于的方程在上有两个解、，求的取值范围，并证明．‎ ‎【答案】（1）（2）；证明过程见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，分类讨论去绝对值，再求零点即可；‎ ‎（2）去掉绝对值，将表示成分段函数，分段讨论方程根的情况，可判断两根一个在，一个在，再结合具体函数进行求证即可 ‎【详解】（1）时，，‎ 若或，令，‎ 得或（舍去），‎ 若，令，得，‎ 综上，函数的零点为，，故对应集合为；‎ ‎（2），‎ 因为方程在上至多有1个实根，‎ 方程，在，上至多有一个实根，‎ 结合已知，可得方程在上的两个解，中的1个在，‎ ‎1个在，不妨设，，，设，‎ 数形结合可分析出，解得，‎ ‎，，，，‎ 令，，在上递增，当时，，‎ 因为，‎ 所以；‎ ‎【点睛】本题考查绝对值函数的解法，函数零点的求法，分段函数零点的判断与求解，属于中档题 ‎22.已知函数，函数，其中实数．‎ ‎（1）当时，对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可判断的取值范围，将变形成，再结合对称轴与区间的关系进一步讨论即可；‎ ‎（2）可先判断函数的对称性，再由可确定，为两函数的一个交点，再讨论与的大小关系，结合图像进一步确定的图像，再根据在上有解求解参数范围即可 ‎【详解】（1）由题可知，要使当时，对恒成立，即对于恒成立，，，；‎ 当时，即时，在单增，，解得；‎ 当时，即时，在单减，，无解；‎ 当时，即时，满足，无解；‎ 综上所述，‎ ‎（2），，‎ ‎，，，；‎ 当时，即，即，解得，‎ 求的交点，即，解得，‎ 将代入，得，解得，则，‎ 当时，解得，函数图像如图所示，则，无解，‎ 综上所述 ‎【点睛】本题考查含参二次函数在定区间满足某条件的参数求法，新定义函数能成立问题的求解，绝对值函数的应用，属于难题 ‎ ‎